当前课程知识点:数学建模 > 第3章 平衡原理与机理模型 > 3.5 随机动态模型 > 3.5.1 概率准备知识
同学们 大家好
我们刚才针对Malthus模型
跟logistic模型
我们是要讨论了两种情况
一种的讨论是连续型的 我们微分方程的模型
另外的讨论 我们说
离散型的差分方程模型
那么接下来我们针对这两个模型
我们在做一些另外的讨论
也就换句话说
针对我们刚才说的六大假设
我们做一些另外的调整
那我们将来 将要考虑我们的随机模型
那再说随机模型之前的话
我们稍微补充一点点 概率方面的一些知识
首先补充的第一个概念就是我们的
n重伯努利实验
所以实验大家都知道了
n重贝努利实验指的是我们说研究走随机现象的
那么随机现象叫通过随机试验来实现
那么所谓贝努利实验实验的话
我们指的是说这么一种实验
这个实验实验出来结果只有两种
要不是A发生
要么就不发生
举个例子来说
就我们人用的钢镚
要么就正面向上
要么就正面向下
那么在这个过程当中
假设A给A杠
那么分别来说
A发生的可能性概率了
我们认为是p
那么很自然的话
A不发生也就A的杠A的于发生的概率的就是我们的1减p
那如果我把这种事情做n次试验
那么大家就可以设想一下
那么
如果做n次只发生一次
那么这一次在第几次发生第一次发生第二次发还是第n次发生
那么很自然
就是我们能出来一个CA1这种可能性
这种方式数那么把它推广出来
如果发生k次
所以我们得到一个Cnk
这么一个表达式
Cnk乘上Pk乘上1减去P的n减k次方
有了这一点了
那我们接下来就开始考论一个概念
什么概念划分
所谓划分的话
指的是说
把一个大的集合分解成若干个小的部分
列如分解成B1 B2 Bn
怎要求这些Bi之间的满足
我们这两个条件首先两两之间没有交集
第二个呢把它合在一块并在一块呢
等于我们的整个大的集合
通常我们用四个字叫不交 也不漏
来说 收划分这个词
有了划分以后的话
我们引入一个经常要用到一个概念
叫全概率公式
全概率公式实际上就说
叫计算一个集合计算一个事件我们的A它的概率
那我们就开始怎么来计算它呢
实际上就是化整为零了
也就计算它每个跟B1之间跟B2之间
以及到跟Bn之间它们的交 大概有多少或者公共部分有多少
然后把每个小的部分A B1
A B2 A Bn的概率都算出来以后
合在一块就是我们的A的概率了
所以就得到我们说的全概率公式那么全概率公式
那么我们中间有个条件
A B1怎么算呢 A B1可以用条件概率的乘法公式来计算它
好的看这么个图就看的非常清楚了
整个中间有个几何A
那么分别用B1 B2
一直到Bn跟它有个相交的部分
实际上就相当于把一个大的几何
把它分解成各个零散的部分
把每一个小的部分给它算清楚
以后把它合在一块就是它了
当然
这地方要求我们的那个Bi一定是一个划分对吧
两两之间没有交集
并且合在一块
并在一块就是我们的整个一个大几何
S
有了它以后的话
那么接下来就开始考虑
随机变的怎么刻画的问题
随机变量大家知道随机变量有两种
一种的是离散型的随机变量
一种的是我的连续性的随机变量
那么离散型随机变量就用了分布律来刻画它
也就是当随机变量等于Xk时候
它的可能性有多大 好的为了考虑它
那我们就开始考虑两个数字特征
一个数字特征是处于期望
一个数字特征是一个方差 说离散型的随机变量
数学期望怎么计算呢 实际就相当是计算它
当Xk的时候可能性有多大
乘上一个PK把这种k呢
跟它重新一直到无穷
跟它垒加起来就可以了
那么实际上所以期望的有点类似我们说的
加权平均这一说法
只不过这个时候权呢 我们可以看做概率来刻画它了
另外一个随机变量的数字特征就是方差了
方差是说的什么意思呢
方差实在是描述那些随机变量
离我们说的期望值之间的差距的大小
也就是说
用X减去EX这个差括号的平方
那我来计算它的数学期望表示我们说的差距的大小
大家可以设想
如果离那个平均值
那个期望是差距远的话
那么我们说方差就大
如果它相对离得近一点
方差也就小了
有了这个方差的概念的话
大家就可以想象出来
那么实际上的话方差呢
就表示它的远近般
远近的话就我们反过来理解的话就说期望
来表示它的总体我们可靠不可靠对吧
如果我们说期望表示
它的总体的一种平均水平的话方差很大很大
那这么一来就觉得有点不可信的
如果方才要很小的话
那当然了
我们说期望表示就比较可信
比较可信
这是方差的概念
这是我们的关于方差的一个计算表达式
让我们看中后面一个
DX等于EX的平方减去我们数学期望括号的平方
这是我们两个数值特征
接下来我们就开始考虑另外一个问题了
这是我们一直在强调的事情
六条假设六条假设 个体同质
规模巨大
那么群体封闭平均效应以及增长的恒定
个体独立等等 六条假设里面我们开玩笑说
刚才动过两条假设对吧
我们如果考虑规模巨大的话
我们微分方程的模型就到了吗
Malthus模型跟logistic模型
如果我们说把规模呢
我们看成是离散化的话
那我们这么一来就变成一个差分方程差分方程
那么顺带我们的个体增长独立呢
改成一个减函数
互相竞争就变成它了
那么紧接着下来我们将来考虑的就开始考虑
我们第四条假设
我们把平均效益这个事情我们开始考虑为个体的行为
考虑为个体的行为那么有了个体的行为
大家都可以清楚个体行为
它的出生跟死亡呢
那么实际上是我们的一种
随机的事件既然是随机的事件
严格呢
我们接下来将会要考虑一个
关于我们说种群数量的一个随机模型
那我想涉及到随机模型
我们就可能涉及到
刚才用到了这些补充的知识
那么关于随机模型的详细论述
我们下节课再说谢谢大家
同学们再见
-1.1 案例分析
-1.2 数学建模绪论
-1.3 数学建模活动
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 最小二乘方法
-2.2 拟合函数的扩展
-2.3 最小二乘方法应用
-2.4 线性插值
--2.4 线性插值
-2.5 样条插值
--2.5 样条插值
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 Malthus模型
-3.2 Logistic模型
-3.3 捕食者模型
-3.4 差分方程模型
-3.5 随机动态模型
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 成对比较矩阵
-4.2 一致性指标
-4.3 权重向量的计算
-4.4 量纲分析
--4.4 量纲分析
-4.5 轮廓模型
--4.5 轮廓模型
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 名额分配
--5.1 名额分配
-5.2 Hamilton方法
-5.3 Q方法
--5.3 Q方法
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 两变量的线性规划
-6.2 单纯形方法
-6.3 整数规划
--6.3 整数规划
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 模糊集合
-7.2 模糊关系
--7.2 模糊关系
-7.3 模糊综合决策
-7.4 模糊聚类分析
-第7章 习题
--第7章 习题