7.1.1 模糊集合在线视频

大家好

我们前几次课

我们都提到了一些确定性模型

包括我们的 一些随机性模型

那么相应的内容呢

就如我们刚才说的 线性规划问题啊

层次分析问题啊 等等来说

包括我们那个说的那个生死的随机 模型

这都是我们处理的确定性 跟随机性的事情

那么实际上的话 现实生活当中还存在另外一种不确定性

我们把它称作为模糊性

我们把它称作为模糊性

那对于模糊性

这种问题怎么来研究呢

怎么来分析呢

那么 这个时候我们需要借助于模糊数学的

一些相关知识来对它 进行分析跟研究它

好的 再说到模糊数学之前的话

我们首先回顾一下 一个概念 集合的概念

也就是我们通常说的普通集合的概念

所谓集合的话很简单 就是我们说

把某一些对象 或者说具有某种特性的一些对象呢

把它构成一个整体

那么我们这个整体呢 我们把它称之为集合

把它称之为集合

那么集合当中的一些对象呢

我们把它称作为集合里面的元素 集合里面的元素

例如我们的全体的中国人那

或者说方程X平方减1等于0的所有的实根啊

那么这就是我们说的正1负1都是它的根

把它正1负1集中起来 就构成了我们说的一个集合的概念

或者说方程根 实根的这么一个集合

一般来说

我们用大写的英文字母呢 来表示集合

例如 我们A呀 B呀

对吧 用小写的英文字母呢 表示集合里面的元素

例如我们通常说的小x呀 等等来说

那么相比之下

集合跟元素之间的关系 那就实际上是

一个个体跟整体之间的关系了

所以呢 集合跟元素之间的关系呢

就是我们通常说的 属于还是不属于的事情

例如我们说

假设N 是个全体自然数所组成的集合

那就是 0 1 2 3 4一直往下再走了

那么 3肯定就属于自然数

所以呢 3那就属于N

那么负3就不是自然数

所以负3就不属于N了

这是我们做关于集合里面 元素跟之间的关系

我们说一下

那么在这里面需要特别注意两点 集合里面的元素

它是没有序的

集合里面的元素 是没有序的

谁在先 谁在后

我们不做特别的要求

对吧 我们不做特别要求 另外一个呢

我们说集合里面的元素呢

我们一般不考虑重复的

也就是通常说的没有重复性

没有重复性

这么一来的话

那么集合 就有很多种表示的方式

集合就有很多种表示的方式

例如我们最常见的

我们通常说的 是枚举法或者说显示法

把满足要求的 那些对象全部跟它列举出来

这是我们的枚举法

还有什么呢 描述法

我们用文字用语言或用数学表达式

把满足它的一些性质

跟它描述清楚了

例如我们说通常说的 小于10的全体自然数

小于10的全体自然数 这是我们描述的事情

另外 我如果我一定要跟你列出来的话

小于10的自然数 那就是0123456789了

这就是我们的列举了

枚举出来的事情了

当然还有一种呢

我们可用

文氏图的办法来进行刻画

也就是在平面上 用个几何图形来表示

集合a是这些 集合b是这些 然后之间有没有交

交是多少 并是多少等等来说

这是我们通常所说的三种方式

枚举 描述 还有文氏图的办法

那么 我们在这里再强调另外一种

特征函数的描述方法 特征函数的描述跟方法

也就是说

利用一个函数的方式 来刻画一个集合 来刻画一个集合

那么 既然是个函数 那么很自然的话

函数的定域呢

就是我们的全集X

函数的值域呢

这是谁呢

就是由01组成了一个2值

对吧 01组成了一个2值

构成了一个集合 好的

我们说 用一个符号a来表示集合的话

那么 fax可以表示为

那就是说

如果x小于元素 x小于属于a的话

那它就是1了

如果元素它不属于它的集合的话

那它就是零了

它就是零了 那么很显然

我们可以看得到 如果一个集合知道

那么特征函数也就知道

反过来说

特殊函数要知道 那么这个集合也就知道了

所以我们说集合跟特征函数

那么它们俩之间是一致的

它们俩是一致的 对吧

有了它 有了集合 特征函数就知道

有了特征函数 那么集合也就知道了

集合也就知道了 好的 这些呢

用01来表示

我们说元素之间的属于跟不属于关系

或者说元素之间的一种隶属关系的话

那我们俩非常清楚

非常清楚

但是呢

我们说

现实生活当中还有很多 不是这么清楚的

集合或者不是这么清楚的概念

那么在1965年

那么 美国的控制论专家扎德就提出了一个概念

叫作为模糊集合

叫作为模糊集合

除了模糊集合

它要刻画它什么东西呢

它要刻画的就是

我们说

在一些复杂性当中

它必然存在一种模糊性

复杂性当中必然存在一定的模糊性

也就换句话说

尤其是在人

起作用的过程当中 那么系统当中

我们说必须要把什么 把我们的精确性跟模糊性

我们说坚固起来

把精确性跟模糊性给它坚固起来

举个最简单的例子来说

例如我们社会上或日常生活当中

会存在很多这种模糊的概念

什么叫低烧

什么叫老年人

对吧

什么叫天气好

什么叫能力强

应该说这种模糊性

广泛存在于我们的能力的自然语言呢

或者说人文系统啊

经济系统啊等等 各个领域里面去

那么属于模糊数学研究的是什么呢

研究的是用 精确的数学来研究

或者说来处理 这种模糊性或者说模糊现象

那么它的基础呢

就是我们刚才提到的模糊集合

那么 对于模糊集合到底是什么东西呢

我们来看这么一个例子 来看一看

我们说把我们的特征函数

我们刚才看到特征函数取值

就这两个值

要么是0 要么是1 对吧

0跟1之间

我们开玩笑说 它是泾渭分明的事情了

对吧

我们说大于等于1 小于等于2

那就是0点99

那就是小于1

那就是变到0上去了 对吧

2.0001那么换句话说

它已经比2大 所以它也出线 它也变成0了

这是我们说在边界点了

它属于泾渭分明的事情

但实际上的话

我们很多现实生活当中的一些概念

在边界点上

它并不是泾渭分明的 而是什么

而是它稍微有一点点弹性

对吧

有一个缓冲的地带

有个缓冲的地带

也就换句话说

把我们01的那么一个 矩形函数稍微缓冲一下的话

就变成了我们图像里面这么一个函数了

这么一个函数了 对吧

在01之间稍微有个缓冲

或者说慢慢的从1就开始变到0上去

或者说变到小到0上去了

这么一个事情 好的

然后把这个函数拿出来

我们再来说一下

我们说有这么一个函数 这个函数呢

ax呢 它对应过来 对吧

x属于整个论域 x属于u这么一个范围里面去

对应过来值呢 ax呢

它实际上是对应在01区间 对应在01区间

那我们很自然的话

原来说的012值肯定是01区间的

一个特殊情况的 一个特殊情况

所以我们说的普通的集合呢

对于我们模糊集合来说

它就是它一种特例了

它就是一种 它的一种特例

那么对于这里面呢

我们的ax呢 表示怎么 表示是一个值啊

它是一个大于等于0 小于等于1的值

也就是0.1 0.2

或者说0.8 0.9

或者到1上去

我们说的这么一个值

这个值呢 我们给它一个说法

称作为元素x关于集合a的一个隶属程度

元素x关于集合a的隶属程度

或者我们把它称作为隶属度

把它称作为隶属度 那么很自然的话

这个隶属度呢

就是比我们原来的01这两个值呢

所宽泛的多的多了 宽泛的多的多了

所以我们刚刚说的

普通集合呢 就是我模糊集合的一种特例

好的 对应过来

我们刚刚说过了

实际上模糊性

我们现实生活中到处都存在的

那么回到我们说了几个小概念

就说老年人 那么很自然

就是我们说 在年龄论域上的一个模糊概念

属于高个子

那肯定只能是在身高这个论域上的一个模糊概念

模糊概念

所谓的好学生

那肯定就是我们说的能力素质

一个综合的 它的一个模糊概念

这是我们说的

那由这个图呢

可以看得出来 对吧

一个老年人 一个模糊概念

或者说这个模糊集合 它所刻画的隶属函数

我们从这里面可以简单的这么来阅读它 对吧

小于60岁以后

我认为他就不属于老年人了

过了75岁以后呢

他一定是一个老年人

那么 很自然的话 在60到75之间

那我们就体现我们的人的思维性

年龄越大

他接近到老年人

这种程度也就越来越大了

也就是慢慢的

从0 隶属度从0就开始变到为1上去了

变到为1上去了

这是我们说的 这么件事情

好的 接下来我们就开始给出了模糊集合的一个表示

怎么来表示呢

对吧

我们大家都知道

刚才说到集合里面有四种表述方式

那么对于模糊集合是什么来表示呢

那么 在这地方我们给出一种表示方式

给出一种叫向量的表示方式

向量的表示方式

我们假设整个大的论域呢

是123456

包含这6个元素 123456

那么 这上面的一个模糊集合a

我们说在这上面

什么叫大

那样呢 我们自己来理解的话

这上面叫大

那可肯定6就叫大了

对吧 5也叫比较大 1呢

肯定就叫比较小了

或者说就不属于大的这个范围里面去

所以在这里面 我们开始分别给出 对吧

1关于大的隶属程度

2关于大的隶属程度

6关于大的隶属程度的一种隶属度来刻画

那么在这里面

我们给出了 对吧

1关于模糊概念大

那么隶属度为0

2呢 稍微好点 就变成0.2

3呢 再好点就变成0.4

4呢 再好点变成0.7

5呢 就变成比较好了

就变成0.9了

对于6来说

在这个论域里面 6确实是最大的

所以对于大来说

它的隶属度就是1了 好的

一旦我们说的123456之后

六个元素的顺序给好了以后

那么相应来说 这个模糊集合呢

我就可以把它的隶属度呢

写成一个向量的形式

0 0.2 0.4 0.7 0.9 1

用它来表示

我们说这个模糊集合了

用它来表示这个模糊集合了

那么相对应的0 0.2对吧 0.4 0.7 0.9 1的话

我们就可以把它称作为 对吧

称作为元素 对吧

123456关于模糊概念大

它的一种隶属程度 或者说它的一种隶属度

它的一种隶属度

这是我们说的模糊集合类的表示

当然 关于模糊集合类的一些 运算的一些性质

或者说我们下次课 我们再来说

今天我们就说到这地方 下课 再见