当前课程知识点:数学建模 > 第3章 平衡原理与机理模型 > 3.5 随机动态模型 > 3.5.3 简单生死随机模型
同学们好
我们刚才把随机性引到了
我们的种群数量模型里面
我们考虑了我们的纯生的过程
纯生的过程
那么接下来大家都知道我们整个在
种群变化过程当中有生也会有死
或者我们说生死还可能共存的事情
所以接下来我们开始考虑一下把死亡的现象也弄进来
考虑 一个纯死的过程
考虑纯死的过程的话
虽然整个思路跟想法跟刚才完全一样
研究生考虑纯死的过程里面
我们这个时候就不考虑生育了
不考虑生育或者说生育了这种效应
我们就可以忽略不计了
意思呢 手法跟刚才一样
也就是我们假设一个刚开始 t 指的是一个人
那么过了一段时间以后一个人就没了
那么就变成我们说的xt加Δt这个时候变成0个人了
0个人也就换句话说发生的一次死亡现象
那么这种可能性有多大呢
刚才我们是用λ来表示
现在的我们换另外一个字母μ乘上Δt来表示
好的发生的一次死亡
当然大家都说道
如果人多以后发生两次死亡以后的话
那么我认为那是一个高阶无穷小的事情了
接下来我们就开始考虑人数多一点n个人的情况
好的对于n个人来说
实际上的话发生一次死亡
那么换句话说到了t加Δt时刻就变成n减1了
那么一样的手法就是辩证我们的多重贝努利实验
那么到底是第一个发生第二轮发展还是第n个发生
那么辩证我们的cn1的Δt
换句话说就是我们的n倍乘上一个μ再乘上一个Δt
再加上高阶无穷小了
那么发生多次死亡的现象
我们认为是个高阶无穷小
那么最初把我们引入我们的全概率公式
我们继续来考虑在t加Δt时刻以后
这个时候种群数量为n
那么它的概率有多大
也就是我们刚才
这个表达式t加 Δt时刻种群数量为n
它可能性有多大呢
那么实际上大家可以设想一下
或者是说刚开始就是n个人中间这一段里面
0个人发生没有发生死亡现象
还一种情况呢
刚开始我们说是n加1个人
我们这段时间里面发生的一次死亡
当然还有呢对吧
刚开始
我们说n加j个人这段时间里死了若干个死了j个人
然后再维持在
我们这n个人里面去
那么把这个
数学块来表示就是我说的
得到这么一个表达式的t加 Δt 时刻种群数量为n
那么它的可能性有多大呢
我们通过计算可以写出来
1减去μ乘上Δt的
n次方再乘上我们的pnt
再加上我们说的n加1
那么这个时候呢
由n加1个人发生的一次死亡现象
乘上一个μ乘上Δt 得到这个表达式
一样道理来说
那么把它表达式展开
再让我们的Δt趋于0
那么我们就可以得到下面这个
微分方程到下面这个微分方程的
那么
下面微分方程我们可以想一下它这个时候呢
是由n加1就变到
是由n加1就变到
n上去了
n上去了
所以我们说可以设想出来
它的第一项的就是μ乘上
n加1再乘上n加1pt那么减掉谁呢 能减掉
nμ乘上的pnt
那么
这个微方程跟我们刚才所讨论的也是一样的
它也是个迭代的过程
对吧有n
那么就说n加1有n加1就我们
说的n加2等等
一直往下在走手法都是一样的
那我们继续可以讨论 把特殊的一个结论
就是说如果刚开始是n0
那么得到微分方程就是我们的dpn0
除以dt等于负的n0乘上μ
乘上个pn0
那么我们可以看出来这个表达式结果是什么
就是我们到t时刻还想
保持n0这么多种群数量不动的话
我们说这种可能性有多大呢
这种可能性是一个e的负n0乘上e
μt次方可以设想一下
那么对一个死亡现象要发生的过程当中
还想保持种群人数不变
这种可能性
大家可以设想肯定是越来越小的了
所以我们说得到一个e的负的指数函数
所以在验证了我们这个结果一样道理
我们可以来考虑它的平均效应
我们可以考虑它的平均效应
那么平均效应来也就是计算它的期望的
那么它的期望呢
计算的结果跟我们
Malthus模型得到的结果也是非常非常的吻合了
另外呢
我们也可以得到另外一个结果
什么样的结果呢
就是那个n pn
那个n
如果变为0是什么意思
p0t p0t也就说
到时候t是个种群数量为零的也就全部没了
也就是我们通常说种族灭绝那么这时候可能性有多大呢
我们大家可以设想
对一个纯死的过程来说
那么种群灭绝是一个迟早的事情
所以概率肯定是一个大于0的事情
这是我们的纯死过程
那么有了纯死过程以后的话
我们接下来就可以考虑我们的既有生还有死的事情
于是呢
我们就可以考虑我们那个生死都并存的事情
也就我们这么考虑的简单的生死过程
简单的生死过程里
就说
在这过程当中
有生的也有死的对吧
有生的也有死的
那么仿造过来的话
我们就看一下
假设生育那么可能性有多大死亡的可能性有多大
介于我们刚才的符号生育呢
我们用 λΔt 死亡用μ Δt
那么不生不死呢
那就说1减去 λ乘上Δt
可以减去我们说的μ 乘Δt
这里来的话建议我们刚才那套手法
我们一样的可以得到一个微方程
就是我们下面这个微方程
那么既考虑生又考虑死
那么大家可以设想那么既有我们说生的过程
就有n减1变的n
那么死的过程就是n加1要变的n
所以在这里呢
我们就相当说有n减一项
对吧也有n加1的一项
当然还有n的这一项
把这个方程我们可以求解出来
当然确实有方针
有一定的数学难度
那我们这边我在讨论我们之间给出他这个结果
结果里面我们看这几个结果
首先这个结果就是我们的期望
对吧期望的我们刚才说过了考虑它的平均效应
那么我们得到的数学期望的结果等于n0
乘上一个e的
λ 减去μ的括号t次方
那么从期望的可以看的出来
我们这个表达式跟我们Malthus模型
里面考虑平均效应是完全一致的
完全一致的
那么第二个结果就是我们的方差的结果
那么一样的道理
方差我们就能衡量指标衡量我们的期望
对吧 表示它的可信度方差要大
可信度底 方差要小可信度就高一点
我们最关心的是后面这个结果
后面这个结果这个结果我们说的是什么
t时刻里面保持种群数量为n
那么这种可能性有多大
那么把这个结果呢
我们在特殊一点就是我们的右下角
这个结果我们可以放大来看这个结果呢
可以看得出来
单个t时刻和种群数量
我们说的是n0的时候我们会有这种这种情况的出现
第一种可能性
如果λ 小于等于μ λ 小于等于μ的话
我们大家可以想一下
也就是出生的对吧
可能性比死亡的可能性要能来的小
那么很自然的话就是我们说的入不付出了
那么灭绝可能性是非常非常高的
所以我们说可能性唯一
但是我们更关心在后面
这个结果λ 大于μ 的时候什么意思呢
就出生比死亡率还高
出生率高于死亡率
那么这个时候我们还会出现一个什么
以λ分之μ括号的n0次方这么一个正概率要出现
也就是说
在一个随机波动的环境过程当中
即使出生率比死亡率还要高的话
我们说这个种群可能还会面临的一种
灭绝的这种可能性
灭绝的这种可能性
那么关于这个事情的结果的话
我想有两种事情来验证
一方面的话
我们可以查一些对吧
史料看看一些家族的情况是不是会出现这种情况
对吧另外一种的就按照我们现在来说最简单的实现
我们可以采取随机仿真的实现
对吧随机仿真的实现我们来仿真一下
当一个出生率λ比μ要来得大的时候
我们整个计算它的种群数量
最后会不会变到0上去
如果是变到0上去
那么我们就可以验证了这个结果
那么换句话说
这就是我们说的研究种群的随机模型里面
比我们之前研究的微分方程模型
或者说这些研究的零散模型里面
所得到一个另外一个新颖的结论
换句话说
这就是我们说的用数学建模
从不同的角度来阐述不同的问题
所带给大家的一种数学的一种魅力
好的 今天这课我们说到这地方
下课 同学们再见
-1.1 案例分析
-1.2 数学建模绪论
-1.3 数学建模活动
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 最小二乘方法
-2.2 拟合函数的扩展
-2.3 最小二乘方法应用
-2.4 线性插值
--2.4 线性插值
-2.5 样条插值
--2.5 样条插值
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 Malthus模型
-3.2 Logistic模型
-3.3 捕食者模型
-3.4 差分方程模型
-3.5 随机动态模型
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 成对比较矩阵
-4.2 一致性指标
-4.3 权重向量的计算
-4.4 量纲分析
--4.4 量纲分析
-4.5 轮廓模型
--4.5 轮廓模型
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 名额分配
--5.1 名额分配
-5.2 Hamilton方法
-5.3 Q方法
--5.3 Q方法
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 两变量的线性规划
-6.2 单纯形方法
-6.3 整数规划
--6.3 整数规划
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 模糊集合
-7.2 模糊关系
--7.2 模糊关系
-7.3 模糊综合决策
-7.4 模糊聚类分析
-第7章 习题
--第7章 习题