当前课程知识点:数学建模 > 第5章 经典模型分析 > 5.2 Hamilton方法 > 5.2 Hamilton方法
同学们好
那我们接着来说一下
刚才说的名额分配的
我们的Hamilton方法的
继续的后半部分
Hamilton方法呢
我们说是来处理这么一个问题的 出来处理
这么一个问题
那么问题
那我们刚才说用数学的语言来描述
就是怎么把一个大的整数N
拆分成若干个小的整数ni
使得每一个ni能够接近什么呢
接近它的一种份额数
接近份额数也就接近我们说的
p分之pi乘上一个N
这是我们要说的一个事情
那么后来我们来用到一个数值的例子 做了一个比较
就是我们说的
如果A B C
它们的三个单位的人口数量分别是103 63 34
那么得到的份额数是10.3 6.3 3.4
那这个时候到底怎么了来
给它分配它的 整数名额
那么接下来Hamilton就给出了一种分配的办法
我们现在来看一看 怎么分配它这么来分配
首先呢
对于每一个份额数qi呢
取整 取整那么取整呢
就相当于把它整数部分取出来了
那么很明显
我们可以知道整数部分一定会小于等于qi了 对吧
如果它确实是整数
那么就会相等
如果它要不是整数
或者说还带有小数 那么很自然取整以后就会比它
原来的实际的qi要小一点 对吧实际小一点
那么这样一来的话把它所有的东西都加起来
这些qi都加起来
大概可以设想 它一定会比N大于要来的小对吧
或者说 它一定比我们原来的N减S要来的多
这是我们说的 好的这么一来的话是说
按照整数部分来分配名额
按照整数分配了部分来分名额的话
我们说一定会有什么 一定会有富裕的名额了
对吧 一定会有富裕的名额
就我们刚才说的那个数字对吧
要么是10 要么是6
要么是3 那么分出就是19个名额吗
我们说
实际上二十个名额的就一定有富裕的名额
一定有富裕的名额
那富裕名额怎么办呢
富裕名额它提出了这么一种办法
把那些每一个qi取完整数部分
以后它还有个小数部分嘛
小数部分把它记做为ri
把那些小数部分记做ri
把这些小数部分呢我们开始排个序 对吧
谁大谁小排个序 谁大谁小排个序
然后呢
把富裕的名额呢
对吧
如果富裕一个 就给那小数部分最大的
如果富裕两个 就给小数部分头两位
如果富裕K个
就给小数部分的前K位 就想着跟它加上去了
这一来的话
后面对K加1就没了
没了就不再分配了
于是呢 就会出现我们这种情况
小ni
一部小n等于qi加1
取整部分加1 另外一部分呢
可能就在那就是它的qi的整数部分
这样一来就把我们所谓的
N个名额
我们都跟它全部分配完了
全部分配完了
于是呢 我们来看刚才的例子呢
就变成这种那种了
本来10.3对吧 6.3 3.4
现在我们就首先给它分配一个名额
10 6 3把它整数部分
然后呢 看看它的小数部分0.3 0.3 0.4
小数部分0.4是最大的 0.4最大
那么这么一来的话
那我就开始变成我们说三加一就变成四了
因此我们说二十个名额就分成10 6 跟4
这种样子
好的这样的分配挺好的
我们刚说了
Hamilton的方法用到我们的很长时间
用了快60年了
那之后呢
会出现一个问题出现什么问题呢
那么出现问题
我们把它看完的右边的这三列 出现什么问题呢
刚开始是我们分二十个名额了
分二十个名额了
那么紧接着下来我们开始考虑什么分二十一个名额
好的按照整数部分来说
我们说
每个州或者每个单位就拿到整数部分的名额
拿到它的qi的取整数qi取整以后的话
富裕名额怎么办呢
富裕的名额
我们就开始把它的小数部分拿出来看看小数部分
我们刚才知道了小数部分也就是qi减去
它--的取整部分
然后把小数部分按照从大到小进行一个排序进行一个排序
那我们说
如果富裕一个名额
就给那个小数部分最大的那个
如果富裕两个名额就给小数部分前两位
如果富裕k个名额 就给小数部分前k位
前k位那么这么一来使得有些州呢
可能就在取整部分加1
有的州呢
可能就是我们的取整
部分的事情好的
这么一来的话
回到我们刚才的例子
我们刚例子的话
我们的qi是10.3 6.3 3.4
那么取整呢
分别是6 10跟3那么加一起得19富裕了一个名额给谁呢
给看我们的小数谁大小数0.4 0.3 0.3
那就0.4最大了0.4最大那意思呢
我们就给它C这个单位
所以它最后得到了
应该说呢
就是我们的三加一就得到四个名额了
得到四个名额了
这是Hamilton方法的分配的结果
接下来我们开始考虑下我们说的
Alabama州那个悖论悖论怎么回事情呢
悖论就是就是我们刚才说过的
如果在二十个名额里面
我们开始分二十一个名额的时候
看我们的后面两个列的数字
那么这个时候qi是多少呢
这时候qi呢
我们说就是0.515百分比乘以21了乘上21
那么这个时候就应该等于10.815
那么0.315百分比乘上21呢
就应该等于0.615
那么0.17乘上21就该等于我们说的3.59
好的我们
接下来开始考虑一下我们说的
如果分配二十一个名额的话
那这个时候怎么办
那么分配二十一个名额
那就是我们说的拿百分比0.515乘上21
那么得到结果就是我们的十点多了
对吧
31.5%乘上21呢
就被我们得到了就六点多
那么最后17%乘上21
我们得到三点多
那么根据我们刚才做了Hamilton的方法来说
那就怎么办呢
那就开始取整
那么就分别开始就取出10 6 跟3
这么一来就是说分配了19个名额了
还富裕两个名额
那富裕两个名额给谁呢
我们刚才说过了
那就看谁的尾数大
谁的小数部分大那么很明显可以看出来
那么0.815
它排在第一位
第二位是0.61
排在第二位
所以就我们说的这两个州
这两个单位就开始分别追加名额了追加名额
以至于它就变成我们说的11变成7了
好的二十一个名额分出来就是11 7 跟3了
那么大家可以看看C这个单位
分配二十个名额的时候它得到四个名额
但是总盘数分得二十一个名额的时候
它只得到了三个名额
那大家可以设想它的心理承受能力是什么样的
这就是我们说的第一个悖论产生的一个原因
好的接下来
相关的我们可以考虑第二个悖论对吧
说的人口的悖论
人口悖论呢我们说的是什么
说的人口增长的过快结果呢
我们分配的名额数呢
还导致它的减少了
这地方我们就不再多说了
还有在美国的过程当中
我们还会出现这么一种新洲悖论
所谓新州的话就是我们说的对吧
把一个新单位一个单位给它新增加过来
结果呢
因为新增加的这个单位而导致原来的名额分配还发生变化
还开始降少就是我们说的
最后的1234
第四列的二二分配
最后变成我们的311分配
所以这样一来就也引起我们诸多的一个悖论
诸多的悖论
好的
在这些悖论过程当中
实际上的话
我们稍微客观的分析下Hamilton的方法
实际上Hamilton的方法也是一种非常非常好的
一种数学的分配办法
并且很多的数学
使得学家都认为Hamilton方法能体现出数学的美出来
那我们这地方是简单的
说一下就行了
从数学里面来说
实际上那个那些份额的分配
得到一个方程就是我们说的
q1q2依次加上qs等于N
从我们的名额的分配也得到一个方程
就是n1 n2一直加到ns 也等于N
那么大家可以看得出来
它实在就是什么的
就是个不定方程的那不定方程呢
相对来说的话
一个方程有s个变量
那么瞬间S减一个变量都在变
所以我们说它就是一个我们说的通常说
s减1为单行了那么就顺带有些数学上面的结论
我们这地方过一下就行了
那么这些结论的话
如果大家有兴趣
我们可以看一些相关的一些资料
我们这张就不再多说它了
我们直接看这几个图
这几个图呢
我们来感觉一下
首先第一个图呢
就是我们说的三个单位分配三个名额
那就说这个图怎么得到呢
这个图的是我们说了三个单位分配三个名额
那么就变成个等边三角形
每条边的跟它三等份
每条边的三等份
然后了做它相对的平行线以后 那么中间这一块呢
就构成了一个非常好的一个正六边形正六边形
那么周边的或者是半个六边形
或者说四分之一或者六分之一的六边形了
这地方就不再多说了
好的 中间的那些三分点上它不有些圆点吗
这些圆点呢
就是我们通常说的一个整数点了
例如我说最中间的那个正六边形的中间那个点呢
它现在就是111也就
换句话说
就是说每个单位分配一个名额
分配一个名额
那么那个正六边形的区域呢
表示什么东西呢 表示是那些qi
如果落在这个区域里面的话
那么大家分配的名额数 就是111由它来统管了
也就说的再通俗一点的话
就是说整个站在这个六边形区域里面对吧
那么将来三个单位分配的名额数就是一个单位
一个111了
这是它的设定范围
这是我们的分三个名额
那么这个同样道理来
我们就开始分四个名额
所以说
它的六边形呢就相当是四等份数得到的了
好的接下来我们在看一个
我们就开始看五等分的点
那么这也是一样的道理
我们接着来看这么一个图
那么这么一个图呢
实际上的就是我们说的分三个跟四个的
中间的一种跳跃
三个跟四个的话
大家可以看得出来
最简单
我们来看看一个大的六边形
就是我们说的分三等份的事情
小的六边形就是分四等分的
那么从这图片可以看出来
那些绿的区域就是重叠的区域重叠的区域
将来就是什么
就是它名额发生变化的
那些qi的取值的区域了
那些名额发生变化的qi的取值的区域了
这就是我们说的
从图像上来解释Hamilton的方法
这种方式好的接下来我们看一下别的方式
对于分四个分五个
还有分三个分四个分五个一直都可以往下再走
我们就不再多说它了
好的这么一来的话
我们能从我们的分三个名额
四个名跟给五个名额
我们的图里面可以看出来那么不同的名额
那么区域之间有个重叠
重叠部分将是使得Hamilton的方法
对吧 发生悖论的一个区域所在
好的 今天这个课我们说到这地方
下课 我们同学们下次再见
-1.1 案例分析
-1.2 数学建模绪论
-1.3 数学建模活动
-第1章 习题
--第1章 习题
-2.1 最小二乘方法
-2.2 拟合函数的扩展
-2.3 最小二乘方法应用
-2.4 线性插值
--2.4 线性插值
-2.5 样条插值
--2.5 样条插值
-第2章 习题
--第2章 习题
-3.1 Malthus模型
-3.2 Logistic模型
-3.3 捕食者模型
-3.4 差分方程模型
-3.5 随机动态模型
-第3章 习题
--第3章 习题
-4.1 成对比较矩阵
-4.2 一致性指标
-4.3 权重向量的计算
-4.4 量纲分析
--4.4 量纲分析
-4.5 轮廓模型
--4.5 轮廓模型
-第4章 习题
--第4章 习题
-5.1 名额分配
--5.1 名额分配
-5.2 Hamilton方法
-5.3 Q方法
--5.3 Q方法
-第5章 习题
--第5章 习题
-6.1 两变量的线性规划
-6.2 单纯形方法
-6.3 整数规划
--6.3 整数规划
-第6章 习题
--第6章 习题
-7.1 模糊集合
-7.2 模糊关系
--7.2 模糊关系
-7.3 模糊综合决策
-7.4 模糊聚类分析
-第7章 习题
--第7章 习题