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5.1 名额分配在线视频

下一节:5.2 Hamilton方法

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5.1 名额分配课程教案、知识点、字幕

同学们好

我们前几次课都讲了一些

数学建模的一些方法

那么今天呢

我们换一个思路

给大家讲一个

数学建模的一个案例的分析

那么这个案例呢

就是一个代表名额的分配问题

那由这张相片由这张图片

大家可以看得非常清楚

这是美国的白宫

也就是我们今天的问题呢

就涉及到了美国的一个问题

美国的一个问题 名额怎么来分配

问题背景是这样的

大家都知道在1776年的时候

美国在费城发表了独立宣言

那么1787年的时候呢

就开始颁布了宪法了

那么宪法里面明文规定了

这么一条说众议院众议院的一员

名额怎么分配呢

应该这么来分配

根据每个州的

人口比例来进行分配

那每个州的人口

比例进行分配说的俗一点的话

也就说你这个州对吧

在整个全国

他的人口呢

所占的比例比例数有多大

然后再乘上一个总数

总盘的数N

那么这个数呢就是你这个州

应该所拿到的众议院的议员的名额

但如果这个数量太小的话

那怎么办呢

所以

为了防止出现意外

所以我们另外还加了一条每个州至少要有一个名额

每个州至少要有一个名额

好这个宪法大概是在1788年就开始生效了

那么一生效下来

那么大家可以设想

那么很多人就开始琢磨这个名额怎么分配对吧

就开始出现了

一批政治家来参与这件事情也被政治家来参与这件事情

一批政治家来参与这件事情也被政治家来参与这件事情

那么以他们为杰出代表的

也就是我们说的其中的亚历山大Hamilton

还有后面的曾任总统 Jefferson

他都提出了各自的一种名额

分配的一种方法

名额分配的一种方法

那么后来呢还有一些数学家

又开始参与名额分配的事情

直到我们上个世纪八十年代

那么经过了将近两百年

名额分配的问题才告一个段落

好的接下来

我们开题说一下Hamilton的分配的这种办法

Hamilton的分配的

名额的办法是这么一种想法

实际上呢

他在很早提出来了经过

我们说一八五一年的时候

我们就开始实现的这种方法大概持续了将近60年

那么这种方法在1910年就开始停止使用了

那为什么停止使用

大家可以先设想一下中间出了一些问题出现的问题

我们这都简单来说

出现了所谓的三个悖论

出现了三个悖论

第一个悖论呢

那就是Alabama的一种悖论

指的是什么意思呢

就是说当总的席位数名额数在增加的情况之下

结果呢

有的州的名额数还开始减少了

还开始减少了

我们打个简单的比方来说就是在那

我们说

假如去年对吧给我发糖给我发奖金

我还发了三块五块对吧

那么今年的总盘数太多了

结果发现我今年好像也没偷懒

也没干嘛

也在努力工作

结果发的钱还少了

那这样来肯定有人就开始有意见了

这是我们说总席位数在增加的情况之下

那么每个州有的州

他的人口数还发生减少

这是我们的Alabama悖论另外一个悖论呢

就是Arkensas悖论

那么这个悖论指的是什么意思呢

就是说各州的人口数如果没有特别的变化的过程当中

那么总的席位数也在增加

结果发现他自己的席位还丢掉了

还减少了这东西就比较

让人难以理解的事情

那么后来呢

在缅因州也出现了类似了这种情况于是呢

那我们说的Hamilton方法在差不多实现了60年以后

在1910年就开始停止使用了

这是我们刚刚说的

在上个世纪二十年代的我们说

其实前一批政治家来参与的这个问题

现在后来就开始

由哈佛大学的一些数学家开始了研究

这个话题了

开始研究这个话题了

那么直到1941年的话

那么这两个数学家就提出了一个等额分配的一种等比例

分配的这么一种办法也就简称为EP的方法

用于议员的名额分配

或者用于议员的席位分配

并把这种EP的方法了由罗斯福总统还写入了宪法

那么至今一直在用至今在用

在上个世纪的七十年代的话

最后有两个年轻的数学家终于给出了一个非常重要

一个结论

在1980年提出了我们的著名的一个不可能定理

也就是说不用再去找别的办法了

我们说没有一种绝对能够公平的办法

能够使得名额分配能够进行下去

把刚刚的话题呢

我们转化为数学的语言来描述

那将是这么一个叫出这么一句话

假设有s个州

每个州的人数是pi 那么总的人口数呢

也就是把这些pi求和了等于一个小 p

N呢 就是我们的总的议员的名额数

总的议员的名额数

那我们说一个小ni就是我们说第i个州

它实际所得到的名额数或者说得到了议员的数了

这时候说 好的 小的ni把它求和

总盘数加起来就应该等N这没问题了

根据宪法来说

根据宪法来说

每个州的人口比例应该是什么样的

那就应该是小pi除以整个p了

然后呢乘上谁呢乘上一个N总的数量

乘上总的数量等于谁呢

等于一个qi

qi呢我们可以形象地称为它

就是这个州的议员的份额数对吧

由宪法数给它的一个份额数

问题就非常简单

也非常清晰出来了

我们来看看小n是谁啊

小n是每个州最后所得到的实际的议员数

那么肯定我们开发出

一个两个三个四的肯定是一个整数了

那qi是谁呢

qi是一个比例

人口的比例是个百分数

或者一个小数在乘上

一个N乘上一个整数

那我们很自然的话

就可以想象qi呢

有可能会是一个小数

有可能会是一个小数

或者说不能保证qi一定是个整数对吧

一个百分数吗

乘上一个整数你怎么能

保证它一定就是一个整数呢

所以我们说有可能就是个小数

那怎么让这个一个小数

跟一个整数能够接近起来

也就说

让qi跟小ni怎么能够接近起来

这就是我们说名额分配的一个难点所在

难点所在

好的为了把这问题说清楚

我们简单的看这么一个例子

看这么一个例子

我们假设s等于三

总的人口数等于两百

那么由三个单位来分配ABC

那么总的名额数呢

等于二十

我们来看看

假如刚开始的人口数量是一百六十四十

一百六十四十那我们来算一下百分比的话

那就50% 30% 20%了

然后在乘上一个二十

那么特别好

那么乘出来的数它刚好是10 6跟4

那么qi的正好是整数

正好是整数

那就把这整数直接分配给ni就可以了

所以了

ni就要等于10 6 跟4

所以我们的二十的预约名额就分配清楚的事情

我们说

假如这三个州的人口数呢

我们做了一点点变化

变成103 63跟34

那么总盘的数呢人口数还是两百

百分数呢我们的就变成了51.5%了

31.5%了还有17%

好的有了这个小数

我们再来乘一个二十N

我们可以看得出来就不再是一个整数啦

而是10.3 6.3 3.4也就换句话说这次qi呢

将是一个小数

怎么把这个小数跟一个整数能够跟它对应起来

也就换句话说

你给A

到底是给10还是给11还是给9

这就开始要出现问题了

B到底给6给7还是给5对吧

接近它的整数C到底给3还是给4

还是给别的给2

那么这么一来的话问题就出现了

怎么把一个qi分别给他一个整数

或者跟那个整数能够接近起来

这就是我们说名额分配的问题的一个难点所在

好的

我们今天先把问题的背景说到这地方

下次课 再见

数学建模课程列表:

第1章 数学建模

-1.1 案例分析

--1.1.1 操场设计

--1.1.2 铅球投掷模型I

--1.1.3 铅球投掷模型II

-1.2 数学建模绪论

--1.2 数学建模绪论

-1.3 数学建模活动

--1.3 数学建模活动

-第1章 习题

--第1章 习题

第2章 数据处理方法

-2.1 最小二乘方法

--2.1.1 最小二乘方法原理

--2.1.2 最小二乘方法参数估计

-2.2 拟合函数的扩展

--2.2 拟合函数的扩展

-2.3 最小二乘方法应用

--2.3 最小二乘方法应用

-2.4 线性插值

--2.4 线性插值

-2.5 样条插值

--2.5 样条插值

-第2章 习题

--第2章 习题

第3章 平衡原理与机理模型

-3.1 Malthus模型

--3.1 Malthus模型

-3.2 Logistic模型

--3.2 Logistic模型

-3.3 捕食者模型

--3.3 捕食者模型

-3.4 差分方程模型

--3.4.1 差分方程模型I

--3.4.2 差分方程模型II

-3.5 随机动态模型

--3.5.1 概率准备知识

--3.5.2 纯生随机模型

--3.5.3 简单生死随机模型

-第3章 习题

--第3章 习题

第4章 AHP方法与系统决策

-4.1 成对比较矩阵

--4.1 成对比较矩阵

-4.2 一致性指标

--4.2 一致性指标

-4.3 权重向量的计算

--4.3 权重向量的计算

-4.4 量纲分析

--4.4 量纲分析

-4.5 轮廓模型

--4.5 轮廓模型

-第4章 习题

--第4章 习题

第5章 经典模型分析

-5.1 名额分配

--5.1 名额分配

-5.2 Hamilton方法

--5.2 Hamilton方法

-5.3 Q方法

--5.3 Q方法

-第5章 习题

--第5章 习题

第6章 线性规划

-6.1 两变量的线性规划

--6.1 两变量的线性规划

-6.2 单纯形方法

--6.2 单纯形方法

-6.3 整数规划

--6.3 整数规划

-第6章 习题

--第6章 习题

第7章 模糊信息处理

-7.1 模糊集合

--7.1.1 模糊集合

--7.1.2 模糊集合运算

-7.2 模糊关系

--7.2 模糊关系

-7.3 模糊综合决策

--7.3 模糊综合决策

-7.4 模糊聚类分析

--7.4 模糊聚类分析

-第7章 习题

--第7章 习题

5.1 名额分配笔记与讨论

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