当前课程知识点:数学建模 > 第4章 AHP方法与系统决策 > 4.1 成对比较矩阵 > 4.1 成对比较矩阵
同学们好
我们上一章讲过了利用平衡原理
来构造我们的机理模型的一种方法
那么在这里面
我们探讨过微分方程
差分方程以及随机的模型的方法
那么今天呢
我们开始涉及另外一种建模的方法
我们把它称之为层次分析方法
那么层次分析方法
是由上个世纪美国的一个运筹学家萨蒂他所提出来的
它主要用于我们的一种复杂系统的一种决策
首先我们来看两个例子来感觉一下
我们说层数分级方法
它这种具体的思考的
途径跟背景
例如我们在家里要买冰箱
对吧
要买冰箱的话
我们说市面上会有一些品牌的冰箱
例如有海尔啊
西门子啊
三星啊
美的啊等等
各方面的那家里要买一个冰箱的话
那么很自然就开始
从这几个品牌里面选这个品牌出来
那么很自然就会出现了你凭什么选这个品牌对吧
凭什么选这个品牌
你肯定综盘的有个考虑
综盘的一种考虑
那么怎么考虑呢
那我们将来就会来想将来会想
怎么来考虑这个过程
第二个小例子就是我们说嫁接到了要出去出去旅游
假如我们说有泰山
有杭州
有承德
有这些地方来选个旅游景点
那到底选哪个地方去哪个地方呢
那我想的话
一般来说都会有一些因素
或者都会有些准则来考虑
例如我们通常想到了
就说这个地方景色怎么样
今天的吃住行包括去了一些费用的问题了
那这是说明什么东西呢
这说明就说把我们整个一个怎么来买怎么来去
旅游景点把这么一个思维过程呢
我们跟它做一种层次化
第一步考虑什么第二步考虑什么
那我把它们做个层次化
因此呢萨蒂层次分析方法呢
实际上很重要一个想法就是说
把我们的社会结构跟它层次化
建立一种地接城市结构
所谓地接层次结构里面的话
最高层也就是我们通常说的
要做的事情要出去旅游或者要买冰箱
这是我们的最高层准备要做的事情
还有呢一个最低层
所谓的最低层呢
就是我们先备选的一些方案备选的一些方案
例如啊一些景点例如啊一些冰箱的品牌
那么中间的一块呢
就是我们说的你是怎么考虑的
考虑了哪些准则
考虑了哪些因素
考虑了哪些准则考虑了哪些因素
这么一来
大家可以设想出来
就是个最高层
有个中间层
还一个最低层了
那么这地方我们特意强调一下
那么对于上下两层的关系来说
我们可以把它称作为上层称作为目标
下层称作为方案
这么一来的话
把我们刚刚说的两个小例子
我们拿过来就下来建立了这么一个地接层次结构了
最高层是建立冰箱准备买
那么最低层呢
就是下面的四个品牌了
那么中间那一层呢
我们把它称作为一个准则层或者因素层呢
就是考虑对吧
品牌功能价格包括我们的耗电以及服务的一些事情
如果我们说出去玩的话
出去旅游的话
那一样的最高层就是我们出去旅游出去旅游
那么最低层呢就是我们的几个方案
到底去杭州去泰山还是去承德
那中间呢牵扯的一些准则或者一些因素
就是说整体费用怎么样
景色怎么样
居住怎么样
饮食怎么样
交通怎么样
好的
从这个例子从这个地接层次结构
我们可以看得出来
中间涉及到五个因素
有的因素呢
我们说可以量化
有些因素可以量化
例如交通
饮食
居住费用
准备准备花多少钱
就住什么样房子准备花多少钱
准备吃什么样的
准备花多少钱
你的交通工具就决定了
但是我们说呢
还有些因素呢
他就不是能够数量化的而是什么
而是一种定性的感觉
例如我们中间涉及的因素景色
对吧景色就不好
量化了不好量化了
而是说这个地方不错
这地方值得一来
这地方厅非常好看
所以我们就可以看得出来
在我们决策的过程当中
可能会面临到一些有定性的
还有一些定量来刻画的这些准则
这些因素我们将来要出去玩
要出去旅游的话
我们就开始要面对
怎么把这种定性的跟定量的这些准则
这些因素揉在一块
把它定量化
这是萨蒂对我们的最大的一个帮助
好的怎么能把这些因素跟它定量化呢
他提出了这么一个想法
提出这么一个想法
然后那就是说
假如因素我们叫xi
或者因素叫xj
我们用一个指标aij来表示
表示什么东西呢
表示这两个因素
相对我的目标的重要性程度的比值了
重要性程度的比值了
好从这句话可以看得出来
aij表示
xi跟xj
对于目标的重要性程度比值
那么很自然
aji呢
那就应该是xj
关于xi
它的重要程度的比值了
所以如果他能够量化的话
很简单就可以看得出来
aji就应该等于aij 的倒数
这是第一个消想法
第二个消想法
你不说重要性程度比值吗
那我们再考虑特殊一点
那就aij等于1
如果aij等于1的话
就表示他们俩对于目标来说都是同等的重要
都是同等的重要
好的
再特殊一点
那么这个值要是比1大的话
那我们就可以认为xi相对来说
比xj就更重要了就更重要了
于是呢
我们就可以得到一个以aij为原数值的一个
n行n列的一个矩阵
A
那么这个矩阵呢
给它一个名字
我们把它称作为成对比较矩阵
那么成对比较矩阵怎么来量化它呢
上一集给出了这么一个准则
如果我们说在描述它的重要性的时候
如果大家两个都是相同
或者相当我们认为重要性
取值就为1了
如果是说比较重要取值为3
如果是重要
取值为5很重要
取值为7绝对重要
取值就为9了
那我们说如果不好判断
那么在它们二者之间的话
我们可以分别用2468
来表示它了
2468来表示它了
这是我们刚才说aij的值
那明明知道a
axj比xi重要
那怎么办呢
那我们可以怎么办
我们可以翻过来
对吧
我们可以把aji确定出来
那aij不就等于它的倒数了吗
于是呢
我们成对比较矩阵呢
就相当于用什么呢
用123456789以及它的倒数
这17个值来刻画出一个n行n列的一个矩阵
这个矩阵呢
大家可以看得出来对吧
主对角线的都是1
那么对称位置上的值呢都是负为倒数
负为倒数
好的
所以其实呢
萨蒂的除了给出我们说这种
标定的方法以外萨蒂
另外还给出了26种方法
然后呢通过物理的实验他验证了我们刚才这种标定
用123456789以及它的倒数的标准方法
认为是最好的
同时呢我们也可以从心理学来验证一些东西
对吧
心理学的一些认知告诉我们
一般来说判断差碍性
最多也就7加减2了7加减2到头也就9了
所以呢用最大是9来表示它的极端的重要
实际上的话我们认为是可行的事情
好的这样一来
我们就得到了一个矩阵
得到一个矩阵
我们把它称作为成对比较矩阵
那么在这个矩阵里面的话
我们刚才注意到了
对角线是1对吧
对称位置上的值呢
我们说是负为倒数
所以这个矩阵呢
我们可以给它另外个名字
把它称之为正负反矩阵
所谓正就是每个元素值都是大于0的
负反呢指的是对称位置上负为倒数
我们把它称之为正负反矩阵
那么在这正负反矩阵里面的话
我们来看看刚才的例子
看看例子
我们说不是要出去旅游吗
我们有五个因素啊
那五个因素两两做比较的话
那么大家就可以想象出来
我们就可以得到一个5乘5的一个矩阵了
5乘5的一个矩阵
那么我们现在
屏幕上显示的就是5乘5的一个矩阵
在这个矩阵里面呢主对角线呢是1
那么对称位置上是负为倒数的事情
负为倒数的事情
这样一来的话
我们实际上就给出来一个成对比较矩阵
或者说一个正负反矩阵
那我想
至于这个正负反矩阵怎么来定量化它的重要性
这是我们下节课内容
我们这节课先说到这
下课
再见
-1.1 案例分析
-1.2 数学建模绪论
-1.3 数学建模活动
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 最小二乘方法
-2.2 拟合函数的扩展
-2.3 最小二乘方法应用
-2.4 线性插值
--2.4 线性插值
-2.5 样条插值
--2.5 样条插值
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 Malthus模型
-3.2 Logistic模型
-3.3 捕食者模型
-3.4 差分方程模型
-3.5 随机动态模型
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 成对比较矩阵
-4.2 一致性指标
-4.3 权重向量的计算
-4.4 量纲分析
--4.4 量纲分析
-4.5 轮廓模型
--4.5 轮廓模型
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 名额分配
--5.1 名额分配
-5.2 Hamilton方法
-5.3 Q方法
--5.3 Q方法
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 两变量的线性规划
-6.2 单纯形方法
-6.3 整数规划
--6.3 整数规划
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 模糊集合
-7.2 模糊关系
--7.2 模糊关系
-7.3 模糊综合决策
-7.4 模糊聚类分析
-第7章 习题
--第7章 习题