7.4 模糊聚类分析在线视频

大家好

我们上节课已经介绍了模糊综合决策的模型

那我们现在针对我们的不确定性或者模糊性

我们介绍另外一种方法叫模糊聚类分析

模糊聚类分析用到的主要的概念呢

有些它的结论主要是关系也就换句话说

关系跟模糊关系的东西

所以我们这里面 首先把关系或者说特殊的关系

我们跟它顺一下

那么在说关系的时候呢

我们一般来说关系分为这么几类

一类叫自反关系跟反自反关系

一类我们的对称关系还有呢我们的传递关系

那么这几列什么叫自反关系呢

那我们接下来给它一个定义

如果关于X跟X都属于一个关系r的话

我们称为r是一个自反的

反过来说

如果自己跟自己x跟x不属于R的话

我们认为它属于反自反的

这是我们说自反跟反自反 那么很自然的话

如果把这个论域呢 看成是有限的论域

有限的论域的话 关系的就是一个矩阵

关系就是一个矩阵

如果自己根属于自己的话

那么换句话说

那个对角线上就应该是1啦

于是呢 就会有这么一个结论

如果r要是自反的话

那么它的单位矩阵一定比r来的小

包含在r里面 一样的反过来说

如果它是反自反的话

那么对角线都是零呢

那么跟单位矩阵交起来还能有吗

那就只能是空集了

只能是空集了

这是我们的自反关系

那么 第二种关系呢 就是我们的对称关系

跟反对称关系

那么对称关系从字面上非常好理解

xy要属于R的话

那么y跟x也属于R

那么我们就是对称的了就是对称的

否则的话

它就属于非对称的

想象一下

如果我们的a要是一个有线的集合

那么关系呢就是个矩阵 关系就是个矩阵

如果说我们xy属于R

那么 y跟x也属于R

那么大家想

要么对称位上大家都是1 要么对称位上大家都是0

那么同时为1同时为0 很显然

我们说这个矩阵的就关于对角线就应该是对称的了

如果是非对称

大家就可以想象 你这边属于那边就不属于

那边不属于这边就属于 所以呢

大家就可以想象 对称位置上的它是1对方是个0

它是0对方也就是1了

这时候我们作对称关系

最后介绍一种叫传递关系

属于传递关系 从字面上非常好理解就是具有传递性

就是具有传递性

也就是我们说的xy属于R

并且y跟z要属于R的话

那么它就能够 这条线能够走下去

x跟z呢 就要属于R了

满足这种性质 我们把它称之为传递性

传递性的刻画就不像我们刚才的 对吧

有限论域里面的看得出来 对吧

主对角线是1或者是对称数相等

那么传递性呢 它的刻画用数学本身的刻画

就是用的R平方

要包含在R里面

R平方要包含在R里面

所以R平方就是R跟R的一种合成了

我们称为R平方

好的 这是我们说的普通的关系

那落实到我们

模糊性里面来说 就是讨论的模糊关系了

所以我们把这几个概念给它延伸过来

除了模糊自反关系

除了模糊对称关系 模糊的传递关系

那么 除了模糊的自反关系就是我们刚才跟刚才一样的

自己跟自己一定要在这里面

所以rx x要等于1

如果把它想象成有限论域

那就是我们的矩阵总分相向一定要适应

如果是对称关系的话

那就对称位置上的R 一定要相等

如果是模糊传递关系

也就是r的平方一定要包含在R里面的

好的 把这三者的关系

我们稍微揉一揉

例如模糊的相似关系就是我们说的

既要是自反关系

还要是对称关系

除了模糊等价关系的话

那就三者全要 自反关系对称关系跟传递关系

那么有了等价关系

大家可以想象那就可以做等价分类

那么可以做等价分类的话 那么很自然的话

就是我们说的模糊聚类分析的一个重要的一个理论基础

但是我们可以想象一下

对于有限论域来说

数了自反性 数所对称性呢

我们从那关系矩阵都可以看得出来

但是呢 传递性就看不出来了

传递性我们要生算

r平方是不是包含在r里面 对吧

所以这么一来的话

我们开玩笑说

对这三种性质自反性对称性跟传递性

传递性的最比较啰嗦的 比较难的一个东西了

所以我们开玩笑说

一般来说很难满足

一般来说很难满足 那这个时候怎么办呢

我们就开始有这么一个想法

就开始基于我们说能不能把它改造过来

能不能让添加这种传递性上去

能不能把存的钱添加上去

于是呢

我们就开始给出个概念叫传递闭包

传递闭包

所以传递闭包的话

严格的数学定义是这么来说的

说S 是一个模糊矩阵 对吧

首先要比S要来的大要包含S

包含S

但是呢 对于别人都具有模糊传递性的内容呢

要是最小的

也就是包含S最小的模糊传递矩阵

我们把它称作为它的传递闭包

所以从这里面来看的话

我们实际上强调的有这三点强调了有三点 对吧

如果我们说把S的传递闭包记着为tS的话

那就tS首先要满足传递性

满足传递性也就tS平方要包含在tS里面

这是我们第一个 第二个一定要比S来得大

因为你S本身没有嘛

那么一定要比它来的大

那就是我们的tS要包含S

第三个一定要是最小的

在所有的满足这种情况之下呢

它一定做最小的 也就换句话说

对于另给的一个r

比s大 对吧

它又蛮有传递性

两个平方就包含在r里面

那么我们说这种r呢

一定要比我的ts要来得大

所以ts一定是最小的

这是我们的传递闭包的概念

这么一来的话 那就牵扯了

我们的传递闭包的计算 传递闭包的计算

那么接下来我们给出这几个结论

例如我们说一个传递闭包记着为r的话

那就tr啦 tr的话

首先第一种呢

计算呢就r的k次方 k从1一直可以变到无穷上去

那么这一来的话算起来给人家感觉

就没完没了的事情

那么第二个结论马上就退回来了

如果它只有n个元素构成有限论域的话

也就是说 r就是n乘n的一个决策

那我们从这里面可以看得出来

我只要计算得了计算r一次方两次方三次方

一直到r的n次方 把它做并就可以了

所以呢 这样表明我们可以跟它算出来了

第三个结论说什么东西说呢

说的 我们说 如果r他本身还有一些好的性质

它是相似矩阵

所以相似矩阵就满足自反性 满足对称性

那么我们做了k次方

做了乘方以后

r的k次方以后仍然是一个模糊相似矩阵

仍然是一个模糊相似矩阵

那么第四个 最后一个结论就说模糊相似矩阵

如果r是模糊相似矩阵的话

我们说通过它不断地乘乘乘到以后

r的k次方以后 一定会存在这么一件事情 对吧

比k大的r的l次方

它们两个能够相等 它们两个能够相等

也就换句话说 通俗来理解的话

也就乘到一定的时候

r的k次方

它应该是收敛下去了

它就该收敛下去了

那么 这种k呢

我们说一定是存在一个k小于等于n的

好的 如果是这种时候的话

大家可以设想一下

r本身是个相似矩阵 r的k次方就是个相似矩阵

如果又能够乘到相等的话

tr又具有传递性 所以大家可以想象

这个时候tr就是一个模糊等价矩阵

模糊等价矩阵

那么很自然的话

我就可以对它进行等价分类

对它进行等价分类 于是呢

我们接下来看这么一个例子

x呢是12345 x1x2x3x4x5

我们假设得到了这么一个模糊矩阵

那么从这个矩阵里面可以看得出来

主对角线是1

对称位置上都是相等的

所以我们可以判断

r呢就是一个模糊的相似矩阵

r是一个模糊相似矩阵

那是不是传递性的

那就开始要算一下

r的平方是不是包含在r里面的

那我经过算一下

我们发现r的平方不包含在r里面

那么表明这个r呢

它不满足传递性 不满足传递性

它呢 就不适用我们说的模糊等价矩阵

那怎么办呢

那我们现在就开始基于我们刚才的想法传递闭包

我就开始把那个r呢改造一下

r的平方不包含 那我们接下来就开始算下

r的四次方

r的四次方不就是r的平方乘上r的平方吗

那么我们看看它还不包含在r的平方里面去

那么这表明我们说的

r的平方也不是一个传递闭包

继续在算 算r的八次方

八次方就是四次方乘四次方了

让我们发现它相等

相等呢意味着什么东西也就是r的四次方

它就是个传递闭包

它是传递闭包 r的四次方呢

又是我们刚刚说的

它又是一个相似矩阵 所以r的四次方

它就是一个模糊等价矩阵 好的

既然是模糊等价矩阵的话

那么就得到我们说的tr了

这么一个表达式

那我就开始根据不同的

截集截水平来对这个模糊等价矩阵进行我们说的截集

例如我们刚开始取截止屏为1

那么虽然就看哪些隶属度是大于等于1的就保留下来

对吧 如果比1小的

那就是零了

所以我们就得到了这么一个矩阵

这个矩阵表面什么东西呢

表面把我们刚才的x1x2x3x4x5的 这五个对象的就分成五类

因为谁跟谁都没有相等

这就表示分成五队

好的 最后律数太多了

那怎么办呢

我把这个截取节水平稍微降低一点

降成0点8

降成0点8

降成0点8的时候我们就发现了吗

第一行跟第三行它是一样的

第一行跟第三行是一样的

意味着什么呢

意味着我们说x1跟x3呢可以归并在一块

x1跟x3可以归并在一块

那么245还是单独的

继续把截水平可以降低 对吧

继续可以降低

那么这个时候呢

我们可以看出来1跟3 4跟5

它们是一样的

所以这个时候呢 我们变成13 对吧

45那么2是单独一类就变成分成三类

那同样道理来说

把这个截取水平不断的跟它下降

那么 我们就可以看出了分成两类

这个时候呢 就是我们说x1x3x4x5呢

是大家在一个类里面 继续再下降

我们就能发现 对吧

13245都是一样的

那就证明什么 大家都合成一个类了 合成一个类了

也就是说 随着我们的截水平 随着门槛越来越低的话

那么大家就开始由五类就慢慢的变成一类了

这样一来就构成了一个非常简单的一个动态的聚类图了

动态的聚类图

那么 有了这个动态的聚类图

那大家可以想象出来

我们怎么归并怎么拆分

那么就是一个非常重要的一个模糊聚类分析的一个例子

好的 我想关于处理模糊性处理不确定性的

这种建模的手法

我们今天就说到这吧

下课 我们下次再见