7.2 模糊关系在线视频

大家好

我们上节课已经讲过了一个非常重要的概念

叫模糊集合

同时我们也探讨了模糊集合的一些运算

以及它的运算性质

那我们今天 开始给出另外一个概念叫模糊关系

那说模糊关系的时候的话我们必然

首先提到一个 就是关系的概念

那么关系呢实际上是数学当中一个非常重要的概念

那我们 一般来这么来定义关系

说ab是两个集合

那么用a里面的元素来作为第一个元素

用b里面的元素作为第二个元素

它们两者的构成的序对 构成的序偶

也就是我们通常说ab

那么把这种呢 序偶呢 构成一个大的一个集合或者整体

我们把它称作为a跟b的一种笛卡儿积

同时记做为a叉b

所谓a叉b的话也就说

这么一个序队或者一个序偶

里面有两个元素

一个是x一个y

那么x属于大a 并且y属于大b

好的 看这么一个例子

说ab是两个集合的话

那么ab我们说分别是 a是123这三个元素

b是ab这两个元素

那么 按照我们刚才定义把它构成a叉b的话

它就说

a里面的元素 搁在第一位 b里面元素把它搁在第二位

那么第一位的话

那就1个在第一位 2个在第一位

3个在第一位

那么ab呢 就分别放在我们的第二位

所以我们可以看出来

它就用这六个序偶 所构成的 一样道理来说

如果是b叉a的话

那就应该是把b里面元素搁在第一位

a里面元素搁在第二位了

所以变成我们说的a1 a2 a3或者b1 b2 b3

那么从这个例子可以看得出来

a叉b跟b叉a

它不是一回事情

不是一回事情也就不等了

好的 构成个笛卡儿积

我们说这里面序偶有很多了

那我们开始考虑这个序偶里面的一部分

或者说构成了一个子集了

把它的子集呢 我们把它称作为关系

把它子集称作为关系

那么这么一来的话

大家就可以设想 所谓的关系就是我们说的

那是序偶的一部分构成

当然 如果我们可以说 取得好就是全部对吧

取的不好 那就是空

所以很自然就会有我们通常说的空关系

或者全关系等等这些东西

例如我们现在适合考虑的是

ab这两个集合所构成的

所以我们说 把它这种关系称为二元关系

那么以此类推

如果有abc三个集合构成的卡斯基

那我们就把它称之为三元关系

如果是n个元素的

我们可以把它称之为n元关系

这是我们关系的事情

好的 对关系来说的话

我们都开始来表示一下

因为它是集合嘛

我们之前的集合里面说过的有四种表示方式

那么有一种呢

我们说枚举 描述

还有纹饰图以及特征函数

那我们现在开始用特征函数这种方式表示它

一个元素关一个集合

属于它就是1 不属于它就是0了

如果我们说 对这个集合 我们说a是123

b是ab

那么把它作为一个卡斯基以后它就构成六个元素了

对吧 六个元素我们曾经说过了集合里面的元素

它没有先后次序

没有先后次序

但是如果我一旦定了这个先

这个顺序的话

我们就按照这个顺序往下来走

那么a叉b呢

是在1a1b 2a2b 3a3b

是在1a1b 2a2b 3a3b

好的 这么构成六个元素

那么对于我们说一个子集或者对一个关系来说

r来说 我就可以表示为1 0 0 1 1 1

好的

那么接下来我们开始考虑

另外一种方式来刻画它 另外一种方式刻画它

也就用矩阵的方式来刻画它

那么第一行就是比较说

我们说的 关于1 关于2

对吧这种样子 那么就说1a 1b在不在

如果在那就1 0

对吧 就01 1 1

那么这种形式呢

非常非常类似于我们 代数里面的一种矩阵的表示方式

所以我们把这种表示方式 称之为关系矩阵

把它称之为关系矩阵 好

一般来说

如果A里面有若干个元素

B里面有若干个元素

那么很自然的话

如果我们A里面有m个元素

B里面n个元素

那么这样一来

r就构成一个m行n列的一个矩阵

那里面就应该是rij rij的表示什么东西了

就看ai跟bj是不是在r里面 如果属于r

那它就是1 如果不属r就是零了

所以可以看得出来 关系矩阵里面的元素值呢

实际上就是取两个值

要么是0 要么是1

或者说不是0就是1 不是1就是0了

这是我们说的 这种样关系

好的 把这话题转换过来就是我们的模糊关系了

所谓模糊关系的我们说的是什么东西呢

我们说的是我们说的

如果一个集合是x 一个集合是y的话

我们说x叉y会构成一个卡斯基

那么在这个集合上面

我们考虑它的模糊子集

把这个模糊子集 我们把它称之为模糊关系

把这个模糊子集 我们把它称之为模糊关系

好的 一样道理来说

对于任何一个序队 序偶 xy对吧

在这X Y里面的话

我们得考虑什么

考虑x y关于这个模糊集合它的隶属程度

或者说 就是我们说考虑关系的 它的相关程度

既然是个模糊集合

那么可以想象

按照我们前面的知识来说

那么就可以定义这个模糊集合的并 交 余的一些运算

换句话说 实际上就是我们说的

模糊关系的并 交 余的一些运算

并 交 余的一些运算

那么这个话题我们上节课已经说过了

好的看一个最简单的例子

看一个最简单例子

我们说假如大家ab都是有限论议

那么这么一来呢

r跟s的是它上的一个关系的话

它就可以表示为 我们说的这么一个关系矩阵

但这个关系矩阵里面 我们需要特别注意的事情

是说里面的元素值呢

因为它是表述的隶属程度

表示的是相关程度 所以呢

它的取值呢

就不是0 1两个值了

而是在0 1区间里面的值了 好的 这么一来的话

利用我们模糊集合的并 交跟余的运算

那么很自然

我们可以把它算出模糊关系的r跟s的并

r跟s的交 以及r的一个运算都可以跟它得到

好的 最后我们再给出一个非常重要的一个运算

我们把它称之为模糊关系的合成运算

所谓合成运算指的什么意思呢

我们说一个r呢

是x到y的一个模糊关系

s是y到z的一个模糊关系

那么把它们俩合在一块 也就变成r圈s

用个符号来表示 用t来表示

它刻画是谁呢 刻画是我们说

r就是x到z的一个模糊关系

刻画的是t呢

刻画的是x到z的一个模糊关系

好了 既然是一个模糊关系

也就是x叉z的一个模糊子集了

那么它的隶属度 应该怎么样计算呢

接下来 我们给出了这么一个表达式

r跟s的合成 那么关于谁呢

关于x跟z

它的隶属程度

它的隶属程度怎么能算呢 这么来算

从Y当中随便找一个小y出来

那么把它拆成x跟y y跟z 分别关于r跟s的隶属程度

那我把它们取小 然后遍所有的小y

也就是走遍所有的小y

所以得到了这么一个表达式

得到了这么一个表达式

这就是我们说的 关系合成的一个计算方式

好的 这么一来的话

合成运算呢 我们也可以把它称作为关系的乘法

所以既然是乘法的话

我们特别一点

如果r跟s要相等

那不就r圈r吗

所以我们把它称作为r的平方

那么以此类推

我们r的三次方 r的四次方 一直r的N次方定义为什么

我们r的三次方 r的四次方 一直r的N次方定义为什么

r的n减1次方乘上或者圈上一个r了

特别一点 r的零次方

我们来说就是个单位矩阵的

这是我们说 关系的合成运算

那么在关键的合成运算的话

我们看这么一个例子 就可以看得出来了

合成运算呢

非常非常类似于 我们代数里面矩阵的乘法

代数里面矩阵的乘法

只不过是代数里面的矩阵乘法是乘加算制 先乘在做相加

那么 对于我们的模糊关系合成来说 便是我们说的

取小取大算制 先取小再取大 先取小再取大

这是我们说合成运算的一个运算例子

那么最后我们再简单的说一下 模糊关系的一些运算性质

我们首先需要强调地说

模糊关系 就是卡斯基上一个模糊子集

那就是说关于模糊子集运算的一些性质

那么对于模糊关系来说

应该是全部都可以成立 同时呢

因为我们说 又引了一种特殊的运算叫合成运算

所以在这里面的话

我们把合成运算的一点性质 我们跟它简单的列举出来

有结合 结合律 也有分配律 对吧

还有模糊的线性性

特别重要的是 有个单调性单调性

也就是说左边合成 对吧

保持它的不等式

保持它的霸王关系成立

右边合成也是保持它的

霸王关系或者说不等式

它的运算性质能成立 好的

关于某个关系决定它运算性质

我们想今天就说到这吧

下课 谢谢大家