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2.5 样条插值在线视频

下一节:3.1 Malthus模型

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2.5 样条插值课程教案、知识点、字幕

同学们大家好

我们刚才已经说过了线性插值

那么大家可以想象

在分段函数节点上

左边一个线性函数 右边一个线性函数

那么很容易形成一个尖点的

所谓尖点的话也就换句话说

左边函数它的斜率跟

右边的函数的斜率就不相等

不相等的话

那这个地方就变成一个凸点了

对吧变成一个间断的一个点了

那么这么一来的话大家可以设想出来

这样得到的一个分段函数

或者得到一个插值函数

那就有点不光滑了

有点不大

好看因此我们就开始考虑

另外一种差值叫做为样条插值

所谓样条插值的话

想法也是一样的

也就说我们想办法用一个比较好看的

比较光滑的比较连续的一个函数对吧

那我把这些节点呢

都跟它连接起来

都跟它连接起来
同时呢 我们又希望这个函数呢

同时呢 我们又希望这个函数呢

一定要踏踏实实的通过所有的节点

使得它的精度对吧

要求误差要求为零

这就是我们说的这么一个想法

好的

再这样条插值过程当中

我们一般都来说都是用一些

多项式来进行来刻画它

也就是说内接插值函数我们中一些

多项式函数再进行刻画

那么今天是多项式函数

那就是我们通常说的

x n次方加上x(n减1)次方

加上多少多少

那么这么一来了

大家可以设想一下

如果n要等于一呢

那不就是我们说的线性的样条吗

如果n要等于2那

那不就是二次样条或者我们通常说的

n等于三就我们说三次的样条了

那么想法呢

就是使得通过这些节点

能够稍微使得总的插值函数

能够相对光滑起来

我们这种想法把它称作为样条差值

好的那么这样一来的话

我们说n等于1的话

就变成我们线性样条

那么线性样条它的好处呢

我们可以设想一下

它是非常简单的

因为是线性函数两个点确定一条直线

那就非常好的事情了

但是呢

它的缺点的也同样非常明显

也就是说

整个一个曲线呢不够光滑

因为我们说的左边的斜率

跟右边的斜率它是不一样的

也就是说左边的导数跟右边导数

它也就不大一样了

例如看这么一个例子

我们说有x有四个点

3 4.5 7 9分别对应的函数值呢

2.5 1.0 2.5跟0.5

我们做这四个点的话

如果我们用线性的样条插值来描述的话

那就是把这四个点

跟它连起来

那么这四个点连起来的话

就形成一个折线那么从这个折线

里面可以看得出来

那么在每一个节点上的话

都是一个尖尖的

我们说的两边的导数都不一样

也就是看起来不是那么光滑的事情

于是呢

我们就开始对它做一些高一点的要求

我们能不能把这些

一个函数通过这些节点呢变得平滑起来

变得光滑起来

那么怎么变得光滑

变得平滑起来呢

于是我们想到的第一个办法

每一次的差值的时候

每一次的差值的时候

我们用个二次函数来进行差值

也就用我们说的ax平方加bx加c来进行差值

那就说在x0到x1之间我用一个

a a1x1平方加b1x1加c1

在我们说x1跟x2之间呢

我用a2x平方加b2x加c2

那么x2跟x3之间

我们用一个a3x平方加b3x加c3来进行刻画

因为相对是二次函数

所以我们说看起来总的插值函数呢

就显得比较光滑了

就显得比较光滑了

那用了二次插值函数以后可以看得出来

我们像一个二次函数就有

A B C三个参量三个参数

那么这么一来的话

三个二次函数就变成我们的九个参数了

九个参数要刻画它的话

那么很自然的话就应该要九个方程了

所以接下来我们就开始来考虑

怎么来得到这九个方程

首先我们来看

如果你想连续下去的话

那么很自然的话

这些方程在节点的地方

左边一个函数跟右边一个函数在节点

这地方很自然的话

它的值必须要相等

如果它不等的话就高或者低了

所以别说光滑间断就出来了

所以呢

这么一来的话

我们就可以得到这四个方程了

例如用左边一个函数

fx1带进来

a1x平方b1x加c1带着x1这个地方

它应该跟谁呢

跟用a2这个函数ax平方+加bx2加c2带进来

在这点上

大家的值都应该是严格相等的

大家都应该等于fx1

同样的道理

在我们刚在图里面的对吧

在x2这个点上

左边的是我们的a2 b2 c2组成的二次函数

右边的是我们是a3 b3 c3

组成二次函数

那么在x2这点那大家的值呢

也应该都要等于fx2

所以这样一来那我们就得到这四个方程了

接下来我们继续来考虑

这是把我们的x1 x2

说清楚了

还有两头有两个点

有第一个端点

最后一个端点那么很自然的话

第一个端点应该满足我们说的fx0

它的值应该严格相等

最后一个端点呢 应该等于fx3

它的端点一样

也就换句话说

把a1 b1 c1对吧

用x0来替代它应该得fx0

把a3 b3 c3

用x3来替代它应该等于fx3

所以这样一来呢 又多了两个方程

就得到了六个方程了

得到六个方程了

我们接下来还差三个方程

另外3个方程怎么来看那

好的接下来我们来开始考虑

考虑中间两个节点

一个是x1一个是x2

如果想让它光滑一下的话

那么很自然就希望什么

希望这两个函数在这个x1 x2这边的

我们的一阶导数要能够相等起来

因为它是个二次函数ax平方加bx加c

所以它一阶导数呢

就是我们说2ax

加上我们的b

那么分别把x1带进去

那么分别把x1带进去

分别把x2带进去

所以很自然的话

我们说用a1这一种

我们说用a1这一种

1阶导数带进去以后给我们的a2这一组带进去

在这x1点就应该相等的了

那么用a2的一阶导数

对a3的一阶导数带进来

在x2这点

它应该也是相等的了

所以呢

这样一来就得到我们说的两个方程

在一阶导数

在这个地方

它必须相等

好的这样就得到了八个方程了

最后我们在考虑最后一个方程

最后一个方程考虑什么

最后一个方程考虑什么
我们就考虑起头的那个二次函数

我们就考虑起头的那个二次函数

起头的那个二次函数

我们就是说a1x平方加b1x加c

那么既然是起头的函数

那我们就考虑什么东西

我们希望它尽量的简单一点

简单一点的就希望什么

希望它的二阶导数为零了

二阶导数为零的话

那么很自然

就说

a1为零了

好的这么一来的话

我们就相当得到了九个方程

正好是九个参数

那么很自然的话

方程数跟参数数是一样的 未知量是一样的

所以呢

我们就可以把它求解出来了

把相关的数据带进来以后

就得到了这么一个线性方程组

那把这个线性方程组呢

给它求解出来

我们就可以把相应的

a1 b1 c1

a2 b2 c2

以及a3 b3 c3

都可给它求出来了

于是呢用二次样条

我们来拟合刚才说的三个四个点的话

对吧就是我们说的得到这么个曲线

那么这么一个曲线可以看得出来

比我们刚才的线性的差值

肯定要光滑的多的多了

没有那么一个尖点出来了

这是我们说的二次样条

如果我们说对这个函数

如果你还不满意的话

还觉得有点尖有点突

那我们可以尝试用什么呢

我们可以尝试用三次样条

对它进行了差值

那么三次样条进行差值的话

手法跟刚才的手法也是完全一样的

所谓三次样条的话

差值的话不就说用到三次函数吗

也就我们通常说的

ax三次方加上bx次方加cx加d来进行操作

那么在这地方的话我们可以看出来

那我总共是四个点

我们也可以分成三个区间

那么第一个区间用a1一组

a1 b1 c1

第二个区间用a2

a2 b2 c2

第三个呢

我们用a3 b3 c3

那么这么一来了

搁在一块的话

我们就可以得到12个参数了

12个参数

大家可以设想要想求解的话

就应该得到什么

12个方程

那么在这12个方程里面求得了

那么一样的根据我们的想法

第一个想法

我们说的所有的函数

在节点的地方

它的函数值要完全相等

例如我们说的

a1那一组在x1那个地方值

就应该得fx1

a2这一组同样在x1这个地方

他应该等于fx1

那么在x2这个地方

那么在x2这个地方
用a2那一组在用a3那一组带来

用a2那一组在用a3那一组带来

我们就这样就得到了四个方程

所以我们说这两个x1 x2

这两个节点上它的值必须要相等

所以这样就得到四个方程了

好的 接下来两个方程

指的是什么指的是在

最头上一个端点第一个端点跟最后的一个端点上

那么这样一来的话也要满足

也要满足的话

那么很自然的话

就把a1

那一组数字用x0来替代最后呢

把a3这这组数字用x3来替代

分别都要等于fx0分别等于fx3

那么把它带进去以后我们又得到两个方程

所以这样的就像得到了六个方程了

紧接着下来

跟你刚刚的思路完全一样

那么我们就希望在

x1x2这两个点上

它的一阶导数的值要

它的一阶导数的值要

严格相等

严格相等

一阶导数是要严格相等的话

那么很自然的可以保证

曲线是什么东西至少光滑

可以保证曲线的稍微光滑

好的今天一阶导数

那么大家可以设想

ax三次方加上bx平方加cx加d

那一阶导数把它求过来的话

就应该是3ax平方

加上2bx加上c了

那么分别把x1 x2带进去

这样我们得到两个方程了

好的除了一阶导数要满足要求的话

那么我们想让它更光滑的话

我们还可以提个要求

就是它的二阶导数还必须相等

二阶导数呢

我们说对它再进行求导的话

那么就3ax平方那在求就当成变成6ax了

6ax加上2b

属于分别把x1 x2带进来以后

我们

关于二阶导数相等的话

又得到两个方程了

所以这个时候呢

我们就得到了十个方程了

得到十个方程了

好的最后再来考虑

我们在第一个方程里面

我们如果想让它稍微简单一点的话

那么我们就可以要求它的

二阶导数为零

二阶导数为零的话

很自然的话我们就可以得到两个条件

一个条件的是a1等于0

一个条件是b1等于0

这么一来的话

我们就构成了12个方程

我们就构成了12个方程

正好有12个参数

那么我们很自然的话

就可以把这些所谓的

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

以及a3 b3 c3 d3

都可以给它求出来了

于是我们就得到右边的这么一个图了

那么相比之下

那么这个图比我们刚才说的二次样条的图就显得更为光滑了

总的来说

我们许多样条

它的次数越来越高的话

我们所得到的差值函数

它是一步步更为光滑下去

那么利用插值函数

来进行我们说的数学建模

实际上的话

一个基本的出发点就是

希望我们的误差的精度越来越高

或者说希望误差的越来越小

这么一来甚至为零

这样就得到了一个东西

好的 总的来说

我们在这一章里面

我们是基于数据本身

能够带有或者反应

我们客观事物的一些属性

或者一些信息利用数据

来进行一些组建

数学模型或者说利用数据来

对一些数学模型的一些参数进行估计

这是我们在数学建模里面

通常非常常用的一种办法

也是一种非常重要的办法

那么这种方式的话

在我们后面的参数变式啊

或者自动控制等等方面都会用到很多

那么我想这一章关于数据处理的

我们就说到这里

同学们 下课再见

数学建模课程列表:

第1章 数学建模

-1.1 案例分析

--1.1.1 操场设计

--1.1.2 铅球投掷模型I

--1.1.3 铅球投掷模型II

-1.2 数学建模绪论

--1.2 数学建模绪论

-1.3 数学建模活动

--1.3 数学建模活动

-第1章 习题

--第1章 习题

第2章 数据处理方法

-2.1 最小二乘方法

--2.1.1 最小二乘方法原理

--2.1.2 最小二乘方法参数估计

-2.2 拟合函数的扩展

--2.2 拟合函数的扩展

-2.3 最小二乘方法应用

--2.3 最小二乘方法应用

-2.4 线性插值

--2.4 线性插值

-2.5 样条插值

--2.5 样条插值

-第2章 习题

--第2章 习题

第3章 平衡原理与机理模型

-3.1 Malthus模型

--3.1 Malthus模型

-3.2 Logistic模型

--3.2 Logistic模型

-3.3 捕食者模型

--3.3 捕食者模型

-3.4 差分方程模型

--3.4.1 差分方程模型I

--3.4.2 差分方程模型II

-3.5 随机动态模型

--3.5.1 概率准备知识

--3.5.2 纯生随机模型

--3.5.3 简单生死随机模型

-第3章 习题

--第3章 习题

第4章 AHP方法与系统决策

-4.1 成对比较矩阵

--4.1 成对比较矩阵

-4.2 一致性指标

--4.2 一致性指标

-4.3 权重向量的计算

--4.3 权重向量的计算

-4.4 量纲分析

--4.4 量纲分析

-4.5 轮廓模型

--4.5 轮廓模型

-第4章 习题

--第4章 习题

第5章 经典模型分析

-5.1 名额分配

--5.1 名额分配

-5.2 Hamilton方法

--5.2 Hamilton方法

-5.3 Q方法

--5.3 Q方法

-第5章 习题

--第5章 习题

第6章 线性规划

-6.1 两变量的线性规划

--6.1 两变量的线性规划

-6.2 单纯形方法

--6.2 单纯形方法

-6.3 整数规划

--6.3 整数规划

-第6章 习题

--第6章 习题

第7章 模糊信息处理

-7.1 模糊集合

--7.1.1 模糊集合

--7.1.2 模糊集合运算

-7.2 模糊关系

--7.2 模糊关系

-7.3 模糊综合决策

--7.3 模糊综合决策

-7.4 模糊聚类分析

--7.4 模糊聚类分析

-第7章 习题

--第7章 习题

2.5 样条插值笔记与讨论

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