3.4.2 差分方程模型II在线视频

同学们好

我们上节课刚刚讨论过了一阶非线性差分方程

它的平衡点以及它的稳定的情况

那么我们得到了这么一个一阶非线性差分方程

xk加1等于b乘上xk 乘上1减去xk

那么在这里面呢

b呢等于r加1

那我们从数学上

我们刚才已经讨论过了

如果b呢在1跟3之间的话

我们就是平衡点的

它将是稳定的

它将是稳定的

那么我们接下来考虑一下

如果b大于3的那像是什么一种情况呢

b大于3

我们刚才已经告诉了我们说平衡点肯定是不稳定的

那么关于不稳定会有什么特别的一些性质呢

那么首先我们来看看一个数值的一个表达式

或者说数值来模拟一下

差分方程实际上xk加1等于b乘上xk乘上1减xk

那么从这个表里面可以看得出来

如果b等于1.7

那当然就在1根3之间

那我们将可以得到整个一个迭代过程

它将是稳定将稳定在哪呢

那个红值就是0.4118就可以看得出来

经过若干不迭代以后

那么大家就稳定在这地方了

如果我们b等于2.6的话满足我们的条件

并在1根3之间

那么b 呢这个值呢

那么整个迭代过来

我们将xk 也将会稳定稳定在哪呢

我们在0.615设值里边

那么这两列的值看的清楚当b在1跟3之间的话

我们说平衡点将是稳定的

我们刚才已经提到过

如果b大于3的话

那么将来是不稳定的

不稳定将会出现什么样的情况呢

我们来看看我们到后面的这三列首先看第三列

我们说的b等于3.3

b等于3.3

b等于3.3

我们将会发现就没有像刚在前面两列那么好的性质啦

对吧

稳定在一个值里面规定在一个值里面

但是呢我又有发现一个特别有趣的一个现象

它将是在两个值之间来个稳定其中一个值呢

我们说是0.4794

另外一个则是0.8236

并且的这两个值呢

还是来回在跳着往下再走的对吧

4794变的我们的8236

然后呢

又回到了4794

又回到8236上去了

那么这是什么一个原因会导致来的

对吧

我们在家看我们的第四列b等于3.45的话

我们在家看我们的第四列b等于3.45的话

我们在家看我们的第四列b等于3.45的话

我们将会看到

那么我们整个xk在4个值里面来回迭代

如果b呢

等于3 .55的话

将会在我们的8个值里面来回迭代

那么这些事情我们应该怎么在考虑怎么来分析

有没有一种数学在处理办法来处理它

那么接下来我们就开始考虑这么一种情况

首先得来考虑b等于3.3

对这种事情

b等于3.3

我们明确知道了x星这里

这点是不稳定的

但是我们就会发现了它有两个

对吧 两个值或者说有两个序列的它是稳定的

它是序列式稳定的

为什么会出现这种情况的

我们现在开始从数学里面讨论它

实际上在这个地方迭代的过程当中

我们看这里和迭代xk加1

所以xk来迭代

通过f对吧f的就是我们的二次函数

bx乘上1减x

我们接下来由xk加1再跟它迭代出xk加2出来

那么从数据里面可以看得出来

虽然就是f的平方在迭代了

现在就f的平方在迭代了

那么f的平方在迭代

大家可以设想一下

f是个2次函数

平方就变成4次函数于是呢

如果真要减xk加2

跟xk之间关系呢

那么将得到我们说的4个根了 得到4个根

那么

所谓的4个根

那说白了不就是减x等于f平方的x这么一个方程么

那么这个方程我们说求出4个根出来

特别有趣的是

刚才的2个根就是这是其中的

4个根里面其中的2个根了

但另外我们还新增加了2个根

那么新增加的2个根的话那么具体运算

我想这地方就我们就不用讨论了

我们直接看我们的图表

得到了是一个x1星x2星

那么x1星x2星呢

根据我们的2次函数的话

伟大定理我们还会有这些性质

那么由这些性质里面我们首先导出来

最后一条性质就是我们说的

x1星加上f1的x星

我们给它加加

加完以后将会等于谁呢

等于b分之b加1

b分之b加1跟我们前面说的伟大定理x1星x2星也等于b

分之b加1意味说什么东西呢

意味着我们说x2星就等于f的x1星

x2星就等于f的x1星

那就完成了

我们刚才提到了一件事情

那么它们之间的一种迭代

我们刚才说过了

对吧

两个根来回替代

来回替代就替代回去了

所以我们得到了这么一个结论

得到这么一个结论 好的它们这个结论以后的话

我们接下来就开始考虑了

这2个跟不能稳定下来呢

能不能稳定下来呢

那么能不能稳定下来的话

那我们从数学里面可以研究出来

这两个跟x1星x2星

大家都会在0到1之间了 都会在0到1之间这都好说的事情了

那么紧接着下来要个稳定就开始求什么呢 求它的一阶导数

也就换句话说

求f的平方

这个函数的一阶导数那么f的平方

这个函数一阶导数的

我们可以跟它算出来

算出来表达式呢就等于我们的第二行的那个表达式

我们算出来是b的平方减去2b的平方x减去2B的3次方x

再加上6的b的3次方x平方减去 4的

b的3次方x3次方

那么在这里面

我们需要讨论的事情将是讨论什么呢

讨论在这点

它的导数的绝对值将是什么一种情况

倒数的绝对将是什么 导数的绝对值呢

我们可以算出来就等于

最后这一行了

4加上2b减去

b的平方4加上2b减去b的平方

那么紧接着下来我们就开始讨论

那么这点它导数值

如果觉得这样小于1的话

那么它稳定下来

如果觉得这样大于1的话

它就不稳定

于是呢我们问题就转化为求解4加2b减去b平方

这么一个绝对值不等式

那么这个时候b的范围了

好的把这个表达式我们跟它结算一下

我们将会得到这么一个表达式就是说b呢将小于1加上根号6

根号6呢

我们给它算一下大概是3.449

要么换句话说

b如果要是小于3.449的话

那么我们说

在x1星这里

它将是稳定下来的

那我们回忆一下

我们刚才那个b是多少呢

刚才我们在的表格里面我们的b呢

b等于3.3

所以我们可以想的出来肯定是小于3.449了

肯定小于3.449了

那么这么一来的话

我们在这两个点它是稳定

同时我们看看我们来看看第四个点b等于3 .45

3 .45

大家可以设想一定比我们3.449来的大

所以很自然的话

在这点呢就开始跳了

又开始不稳定了

所以呢

我们说第三列到第四列就开始发生变化了

第三列本来是说在这两个点

我们说它是稳定的

那么到了第四列

因为它已经超过了3.449了

所以呢

它又开始出现不稳定的一样的

针对第四种情况第四列这种情况

那我们大家可以设想一下

刚才第三列我们是讨论f的平方讨论的

f的平方的迭代

那对于第四列来说

那么我们就应该讨论什么

f的4次方的迭代了

讨论f的4次方的迭代

f的4次方迭代以后我们可以设想一下

那么那时候得到了f的函数

将是个8次函数

8次函数以后的话将会有8个根

那么前面的4个根对吧

就是我们刚才说的都已经讨论过了

那么新增过来以为4个根

那么新增过来4个根以后的话

那么我们讨论f的

那么我们讨论f的

4次方以后

它的导数那么我们可以分别讨论出来

这时候这4个点的

它的一种稳定性 它的一种稳定性

那么我们很容易可以得到一样的结论

它将是在

3 .45这个地方

它就开始稳定了

那么由第四列了

我们可以看到第五列 那么过了

这个界限以后我们又发现那么将来这4个点的又不稳定了

那将来又在那8个点开始稳定

所以大家可以想象出来

我们的迭代公式呢

就是由平方

到f的4次方将来考虑我说的f的8次方

那么以此类推

也就我们说的成倍的往上带走

成倍的往上再走

这就是我们通常说的一种倍周期的一种迭代

倍周期的一种迭代 那么迭代的最后结果将是什么样子呢

我们看一个图

这是我们说的对我们的倍周期收敛的话

一直来讨论讨论的结果呢

就是我们说的

f的平方f的4次方f的8次方将来往下再讨论

f的16次方求它的一阶导数导数的绝对值的吧

是不是小于它就收点

不小于

它就大于1

它将是不稳定的

那么这么一来的话

我们将会得到一个特别有意思的一个结论

那么多就这个时候相对原来的b值呢

分别为3个值

我们刚才讨论过的一个是3.449

那么接下来还有3.544 3.564一直往下再走下去于是呢

就会得了这么一个非常有意思的一个图

这个图我们把它称作为倍周期分岔的一个混沌现象

好的 同学们今天的课

我们讲到这里 下次再见