4.5 轮廓模型在线视频

同学们好 我们针对刚才说的

单摆运动或者用量纲分析的方法

来分析我们单摆运动 这么一种建模的方式

我们来开始了构建另外一种模型

叫作轮廓模型

那么 我们首先会议一下 我们的单摆运动

单摆运动 我们刚刚说了

是把所有的物理量跟它构造出来

把它量纲给它找出来

然后呢 构造出我们说的无量纲量

得到一个线性方程组

然后呢 由一次线性方程组呢

我们在跟它对它进行求解

那么解除它两个不同的

我们说两组解出来分别得到π1

分别得到π2

当然在这里 我们选定的是α4跟α5作为它的基向量

那么求解出α1α2α3

那我得到我们说一个运动的规律

我们表明单摆的运动周期呢

可以说的 跟摆球的质量是没有关系的

那么一样道理来说

我们能换一个基向量 换一个基向量

那么在这里面

我们换一个基向量

我们换成这两个基向量

我们来看一看

那么这样一样呢

我们说一样的可以把α1α2α3α4α5解可以得到

那么得到了我们说 这两组解

这两组解呢 我们分别可以得到一个π1

分别可以得到一个π2

那么从这里面

我们可以得到一个由π2来刻画

或者说来描述π1

所以得到这么一个表达式

这个表达式仍然是我们说的

t等于k倍的θ乘上一个根号 l一g

那么结论跟刚才一样的 表明我们说

单摆的运动周期跟摆球的质量是没有关系的

那么是不是这样的

我们刚才说到了

我们可以借助于

我们的实验物理学家 领先实验的数据来进行观测

那么由这个表可以看的出来 对吧

统计分析表明

我们说整个运动的周期确实跟质量没有明显的相关性

没有明显的相关性

那么从这里面来说

我们进一步还可以来分析出

那个kθ到底是什么样的

我们可以得到kθ基本上就是我们的2π

基本上做2π

所以通过我们的量纲分析这套办法呢

我们把我们的摆球的

或者单摆的运动周期的规律跟它刻画出来

就是我们的t等于2π乘上根号l一g

好了 这么一来的话

我们现在特别来看所谓2π

π不就是个3点14159的一个常数吗

所谓的重力加速度的g

g不是9点8吗

我们通常来说

如果把这两个这两个数值给它带进来的话

我们说2π再除以一个根号g

那么就是一个常数 是由很简单来理解的话

t就等于k倍的乘上根号l了

换句话说

k就是个常数

也就是说

单摆的运动周期跟我们摆长的根号

它是成正比例的关系

所以我们说得到一个非常简单的一个比例关系的模型

得到一个非常简单的一个比例关系的模型

t呢 等于根号l k倍

或者说t呢 跟摆长的根号成正比例

所以呢 从这来看的话

我们的量纲分析起来

给我们结束了一个什么东西呢

不同的量纲之间

例如t跟l它们之间的一种转换规律或者一种比例关系

那么从这里面 我们也可以看得出来

那么 在同样一个模型当中

如果我们说 y1跟y2它分别都是由一个x来刻画的量纲

x的α次方 或者说x的β次方 那么很自然的话

我们说y1跟y2之间

我也可以得到一个比较明显的一个比例关系

也就是我们说的β分子α次方

这是我们说从纯粹的比例关系里面

可以看到的这么一个规律

那么借助于它的话

我们可以来构造一个非常粗糙的

或者说 非常一般化的一个轮廓模型

我们基于这种比例关系 怎么来构造呢

我们先看一个最简单的例子

我们来感觉一下 我们做这种比例关系

考虑一个几何体

我们考虑特殊的几何体也就正立方体吧

在这正立方体里面

如果棱长是a的话

那大家可以想象出来所谓的周长 对吧

所谓的对角线长度

所谓我们说的 底面的对角线长度

那么基本上都是什么都是l

或者都是a的正比例关系

或者4a或者2a或者根号a

或者根号3a等等来说

就是我们说a的乘上一个系数

如果考虑面积

不管是表面积 还是底面积来说

那么实际上呢 它总是a的平方的一个系数

或者说 a的平方的一个比例关系

考虑体积 不管是我们说正方体的体积

还是棱锥的体积等等来说

都是a的三次方乘上一个系数

所以呢 从量纲的角度来看的话

我们说棱长如果看成是l的话

那面积就应该是l的平方

体积呢 就应该是l的三次方

当然具体刻画

那就应该还有存在一个系数

这是从量纲的角度来说

所以呢 很自然的话

我们就可以有这么一个结论

有这么一个结论 对吧

在相应部分的面积跟它的长度的平方是成比例的

对吧 相应部分的体积呢

跟它的长度呢的三次方是成比例的

如果把面积跟体积呢

我们作用不同的量纲之间做一种交换的话

或者说做一种转换的话

那么我们可以看出来

那么体积跟面积的什么 二分之三次方

它是成比例关系的或者说成正比例关系的

这么一个想法 好的 利用这么一个想法

我们来考虑一个非常简单的一个问题

考虑一个非常简单的问题

这是我们在生活当中经常会碰到的

我们大家去超市 对吧

去买东西

我们都可以看到有很多不同的商品

有不同的包装

不同的商品 有不同包装

有的是小包装 有的还有大包装

那我们自己买东西的时候

我们开玩笑说

都是要货比三家

或者说考虑下性价比的事情 哪个更合算

我们就开始买了一个

那么这是一组数据

我们可以看到的一组数据

例如我们说 看它佳士洁的那个草本的牙膏

有90克的 还有140克的 对吧

我们的提拉米苏这种蛋糕有六个装的

还有12个装的

还有我们说的 例如好丽友派等等来说

那么很自然的话 就开始考虑

你到底是买大包装还是买小包装

那么 从性价比的角度

我们都可以看得出来

一般来说

小包装要比大包装稍微要贵一点点

那么很自然的话

这种生活当中所发现的问题了

那么很自然我们就开始

希望借助于数学建模的方法稍微来分析一下

为什么小包装会比大包装要贵一点

或者大包装相对要便宜一点点

什么原因 什么原因

那么现在我们就开始借助于比例关系

轮廓模型来做一个简单的分析

好了

既然要做建模分析

那么首先来说

我们就开始做几条假设

首先 第一条假设

我们说不考虑一些其他的因素

对商品的价格的一些影响

例如我们通常说的广告的投入啊

或者说我们说的经济的动荡啊

这些东西我们都不考虑

我们站在那边考虑价格

我们说只考虑两种对吧

一种我们说包装所花的工时跟包装的材料 对吧

所谓的工时 大家可以说 那我们东西种类多

我都投入了

工人的投入也就越多了

这是我们说的 对吧

装一克跟装两克

我们考虑都是一种比例关系

包装的材料也是一样的

对吧 用的多

那我的这个包装材料的面积也就用的越多

那么只能我这个价钱也就跟它上去了

好的 相应来说

我们做两条辅助的假设 就是我们说的

不同的规格的商品

我们的包装的时候工作效率是相同的

那么我们可以简单来理解的话

对吧 都是拉一道缝

不管大缝跟小缝都是跟它钉在一块

所以我们的工作效率是一样的

第四个 我们做个很简单假设

不管是重的还是轻的 大包装还是小包装

我们说那些包装的材料

外观都非常相似

或者材料基本上相似

我们不考虑那种好像重的就用料好一点的

或者说轻的用一点差一点的材料

我们不考虑这个东西

我们说包装的外观跟材料都是基本上相似

或者说至少在价钱上是没有太多的区别

有了这几条假设的话

我们接下来开始考虑一些变量跟一些参量

A呢 我们假设是产品的一种成本呢

对吧 产品的一种成本 那么W呢

就表示我们商品的重量和质量

好的 B呢 有两部分构成

我们刚才说的 包装的成本由两部分构成

一部分是工时公司成本 一部分是什么材料成本

那么 一部分是B1 一个是B2

那么 S呢

我们说包装材料

它的用量 对吧

既然是包装

我们说买的是一块一块塑料纸了

然后把它再折成一个方

立体的图案

立体的东西

这样就构成包装

所以s呢 我们就相当那是个面积的概念了

C W表示总成本

cW表示什么

表示单位商品的平均成本

也就是每一克花了多少钱

每克花了多少钱

好 这么一来的话

我们来考虑下总成本

总成本实际上就是呢两种构成

一种是商品的成本

一种包装的成本

商品的成本我们刚刚说A

那包装的成本是一个B

B能有两部分构成

一个是B1一个是B2

那么实际上把它写在一块了

就是A B1跟B2 三部分构成了

商品的成本我们说了

那肯定谁的重量越多

花的成本就越大

所以我们认为是W的一个

一次方也就A1乘上W

A1乘上W

B1是谁呢B1是工时成本

工时成本 我们刚说了 装的越多呢

当然花的投入也许就多了

所以我们把它计作为A2乘上W A2乘上W

这是我们的A跟B写清楚的事情

B2是谁呢

B2我们说是包装材料的成本

包装材料的成本 那么很自然

它应该是谁呢

应该是用了多大的一块面积 对吧

一平方多少钱

那么 就变成我们的S的比例关系了

那S的比例关系的话

那我们再来想一想

S跟W之间有什么规律呢

我们知道面积跟体积之间 对吧

有个对应关系

面积跟体积之间有对应关系

那么面积实际上就等于谁呢

等于体积的我们说的

2的三次方了 那么体积有我们的密度公式

体积跟重量就可以对应起来了

所以这么一来的话

我们的B2都可以写成我们说了W的W的

我们说的3分之2次方 W的3分之2方次

好的 在乘上个系数 把它合在一块的话

A跟B1次W的一次函数

所以 我们要统它 把它写成为k1W

那么B2呢 就变成我们的k2乘上W的3分之2次方了

好 这时候我们说CW

考虑我们说 单位商品的平均成本的话

那就实际上由CW除一个W就可以了

就变成我们的k1加上k2

乘上W负3分之1次方 那么从这可以看得出来

W负3分之1次方

大家可以想象 它是W一个减函数了

W是个减函数

那么随意呢

从这可以看得出来

那么 随着w增加它的单位成本

它确实是在降低

这是我们说得到一个结论

对吧 单位商品的成本

它确实在降低 是W的减函数

所以我们大家说 它可以做大包装

因为越大包装越便宜嘛

这是我们的很简单的一个想法

那这么一来的话

大家会想到 那有没有可能无限制做大包装呢

那么有没有这种想法呢

我如果是无限的做大包装

那我们就接下来考虑 下面一个问题了

那么成本的降低率

成本的降低率

那只能？速度的概念了

对吧 成本降低率

那就说我每增加多少

我能够降低多少

那么实际上就用导数的概念

所以呢 在这地方我们就开始计算一个rW的事情

计算我们说一个rW就cW求导数

cW求导数 我们可以看得出来

那实际上就是我们说

k2乘上负3分之1乘上W负3之4次方

那我们说 既然是降低率的话

我就取个绝对值 比较方便一点

就等于3分之1乘上我们说的k乘上个W负3分之4次方

要从这个函数关系可以看得出来

从个函数关系就可以看得出来

那么 rW是仍然是w的一个减函数

对吧 仍然是W的一个减函数

那么 这个减函数说明什么事情呢

说成本的降低率确实是在下降

确实是在下降 对吧

就是说那么沿着大包装这条线往下再走

确实在下降

但是呢

我们计算下 后面这个东西 说的支出的节省率

那么 我们实际上的话

数着支出的设置节省率

那就是拿一个rW乘上一个W看看

它仍然是W的一个负3分之1次方

说它也是W的一个减函数

那这意味什么东西

意味着我们说 往下再做大包装

它确实是在减少

但是减少的是有限的 减少的是有限的

因为它是个减函数

所以从这里面可以看得出来

对于我们的现实生活里面来说

就说买东西 我们可以看得出来

买小包装肯定是不合算 小包装肯定不合算

但是我们说的买大包装也不合算

因为毕竟它往下再减

减的是有限的 减的是有限的

所以我们回过来

对应我们现实生活里面来看的话

我们一般的超市里面

一般的商店里面的话

说大包装跟小包装都会并存的 并存的

但是我们的特大包装就会很少

很少的事情的

这就是我们刻画这么一个问题

用比例关系 用轮廓模型

来了解一下我们现实生活当中的一些现象的事情

好的 关于轮廓模型

我们今天就说到这地方

我想下次课 我们再来说别的内容

今天到此结束

谢谢大家