当前课程知识点:数学建模 > 第5章 经典模型分析 > 5.1 名额分配 > 5.1 名额分配
同学们好
我们前几次课都讲了一些
数学建模的一些方法
那么今天呢
我们换一个思路
给大家讲一个
数学建模的一个案例的分析
那么这个案例呢
就是一个代表名额的分配问题
那由这张相片由这张图片
大家可以看得非常清楚
这是美国的白宫
也就是我们今天的问题呢
就涉及到了美国的一个问题
美国的一个问题 名额怎么来分配
问题背景是这样的
大家都知道在1776年的时候
美国在费城发表了独立宣言
那么1787年的时候呢
就开始颁布了宪法了
那么宪法里面明文规定了
这么一条说众议院众议院的一员
名额怎么分配呢
应该这么来分配
根据每个州的
人口比例来进行分配
那每个州的人口
比例进行分配说的俗一点的话
也就说你这个州对吧
在整个全国
他的人口呢
所占的比例比例数有多大
然后再乘上一个总数
总盘的数N
那么这个数呢就是你这个州
应该所拿到的众议院的议员的名额
但如果这个数量太小的话
那怎么办呢
所以
为了防止出现意外
所以我们另外还加了一条每个州至少要有一个名额
每个州至少要有一个名额
好这个宪法大概是在1788年就开始生效了
那么一生效下来
那么大家可以设想
那么很多人就开始琢磨这个名额怎么分配对吧
就开始出现了
一批政治家来参与这件事情也被政治家来参与这件事情
一批政治家来参与这件事情也被政治家来参与这件事情
那么以他们为杰出代表的
也就是我们说的其中的亚历山大Hamilton
还有后面的曾任总统 Jefferson
他都提出了各自的一种名额
分配的一种方法
名额分配的一种方法
那么后来呢还有一些数学家
又开始参与名额分配的事情
直到我们上个世纪八十年代
那么经过了将近两百年
名额分配的问题才告一个段落
好的接下来
我们开题说一下Hamilton的分配的这种办法
Hamilton的分配的
名额的办法是这么一种想法
实际上呢
他在很早提出来了经过
我们说一八五一年的时候
我们就开始实现的这种方法大概持续了将近60年
那么这种方法在1910年就开始停止使用了
那为什么停止使用
大家可以先设想一下中间出了一些问题出现的问题
我们这都简单来说
出现了所谓的三个悖论
出现了三个悖论
第一个悖论呢
那就是Alabama的一种悖论
指的是什么意思呢
就是说当总的席位数名额数在增加的情况之下
结果呢
有的州的名额数还开始减少了
还开始减少了
我们打个简单的比方来说就是在那
我们说
假如去年对吧给我发糖给我发奖金
我还发了三块五块对吧
那么今年的总盘数太多了
结果发现我今年好像也没偷懒
也没干嘛
也在努力工作
结果发的钱还少了
那这样来肯定有人就开始有意见了
这是我们说总席位数在增加的情况之下
那么每个州有的州
他的人口数还发生减少
这是我们的Alabama悖论另外一个悖论呢
就是Arkensas悖论
那么这个悖论指的是什么意思呢
就是说各州的人口数如果没有特别的变化的过程当中
那么总的席位数也在增加
结果发现他自己的席位还丢掉了
还减少了这东西就比较
让人难以理解的事情
那么后来呢
在缅因州也出现了类似了这种情况于是呢
那我们说的Hamilton方法在差不多实现了60年以后
在1910年就开始停止使用了
这是我们刚刚说的
在上个世纪二十年代的我们说
其实前一批政治家来参与的这个问题
现在后来就开始
由哈佛大学的一些数学家开始了研究
这个话题了
开始研究这个话题了
那么直到1941年的话
那么这两个数学家就提出了一个等额分配的一种等比例
分配的这么一种办法也就简称为EP的方法
用于议员的名额分配
或者用于议员的席位分配
并把这种EP的方法了由罗斯福总统还写入了宪法
那么至今一直在用至今在用
在上个世纪的七十年代的话
最后有两个年轻的数学家终于给出了一个非常重要
一个结论
在1980年提出了我们的著名的一个不可能定理
也就是说不用再去找别的办法了
我们说没有一种绝对能够公平的办法
能够使得名额分配能够进行下去
把刚刚的话题呢
我们转化为数学的语言来描述
那将是这么一个叫出这么一句话
假设有s个州
每个州的人数是pi 那么总的人口数呢
也就是把这些pi求和了等于一个小 p
N呢 就是我们的总的议员的名额数
总的议员的名额数
那我们说一个小ni就是我们说第i个州
它实际所得到的名额数或者说得到了议员的数了
这时候说 好的 小的ni把它求和
总盘数加起来就应该等N这没问题了
根据宪法来说
根据宪法来说
每个州的人口比例应该是什么样的
那就应该是小pi除以整个p了
然后呢乘上谁呢乘上一个N总的数量
乘上总的数量等于谁呢
等于一个qi
qi呢我们可以形象地称为它
就是这个州的议员的份额数对吧
由宪法数给它的一个份额数
问题就非常简单
也非常清晰出来了
我们来看看小n是谁啊
小n是每个州最后所得到的实际的议员数
那么肯定我们开发出
一个两个三个四的肯定是一个整数了
那qi是谁呢
qi是一个比例
人口的比例是个百分数
或者一个小数在乘上
一个N乘上一个整数
那我们很自然的话
就可以想象qi呢
有可能会是一个小数
有可能会是一个小数
或者说不能保证qi一定是个整数对吧
一个百分数吗
乘上一个整数你怎么能
保证它一定就是一个整数呢
所以我们说有可能就是个小数
那怎么让这个一个小数
跟一个整数能够接近起来
也就说
让qi跟小ni怎么能够接近起来
这就是我们说名额分配的一个难点所在
难点所在
好的为了把这问题说清楚
我们简单的看这么一个例子
看这么一个例子
我们假设s等于三
总的人口数等于两百
那么由三个单位来分配ABC
那么总的名额数呢
等于二十
我们来看看
假如刚开始的人口数量是一百六十四十
一百六十四十那我们来算一下百分比的话
那就50% 30% 20%了
然后在乘上一个二十
那么特别好
那么乘出来的数它刚好是10 6跟4
那么qi的正好是整数
正好是整数
那就把这整数直接分配给ni就可以了
所以了
ni就要等于10 6 跟4
所以我们的二十的预约名额就分配清楚的事情
我们说
假如这三个州的人口数呢
我们做了一点点变化
变成103 63跟34
那么总盘的数呢人口数还是两百
百分数呢我们的就变成了51.5%了
31.5%了还有17%
好的有了这个小数
我们再来乘一个二十N
我们可以看得出来就不再是一个整数啦
而是10.3 6.3 3.4也就换句话说这次qi呢
将是一个小数
怎么把这个小数跟一个整数能够跟它对应起来
也就换句话说
你给A
到底是给10还是给11还是给9
这就开始要出现问题了
B到底给6给7还是给5对吧
接近它的整数C到底给3还是给4
还是给别的给2
那么这么一来的话问题就出现了
怎么把一个qi分别给他一个整数
或者跟那个整数能够接近起来
这就是我们说名额分配的问题的一个难点所在
好的
我们今天先把问题的背景说到这地方
下次课 再见
-1.1 案例分析
-1.2 数学建模绪论
-1.3 数学建模活动
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 最小二乘方法
-2.2 拟合函数的扩展
-2.3 最小二乘方法应用
-2.4 线性插值
--2.4 线性插值
-2.5 样条插值
--2.5 样条插值
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 Malthus模型
-3.2 Logistic模型
-3.3 捕食者模型
-3.4 差分方程模型
-3.5 随机动态模型
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 成对比较矩阵
-4.2 一致性指标
-4.3 权重向量的计算
-4.4 量纲分析
--4.4 量纲分析
-4.5 轮廓模型
--4.5 轮廓模型
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 名额分配
--5.1 名额分配
-5.2 Hamilton方法
-5.3 Q方法
--5.3 Q方法
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 两变量的线性规划
-6.2 单纯形方法
-6.3 整数规划
--6.3 整数规划
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 模糊集合
-7.2 模糊关系
--7.2 模糊关系
-7.3 模糊综合决策
-7.4 模糊聚类分析
-第7章 习题
--第7章 习题