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3.5.3 简单生死随机模型在线视频

下一节:4.1 成对比较矩阵

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3.5.3 简单生死随机模型课程教案、知识点、字幕

同学们好

我们刚才把随机性引到了

我们的种群数量模型里面

我们考虑了我们的纯生的过程

纯生的过程

那么接下来大家都知道我们整个在

种群变化过程当中有生也会有死

或者我们说生死还可能共存的事情

所以接下来我们开始考虑一下把死亡的现象也弄进来

考虑 一个纯死的过程

考虑纯死的过程的话

虽然整个思路跟想法跟刚才完全一样

研究生考虑纯死的过程里面

我们这个时候就不考虑生育了

不考虑生育或者说生育了这种效应

我们就可以忽略不计了

意思呢 手法跟刚才一样

也就是我们假设一个刚开始 t 指的是一个人

那么过了一段时间以后一个人就没了

那么就变成我们说的xt加Δt这个时候变成0个人了

0个人也就换句话说发生的一次死亡现象

那么这种可能性有多大呢

刚才我们是用λ来表示

现在的我们换另外一个字母μ乘上Δt来表示

好的发生的一次死亡

当然大家都说道

如果人多以后发生两次死亡以后的话

那么我认为那是一个高阶无穷小的事情了

接下来我们就开始考虑人数多一点n个人的情况

好的对于n个人来说

实际上的话发生一次死亡

那么换句话说到了t加Δt时刻就变成n减1了

那么一样的手法就是辩证我们的多重贝努利实验

那么到底是第一个发生第二轮发展还是第n个发生

那么辩证我们的cn1的Δt

换句话说就是我们的n倍乘上一个μ再乘上一个Δt

再加上高阶无穷小了

那么发生多次死亡的现象

我们认为是个高阶无穷小

那么最初把我们引入我们的全概率公式

我们继续来考虑在t加Δt时刻以后

这个时候种群数量为n

那么它的概率有多大

也就是我们刚才

这个表达式t加 Δt时刻种群数量为n

它可能性有多大呢

那么实际上大家可以设想一下

或者是说刚开始就是n个人中间这一段里面

0个人发生没有发生死亡现象

还一种情况呢

刚开始我们说是n加1个人

我们这段时间里面发生的一次死亡

当然还有呢对吧

刚开始

我们说n加j个人这段时间里死了若干个死了j个人

然后再维持在

我们这n个人里面去

那么把这个

数学块来表示就是我说的

得到这么一个表达式的t加 Δt 时刻种群数量为n

那么它的可能性有多大呢

我们通过计算可以写出来

1减去μ乘上Δt的

n次方再乘上我们的pnt

再加上我们说的n加1

那么这个时候呢

由n加1个人发生的一次死亡现象

乘上一个μ乘上Δt 得到这个表达式

一样道理来说

那么把它表达式展开

再让我们的Δt趋于0

那么我们就可以得到下面这个

微分方程到下面这个微分方程的

那么

下面微分方程我们可以想一下它这个时候呢

是由n加1就变到

是由n加1就变到
n上去了

n上去了

所以我们说可以设想出来

它的第一项的就是μ乘上

n加1再乘上n加1pt那么减掉谁呢 能减掉

nμ乘上的pnt

那么

这个微方程跟我们刚才所讨论的也是一样的

它也是个迭代的过程

对吧有n

那么就说n加1有n加1就我们

说的n加2等等

一直往下在走手法都是一样的

那我们继续可以讨论 把特殊的一个结论

就是说如果刚开始是n0

那么得到微分方程就是我们的dpn0

除以dt等于负的n0乘上μ

乘上个pn0

那么我们可以看出来这个表达式结果是什么

就是我们到t时刻还想

保持n0这么多种群数量不动的话

我们说这种可能性有多大呢

这种可能性是一个e的负n0乘上e

μt次方可以设想一下

那么对一个死亡现象要发生的过程当中

还想保持种群人数不变

这种可能性

大家可以设想肯定是越来越小的了

所以我们说得到一个e的负的指数函数

所以在验证了我们这个结果一样道理

我们可以来考虑它的平均效应

我们可以考虑它的平均效应

那么平均效应来也就是计算它的期望的

那么它的期望呢

计算的结果跟我们

Malthus模型得到的结果也是非常非常的吻合了

另外呢

我们也可以得到另外一个结果

什么样的结果呢

就是那个n pn

那个n

如果变为0是什么意思

p0t p0t也就说

到时候t是个种群数量为零的也就全部没了

也就是我们通常说种族灭绝那么这时候可能性有多大呢

我们大家可以设想

对一个纯死的过程来说

那么种群灭绝是一个迟早的事情

所以概率肯定是一个大于0的事情

这是我们的纯死过程

那么有了纯死过程以后的话

我们接下来就可以考虑我们的既有生还有死的事情

于是呢

我们就可以考虑我们那个生死都并存的事情

也就我们这么考虑的简单的生死过程

简单的生死过程里

就说

在这过程当中

有生的也有死的对吧

有生的也有死的

那么仿造过来的话

我们就看一下

假设生育那么可能性有多大死亡的可能性有多大

介于我们刚才的符号生育呢

我们用 λΔt 死亡用μ Δt

那么不生不死呢

那就说1减去 λ乘上Δt

可以减去我们说的μ 乘Δt

这里来的话建议我们刚才那套手法

我们一样的可以得到一个微方程

就是我们下面这个微方程

那么既考虑生又考虑死

那么大家可以设想那么既有我们说生的过程

就有n减1变的n

那么死的过程就是n加1要变的n

所以在这里呢

我们就相当说有n减一项

对吧也有n加1的一项

当然还有n的这一项

把这个方程我们可以求解出来

当然确实有方针

有一定的数学难度

那我们这边我在讨论我们之间给出他这个结果

结果里面我们看这几个结果

首先这个结果就是我们的期望

对吧期望的我们刚才说过了考虑它的平均效应

那么我们得到的数学期望的结果等于n0

乘上一个e的

λ 减去μ的括号t次方

那么从期望的可以看的出来

我们这个表达式跟我们Malthus模型

里面考虑平均效应是完全一致的

完全一致的

那么第二个结果就是我们的方差的结果

那么一样的道理

方差我们就能衡量指标衡量我们的期望

对吧 表示它的可信度方差要大

可信度底 方差要小可信度就高一点

我们最关心的是后面这个结果

后面这个结果这个结果我们说的是什么

t时刻里面保持种群数量为n

那么这种可能性有多大

那么把这个结果呢

我们在特殊一点就是我们的右下角

这个结果我们可以放大来看这个结果呢

可以看得出来

单个t时刻和种群数量

我们说的是n0的时候我们会有这种这种情况的出现

第一种可能性

如果λ 小于等于μ λ 小于等于μ的话

我们大家可以想一下

也就是出生的对吧

可能性比死亡的可能性要能来的小

那么很自然的话就是我们说的入不付出了

那么灭绝可能性是非常非常高的

所以我们说可能性唯一

但是我们更关心在后面

这个结果λ 大于μ 的时候什么意思呢

就出生比死亡率还高

出生率高于死亡率

那么这个时候我们还会出现一个什么

以λ分之μ括号的n0次方这么一个正概率要出现

也就是说

在一个随机波动的环境过程当中

即使出生率比死亡率还要高的话

我们说这个种群可能还会面临的一种

灭绝的这种可能性

灭绝的这种可能性

那么关于这个事情的结果的话

我想有两种事情来验证

一方面的话

我们可以查一些对吧

史料看看一些家族的情况是不是会出现这种情况

对吧另外一种的就按照我们现在来说最简单的实现

我们可以采取随机仿真的实现

对吧随机仿真的实现我们来仿真一下

当一个出生率λ比μ要来得大的时候

我们整个计算它的种群数量

最后会不会变到0上去

如果是变到0上去

那么我们就可以验证了这个结果

那么换句话说

这就是我们说的研究种群的随机模型里面

比我们之前研究的微分方程模型

或者说这些研究的零散模型里面

所得到一个另外一个新颖的结论

换句话说

这就是我们说的用数学建模

从不同的角度来阐述不同的问题

所带给大家的一种数学的一种魅力

好的 今天这课我们说到这地方

下课 同学们再见

数学建模课程列表:

第1章 数学建模

-1.1 案例分析

--1.1.1 操场设计

--1.1.2 铅球投掷模型I

--1.1.3 铅球投掷模型II

-1.2 数学建模绪论

--1.2 数学建模绪论

-1.3 数学建模活动

--1.3 数学建模活动

-第1章 习题

--第1章 习题

第2章 数据处理方法

-2.1 最小二乘方法

--2.1.1 最小二乘方法原理

--2.1.2 最小二乘方法参数估计

-2.2 拟合函数的扩展

--2.2 拟合函数的扩展

-2.3 最小二乘方法应用

--2.3 最小二乘方法应用

-2.4 线性插值

--2.4 线性插值

-2.5 样条插值

--2.5 样条插值

-第2章 习题

--第2章 习题

第3章 平衡原理与机理模型

-3.1 Malthus模型

--3.1 Malthus模型

-3.2 Logistic模型

--3.2 Logistic模型

-3.3 捕食者模型

--3.3 捕食者模型

-3.4 差分方程模型

--3.4.1 差分方程模型I

--3.4.2 差分方程模型II

-3.5 随机动态模型

--3.5.1 概率准备知识

--3.5.2 纯生随机模型

--3.5.3 简单生死随机模型

-第3章 习题

--第3章 习题

第4章 AHP方法与系统决策

-4.1 成对比较矩阵

--4.1 成对比较矩阵

-4.2 一致性指标

--4.2 一致性指标

-4.3 权重向量的计算

--4.3 权重向量的计算

-4.4 量纲分析

--4.4 量纲分析

-4.5 轮廓模型

--4.5 轮廓模型

-第4章 习题

--第4章 习题

第5章 经典模型分析

-5.1 名额分配

--5.1 名额分配

-5.2 Hamilton方法

--5.2 Hamilton方法

-5.3 Q方法

--5.3 Q方法

-第5章 习题

--第5章 习题

第6章 线性规划

-6.1 两变量的线性规划

--6.1 两变量的线性规划

-6.2 单纯形方法

--6.2 单纯形方法

-6.3 整数规划

--6.3 整数规划

-第6章 习题

--第6章 习题

第7章 模糊信息处理

-7.1 模糊集合

--7.1.1 模糊集合

--7.1.2 模糊集合运算

-7.2 模糊关系

--7.2 模糊关系

-7.3 模糊综合决策

--7.3 模糊综合决策

-7.4 模糊聚类分析

--7.4 模糊聚类分析

-第7章 习题

--第7章 习题

3.5.3 简单生死随机模型笔记与讨论

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