3.1 Malthus模型在线视频

同学们好

刚才我们在第二章是利用数据来做了一些分析 研究

或者组建我们的数学模型

当时我们的前提条件是说

对一些事物的相关因果关系的不是很清楚

对它的机理机制

所以我们得借助一些数据来进行分析来组建数学模型

那么接下来我们这一章里面就开始想利用机理跟机制

利用一些因果关系来组建我们的数学模型

那么在组建数学模型的过程当中

由于在组建我们的机理模型的过程当中

我们说平衡原理是一个非常重要的一个手法

平衡原理是个非常重要的方法

所以什么是平衡原理呢

实际上大家可以做来设想

我们从小学就开始涉足了平衡原理

所谓的当初的方程的概念不就说

我们说在教室里

现在多少人出去多少人教室里还有多少人

这不是一个等量关系嘛

所以我们说呢

所谓的平衡原理呢

从冲突的角度来说

现在就是一个量跟量之间的一种等量关系

一种平衡关系或者说

我们自然界当中所有的东西或者说变化

那么都是受一种平衡关系来做一种支配

那么

要想得到一个因果关系

得到一个机理模型的话

大家可以设想一下我们的实际问题非常的复杂

那么要想把它的因果关系跟它理清楚的话

那么必然要做一些假设

也就换句话说

要通过一些

强无的或者比较强有力的一些假设

然后把他的相关的主要因素的关系跟它理清楚

然后利用这些主要因素关系之间的一些机理线

我们来得到一种平衡关系

从而我们对这种平衡关系的进行数学语言的描述

那么大家可以设想一下

那么在这做假设的过程当中是一个很重要的一个环节了

如果假设非常强的话

那么大家可以想象

对吧 我们得到了模型

可能会比较简单

简单有简单的好处

简单可以比较方便分析

也方便操作

但它的缺点呢可能会跟实际差距会比较大

但它的缺点呢可能会跟实际差距会比较大

如果假设比较弱的话

那么这样一来大家可以说没有做过多的假设

那么我们得到了模型呢可能会跟实际比较接近

但它的好处呢

就是接近对吧

接了地气

但是我们说它的缺点呢

就是模型比较复杂了

而不好操作或者不好求解

我们打个比方来说

我们说画一棵树

如果你要说做的假设很强

就把它描述成一个三角形似的对吧

中间一个主干两边有点叶子

如果你要说做的假设比较弱的话

你想把 树呢

对吧

千奇百怪的都画出来

那当然难度就非常非常大的事情了

所以在这里面到底是假设强还假设弱

我们可能将来要根据我们的实际问题或者说

根据我们将来能力来进行分析来进行处理

那么在这个过程当中的话

我们说

平衡关系实际说白了就是一个非常重要的一个手段

或者说组建数学模型那个非常重要的一个方法

那么在一平衡关系里面

我们刚刚说了

现在就开始要把这种量跟量之间的关系跟它理清楚

怎么能理清楚这个量跟量之间关系呢

我们接下来看一个小例子

那么首先第一个例子呢

我们说的是

贷款买房

贷款买房

那么大家都知道

现在银行可以给我们想买房人的提供一种贷款的业务

现在银行可以给我们想买房人的提供一种贷款的业务

那为了方便呢

银行里面也会提一些相应的要求

为了简单来处理

例如希望我们说想还贷款的时候还钱的时候

借款人在每个月都是以相等的额度来还钱

不要说左一千右一千 让大家也懒得记账

那么还钱呢大家就可以设想

既要还本金 还要还利息

既要还本金 还要还利息

那么在这种想法之下的话

我们可以来考虑一下对吧

暗暗算一算

每个月对吧等额还款

那么它的数学模型的组建的问题

在这里面

我们做几条假设

每个月还钱到底什么时候还

那么做一个假设

我们假设每个月的月底还钱

我们假设每个月的月底还钱

刚才也提到了还 还多少呢

我们说每月要还的金额是相等的

我们说每月要还的金额是相等的

那么还的时候我们还要还利息

那么利息怎么算的那么干脆既然是每个月还钱

那我们就开始考虑按月来计息

按月来计算利息

最后一个对吧

到了期以后一定要全部还清楚

而不要去拖欠

而不要去拖欠

于是呢 我们说

这四条假设做这四条假设好了

这四条假设做这四条假设好了

有了这四条假设以后

我们相应来说

引入一些符号首先呢

准备贷多少钱贷款的总额度

我们假设为A

贷款的周期总共有多长

我们假设是N年

那么换句话说

你的利息是按月来计息

那我就变成n

n就等于12倍的N

这个要计息

那么息是多少呢

利息是多少呢

我们的月利率为r

既然要还钱

每个月还多少呢

每个要还x的

因此呢我们引入这几个符号

A 小n r还有x

我们还在考虑它的平衡关系

所谓平衡关系的话

我们在说这个等量关系怎么能得到呢

这个等量关系靠这么来得到的

我到了月底

要还钱

还完以后我们还要欠人家银行的钱嘛

所以我们是到月底以后欠款的余额

等于谁呢 我们等于上个月

本来欠人家的钱欠人家钱以后呢

有了本金应该还有利息

利息完了以后再把那个我还的钱扣除以后

这就是我们家欠人家的钱吗

所以这么一来的

我们得到了这么一个等量关系

也就换句话说

我们得到了这么一个平衡关系了

得到了这么一个平衡关系

我现在我符号来进行表述

假设为Ck Ck的是表示第K个月月底

还了钱以后还欠钱的总额CK对吧

到了第K个月月底

我还了钱

以后还欠人家钱欠多少钱

它的总额那么欠他钱的总额

根据我们刚才的平衡关系来说

那就应该等于什么

等于他上个月他有本金

还有利息对吧

本金呢

那就是Ck-1了

那么加上利息就是

(1+r)Ck-1

还到多少钱都还到了X

那就减掉X

于是呢就得到这么一个表达式

或者得到这么一个平衡关系

Ck= (1+r)Ck-1-X

那么很自然的话k呢

可以=1 =2

一直往下延下去

所以呢

我们可以把这个递推关系呢 可以给它求解出来

递推关系

可以给它求解出来

最后呢

我们可以得到

我们说

因为刚开始欠多少钱呢

欠A

C0=A

最后的还完的

Cn=0 意思呢

就可以得到我们的右边这个表达式每个月应该还多少钱呢

每个应该还的钱应该是

r(1+r)^n

分母呢

是(1+r)^n -1

能够乘上一个A

那么这就是我们说的利用平衡关系

我们考虑的每个月等额还钱应该还多少的额度

那我想大家可以拿这个表达式去试一试

我们目前的吧

除了建行里面收的贷款

那么它的还的等额的金额是不是按照这个表达式计算出来的

这是我们的这么一个例子

接下来我们给出另外一个问题

这也是我们刚才在数据处理里面说

我们国家的人口数量的时候提到了一个模型

一个指数模型

那么人口是怎么增长的

人口是怎么增长的

关于人口的增长

我们开玩笑说

这个问题是非常非常复杂的一个问题

取决于政策 也取决于经济 取决于卫生 取决于环境

那么它是诸多因素是做用的一个结果

那我现在想描述一个地方或者描述一个地区描述的区里面人口

他是怎么来变化的

或者说怎么来智能增值的过程让这个问题就是比较大的事情

换句话说

这个问题就非常复杂

那么

既然这么一个复杂问题

我想来组建个数学模型的话

大家就可以设想出来

我这个时候将要配一个非常强的一个假设

才能把这个东西搞清楚

才能把这个东西说清楚了

那么平衡关系怎么得到的呢

平衡关系的话

我们就开始考虑

在一个时间段里面t到t+△t 在这个时间段里面

那么人口在这个时间段里面

它的变化量

对吧

它的变化量 那么变化量取决于谁呢

那么很简单

取决这段时间

它出生的人数取决这段时间死亡的人数

那么出生的跟死亡的相减

那就是说净变化量

那么实际上就等于我们这段时间里面人口数量的一种变化量了

那么我们利用这么一个关系

利用这么一个平衡关系

我们的开始考虑我们的人口的一种自然增长的一个数学模型的组建

那么在这里面的话

我们就开始做一些假设

刚才我们也提到了我们现在要做的假设可能是非常强的

强到哪种程度呢

大家甚至可能会有些

不合理的地方

但是我们很坦诚的跟大家说

因为问题非常非常的实际

所以我们做的假设确实是非常非常强的

希望通过这些强的一些假设

能够把问题细化出来

然后呢

我们将来再来往回倒

把一些问题呢

稍微复杂一点点

把一些假设 稍微弱化一点点

能够逐渐的能回到我们的实际问题当中去

这是我们的证明思路

好 首先

我们作为第一个假设

我们假设人群个体是同质的

也就是每个人都是一样的

那大家就开始痨翻天了

每个人个体怎么都一样的

男的女的

老的少的对吧 18岁

28岁

跟68岁跟八个月的能一样吗

肯定是不一样的

我们也知道

但是我们说

为了来得到屡清楚我们的平衡关系

所以我做了一个非常强的假设

人群个体是同质的

那么很简单理解的话就说点算数一个两个三个

第二个假设

我们说是群体的规模巨大

群体的规模巨大

指的是我们说总全国的人口数量很多了

人口数量大家都可以设想

本来是怎么一个两个三个四个对吧都是个理想的数值了

现在我们说你规模很大的话

我们就可以假设为数量呢

就是将来随着时间变化就变成一个连续的函数

变成一个可微的函数了

换句话说

也就是说

在人口里面变化一点点

我们可以把它看做是一个无穷小量了

看做无穷小量的对吧

这是我们说的第二个假设

第三个假设

我们就说

因为考虑是一个地区的一个区域上的那么很自然

我就开始考虑

假设这个区在这个地方属于一个群体是封闭的

属于封闭的话

我们再解释就说没有进

也没有出

那么人口的变化仅仅考虑什么呢

仅仅考虑在这段时间里面它的生育

它的死亡

只有生育跟它的死亡

才会导致它人口数量的变化

人口数量的变化 好的证明在这里面

我们也能三个符号

首先

第一个符号我们叫N(t)

表示说

t时刻

时间点为t

它的总的人口的数量

N(t)

第二

我们说B

表示出生的人口数量那么出生人口数量大家可以设想

取决于谁呢

取决于我们是总盘的数 N

取决你的时间开始点

t

还要取决谁呢

还有取决时间的间△t

大家可以试一下

我得△t越大

时间间隔越多越长

那么很自然

我这个生育的人可能就越来越多了

假如时间△t越来越小的话

那么很自然的话

在这段时间里面

在这个间隔里面生的人就会越来越少

所以我们说的设一个B还是一设D

那一样道理D呢

一起觉这三个量时间点t还一个时间长度△t

还有一个什么N

这么一来的话

我们就可以得到一个非常简单的一个平衡关系

就是我们说的

在△t这个时间段里面

人口的数量发生变化

那么人口数量发生变化

那就是我们说的末端点的N(t)+Δt

跟开始端的N(t)这两个数字之差就是我们说发生变化的人口数量

那么等于谁呢

等于这段时间所出生的人口数B

在减去这段时间里面

从死亡的人口数D这时候得到这么一个平衡关系

那么继续做平衡关系的话

我们接下来开始来做分析

做第四条假设

假设我们的群体非常大

考虑是一种平均的效果

考虑是一种平均的效果

所以的平均的效果的话

那大家可以想象到一个词就是我们的出生有出生率

死亡的有死亡率意思呢

我们的B呢

除了生育的人口数

那就应该等于什么

等于一个生育率

乘上个总的数量N

一样的 死亡的人口数呢

他应该等于什么

一个死亡率乘上一个N

这么一来的话

我们说刚才提到的平衡关系

N(t+△t)-N(t)

在得到t这个时刻里面

我们说他的人口数量的变化

那就应该取决于什么就会等于什么

等于在这段时间里面

所谓的出生率减去死亡率

他说

那个比例乘上谁呢乘上它的样本基数N

所以

换句话说就是我们说的t+△t时刻的人群种群数量

减去t时刻的人口数量等于谁呢

等于N乘上我们说的净增长率

这个净增长率

我们把它记做为R

那么一样道理来说

我们的出生跟死亡都取决于三个参数

一个时间 t 一个 △t 还有一个N

那一样道理来说 我这地方R呢

应该也是取决于我们说的一个是t

一个 △t

一个是N取决这三个指标是以得到了正面的表达式

好的有了这个表达式以后的话

我们接下来做点数学上的一种

变化做点数学上的变化

那么大家可以想象出来R这个函数是 △t N的一个函数

那如果我说 △t变为零的话

也就说没有时间变化

没有时间变化

大家可以想象出来没有时间变化

我也没有生也没有死

那么很自然R=0

R=0 意思呢

那我现在呢

就开始根据这个函数呢

做个泰勒展开 做个泰勒展开

做个泰勒展开的话那么很自然的话右边这个表达式就是我们说的dR

关于我们的△t了做个求导数 那么在那一点呢

在我们的△t=0这一点的一个导数值后面的就一个高阶下高阶下的话

我直接就用什么 用得△t的

高阶无穷小来表示它了

用它的高阶无穷小来表示它

竟然除了导数以后的话△t=0

那么大家可以试一下

那这里面就再也没有△t了

于是呢

我把这个函数呢

就写成了一个r(t,N)△t

那么r呢

在这里面取决两个参数

一个是t

一个是N

一个t

一个N 于是呢

把我们刚才这个表达式带到刚才的平衡关系里面去的话

平衡关系的左边将是我们说的N(t+△t)-N(t)

右边的就是我们r(t，N)N△t+N*0(△t)

好的关于这个无穷小量的话

我们现在可以做一个处理 左右两边左右两边

同时除一个△t

左边除于△t那就变成谁呢变成得到1/△t

那我们说N(t+△t)-N(t) 就变成这么一个表达式

右边的我们看第一项第一项把 △t 除掉以后

那么这么一来的话

r t n

这些地方就没有 △t了

后面是个高阶无穷小

那就无所谓的事情

无所谓的事情了

这是我们说的这么件事

好的 对这个表达式

我们再进一步来讨论它

如果那个时间间隔越来越小的话

什么叫越叫越小

也就让他时间间隔我们要趋于0的话

那左边呢

不就是我们说的一个导数吗

就是我们的dN/dt

左边的就是个导数就是dN/dt了

右边的话 当 △t趋于0的话

那高阶无穷小也就变得局限为零了

右边的正好就得一个r(t,N)N 就得到了我们说的这么一个方程

这么一个等式这么一个方程

这么一个等式 好的有了这个方程

有了这个等式 我们继续开始做假设

我们继续开始做假设 我们假设整个群体的增长

它是个恒定的

整个一个群体增长是恒定的所以恒定

什么意思呢

也就跟时间没关系了

对吧跟时间没关系了

时间就不是他的一个自由因素

既然是恒定的

那么很自然的话

我这个表达式r函数的表达式可以把t就抹掉了

于是呢我们刚才那得等式呢

就可以写成的dN/dt=r(N)N

有了N以后

这个函数以后 我们进一步再来做一个假设

假设个体的增长是独立的

个体的增长是独立的

个体的增长是独立的什么意思呢

也就是跟n又没关系了

跟n又没关系了

也许换句话说

r 就是个常数

于是呢 就得到一个最最简单的一个等式

左边是个导数

右边呢是一个常数

乘上N

那既然是一个导数等与一个rN

那么我们可以把它称作为是一个微分方程

这就是得到一个微分方程的一个模型

那么把这微分方程

我们给他一个初始值

当临时的时候 是多少的时候

那么微分方程可以向它求解出来

让求解出来就是我们说的N(t)=N0*e^rt

也就换句话说

我们在强有力的六大假设之下

得到一个非常非常简单的一个微分方程模型

来刻画我们群体的人口增长的一个变化过程

也就得到了我们说的N(t)=N0*e^rt

那么

首先大家先回忆一下我们现在得到的这么一个

随着时间变化的这么

一个函数关系是不跟我们刚才提到的数据处理里面说的一个指数函数非常非常类似

那么这个模型的话会给它一个非常非常有名的一个名字

这是因为Marthus著名的

生物学家他所提出来

Marthus模型

那么关于Marthus模型 还有很多有趣的一些话题

我们这里就不再多说它了

好的关于这一讲Marthus模型

我们先说到这 告一段落

谢谢大家