4.4 量纲分析在线视频

同学们好

我们今天开始说

另外一种新的建模方法

叫量纲分析方法

量纲分析是对物理现象

或者说物理问题相关的一些物理量

的属性进行分析的一种

非常重要的建模方法

那么它实际上是根据

我们的物理量的一些

具有的形式

来分析物理量之间的一种关系

或者说物量之间的一种规律

物理量之间的一种规律

那么从它呢

通过两个分析

我们呢看来检查一下

物理量之间的规律是否正确

或者说 对物理规律的一些关系

进行一些下一步的一些探讨

说到量 那我们必须有个概念

叫量纲

我们通常在建模分析里面说的量呢

我们的主要呢是指的是物理量

而不是说一个数值

因为什么呢

我们通常说x等于3 x等于5

我们应该跟它附加一个单位

附加一个单位

那么从物理量角度来说

我们说

一般来说可以分为两种

一部分我们把它称作为 基本的物理量

我们把它称作为基本量

那么在这里通常就我们的长度啊

质量啊

时间啊

这些我们说是一些基础的或者说

独立的量

另外还有些量呢

我们把它称作为 人生的物理量

或者称为导出量

那么这些物理量呢

是由一些基本的物理量

根据它的物理规律 所延伸所言倒出来的

例如我们通常说的速度啊

加速度啊

力啊

那我们大家都知道速度呢

所以我们说单位的时间

里面跑了多远一个长度

所以我们通常说是拿一个距离除以时间

所以我们说对于

速度这种物理量来说

我们把它称作为 导出的物理量

那么对于物理量来说

大家都非常清楚

我们有一些单位

例如我们说长度的单位呢

可以用米 可以用厘米 对吧

甚至可以用毫米来刻画它

那么一样质量的单位呢

可以用克 千克 对吧 来刻画它

所以这么一来的话

大家可以想象 对于一个物理量来说

它就应该有个度量的一个单位

那么这些单位 多了以后的话

那可能容易引起一些混淆

于是呢

我们在1971年的时候

就证明了一个国际单位

那么就相当是把这些物理量呢

我们用统一的一种度量

统一的一种度量

比如在这里面

我们说基本的物理量

长度 质量 时间 电流强度

温度以及光的强度

还物质量呢

我们的单位一般是用 米 千克 秒

安培等等来表述

对一些它属于延伸出来的

物理量

或者倒出量的话

我们的速度啊

力啊能量啊

我们就基于这些基本的物理量的单位

我们跟它派生出来了

派生出来了

那么这些物理量过程当中的话

我们需要特别注意了

概念就是我们的量纲

所谓量刚指的什么意思呢

我们说是给定一组基本的物理量

它的量纲的

密的乘积

密的乘积

例如 举个很简单的例子来说

我们说假设一个物理量是Q

那我把这Q呢用个符号

方括号给它框起来

那我们给定的一组基本的物理量呢

就是我们刚刚说的

对吧

长度啊

质量啊

时间啊

等等来说

所以呢

就会有L M T等等

这些字母来表示

上面呢给它一个指数

我们通常说的α β γ δ等等来说

那么这些指数呢

我们给它附加一个名词

我们把它称作为量纲指数

把它称作为量纲指数

好的 看这么一个例子

我们来看看

例如我们的长度量纲称为L

质量的量纲称为M

时间的量纲基准为T的话

那么面积的所以可以看出来

面积就是我们说的长度在乘上长度

属于它的量纲就变成我们L的平方

体积呢就是我们的长宽高了

所以我们说量纲就写成L的三次方

那么这里面看到2呢

看到3呢就是我们说的量纲指数

特别一点就是我们的速度

速度等于我们说距离除以时间

所以它的量纲呢就可以写L乘上T的负1次方

类似的来说

加速度的就可以写成

L乘上T的负2次方

有了这些量纲以后我们可以

想象一下不同的单位跟它带进来

那就变成每秒多少米

每小时多少公里等等来说

所以我们说量纲的信息

那就相对来说比单位的信息

我们说更基本更客观

更基本更客观

好的

对于一个我们一个特殊的量纲

我们说

如果一个物理量的量纲指数

如果一个物理量量纲指数也就我们刚说的

α β γ δ

等等来说

如果它等都等于0的话

都等于0的话

那么很自然大家都知道

如果只说都等于0那么乘起来了

就等于1了

所以q就等于1了

q等于1的话

我们把这个物理量称作为无量纲量

把它称作为无量纲量

这是我们下步需要重点考虑了

一个量无量纲量

好的需要特别注意一点呢就是说

无量纲量它并不一定是没有单位的

那么最明显的例子就是我们说角度

角度它是个无量纲的

但是角度它是有单位

它有弧度

来对它进行刻画

好的在量纲分析过程当中的话

我们需要特别注意的一个概念

就是我们的量纲齐次法则

所谓量纲齐次法则的话

说的非常简单一点的话就是说

对一个物理规律来说

它肯定可以表示一个数学的表达式

肯定可以表示一个数学表达式

那么对这数学表达式的话

那么很自然的话

我们对它进行加啊对它进行减哪

对它做一些操作的话

我们一定要记住

它的量纲必须要是一致的

也就换句话说

量纲一定要相同

或者说它是无量纲的

否则的话就会存在

我们说的一个人加上另外一种

生物种群

那你说加出来的是什么东西呢

我们必须要做到量纲要一致

量纲要一致

那么量纲一致起来的话

我们说就可以进行加

可以进行减的这些运算

那么最明显的一个例子

我们说牛顿第二定律

F等于ma

那么两边的量纲

就要一致起来

F 的量纲是ML乘上T的负2次方

那么右边的我们说

质量乘上加速度

那么它的量纲呢

也是ML乘上T的负2次方

两边的量纲要必须一致起来

必须一致起来

我们刚才提到了两个分别

是上个世纪的二十年代

产生在物理学领域里面一种

非常重要的一种建模方法

那么这种建模方法的重要的根据是什么呢

重要的根据就是我们的Buckingham π 定理

他说的是什么意思呢

是说若干个物理量

x1 x2 xn

它如果能构成个物理系统的话

那么从我们来说

既然是一个系统

它肯定应该有个规律

有个规律的话

我们说就会有一个函数的表达式

例如我们这段把它记住为

x1 x2 xn

满足个函数关系

F就是说

Fx1x2等于0了

好的

接下来我们要说

它一定可以把这个

函数关系给它缩小为

我们说的有n个变量

我们可以缩小为

我们说M个变量

来表示它

那就换句话说就可以由π1 π2 πm

构成个新的函数关系

f来等于0

这些小

小的πi呢

有什么

有什么特点呢

我们的小的πi有2个特点

首先第一个的话

小的πi它是由那些xi的

比如我们说Π的乘基来刻画它

也就换句话说

等于xj的

if次方然后做乘积

由那些x

i呢那我们做它的Π的运算

跟它乘积起来

第一个特点第二个特点呢

我们说这些πi呢一定是一个无量纲量

既能是无量纲量的话

也就是说把这些πi

给它方括号起来

那它就该等于1了

π就该等于1

好的

那么接下来我们利用这个π定理

我们来考察一个大家都非常熟悉的

一个物理现象

就是走我们说的单摆运动

就是我们的单板运动

那么单板运动

在我们大家的中学就已经接触过了

说的是一件什么事情呢

说是一个质量为m的一个小球

对吧记在一个长度为l

的一个线的一端

让它开始垂直上下摆动

但考虑下我们说单板运动它的一种

运动的周期规律

那么

中学物理都已经知道了

t呢等于什么呢

得用二π

乘上根号l笔上记

这种你知道一个结论

那么接下来就开始运用

我们的量纲分析这套办法

来对它进行建模

说到建模那我们首先要给出

几条假设

我们这都要给出四条假设

首先不考虑空气的阻力

对吧

第二呢把所有的摩擦力

我们都跟它忽略掉

第三

由于摆动我们考虑是平面运动

第四呢

我们考虑除了小球啊

除了摆线那都是个钢铁

那么我们就换句话说

之间就开始没有什么弹

弹性的变化

同时呢把摆型的质量啊

把变形啊都跟它忽略掉了

通过这4条假设以后的话

我们开始来考虑

这么一个物理系统

考虑一个单摆的物理系统的话我们

涉及到的一些物理量

首先是一个运动的周期

然后是摆线的长度

然后摆球的质量

还有个重力加速度

最后还一个摆角

就是我们的正服

好的分别用字母

t l m g 跟θ跟它表示出来

那么同时呢把它量纲都跟它写出来

对吧时间的量纲呢写成是T

l量纲写成L

质量的是M

那么速度跟加速度量纲呢

我们是L的T负2次方

那么θ我们刚才特别注意到了

摆角

它是个无量纲量

所以呢

θ的方括号

它就应该等于1了

它就应该等于1了

好在这些

五个物理量呢我们说构成个物理

系统的话

那么很自然

就存在一个F

一个函数关系

也就F的t l m g θ它要等于0了

那我们接下来开始考虑

能不能找出比这五个变量

还少一点的变量

来克服一个新的函数关系

怎么来刻画呢

那么首先呢

我们就考虑我们说的

πi把它无量纲写出来

πi呢

那就应该是这些

实物的这些xj的一种密的乘积了

密的乘基了

也就我们说的

t的α1次方l的lα2次方

m的α3次方以及

记得gα4次方

θ的α5次方

把它写在一块的话

把它量纲计算出来

把它量纲计算出来

那么很自然的话

我们就可以写出

这么一个表达式出来了

之后呢

由于它是无量纲量

那么很自然的话就得到了我们说的

α1 α2 α3 α4 α5的

这么一个方程组

那么除了一个方程组大家可以看得出来

这个时候我们说是五个变量

只有三个方程

那么很自然

就开始求解了

它的解空间就是两维的了

那么很自然的话

如果我已经选定

两个自由变量的话

那我这α1

一直到α5

就可以跟它求出来了

例如在这地方

我们选定α4跟α5

分别取做为1 0跟0 1

那么α12345的话

我们都可以把它求出来求出来

当它取出1 0的时候

那么α1 α2 α3的取值

当着为取值为0 1的时候

α1 α2 α3的取值了

得到了两个

两个解

那么很自然的话

把它带到我们刚才说的π里面去

所以很自然得到一个π1

得了一个π2

其中π1呢

就是我们说的

t的平方乘上g/l

π2呢就是个θ

根据我们的Buckingham π 定理的话

我们就可以说了

π1跟π2呢

得到一个新的函数关系

构成个f

构成个f

那么很自然的可以想到

虽然是π1跟π2构成的函数关系

那我就可以反分解出来了

我就可以反解出来了

例如我就可以反解出π1

用π2来刻画它

π1由π2来刻画它

于是呢 把我们刚才π1跟π2带到里面来

就可以得到这么一个表达式

t呢

等于k倍的θ

乘上一个根号l/g

乘上一个根号l/g

那么大家可以对影响我刚才那个表达式

那么实际上就跟我们刚才说的2π乘上根号

l/g就非常非常的接近了

那么从这个表达式里面的话

我们可以得到一个

很重要的一个提示什么提示呢

就是我们说单摆的

运动周期跟什么

跟它的摆球的质量没关系

它等于k倍的θ

乘上l/g

跟摆线的长度

跟我们的重力加速度有关系

跟质量是没有关系

那么是不是这样的呢

是不是这样的

那么很自然的话

我们将来可以借助

我们的实验物理学家的一些

进步的分析

我们来验证这个结论

好的我们今天就说到这里下课