2.2.1 二自由度陀螺仪基本特性在线视频

妙契天伦

翰枢七政

玉衡旋转

描述的是北斗七星运动

转动是宇宙空间中

一种基本运动形式

无论是浩瀚无垠的星空

还是脚下地球

都在不停转动着

转动既可让我们体会

坐地日行八万里

巡天遥看一千河

的大气磅礴

又可让我们感受

一日千里天涯咫尺的

快意人生

然而

转动带给我们的惊喜

远不止如此

给大家展示一个

和转动有关的魔术

将自行车车轮

用绳子悬挂起来

使其高速转动

请大家仔细观察

接下来的运动现象

对这个实验

大家可能会有两个疑问

一是

车轮除自转之外

为什么会绕绳子转动

二是

车轮为什么掉不下来

这是一个车轮陀螺仪

它展示的是

二自由度陀螺仪的基本特性

本节课学习

二自由度陀螺仪基本特性

内容包括

一

进动性

二

陀螺力矩效应

三

稳定性

二自由度刚体转子陀螺仪

由转子内环外环

和基座构成

转子通过电机驱动

保持高速旋转

首先通过实验

建立对陀螺仪进动性的感性认识

当外力矩绕内环轴

作用在陀螺仪上

内环相对静止

陀螺仪绕外环轴转动

当外力矩绕外环轴作用

外环相对静止

陀螺仪绕内环轴转动

为了与一般刚体转动区别

把高速旋转物体

在外力矩作用下

绕与外力矩矢量

垂直方向的转动

称为进动

进动特点是

外力矩作用方向

与转动方向是正交的

进动在表现形式上

具有明修栈道暗度陈仓的效果

陀螺仪为什么会产生进动

通过一组对比实验

揭示其中奥秘

在实验一中

转子高速旋转

实验二中

转子没有转动

相当于普通刚体

当外力矩作用到陀螺仪上

两种情况下

陀螺仪表现出不同运动形式

实验一中

陀螺仪产生进动

实验二中

则与普通刚体转动一样

其转动方向

与外力矩方向一致

可以总结出

陀螺仪进动原因

高速旋转转子

是陀螺仪进动内因

外力矩是陀螺仪进动外因

如果说普通刚体

在外力矩作用下

表现出的是一种妥协和顺从

那么

陀螺仪则表现出反抗和不屈

这让我想起一个典故

昭君出塞

利用陀螺仪进动性

对其进行新的诠释

进动的主体是陀螺仪

昭君出塞的主体是王昭君

进动的内因

是高速旋转转子

王昭君作为四大美人之一

美是其主要原因

进动外因

是因为外力矩干扰

王昭君则因权贵势力压迫

远嫁塞外

以上

从外部现象

研究陀螺仪进动原因

陀螺仪进动物理机理是什么

通过前边分析可知

陀螺仪进动的内因

是转子高速旋转

用角动量H描述

如（1）式所示

其中J为转子绕自转轴转动惯量

Ω为自转角速度

根据动量矩定理

角动量H

在外力矩M作用下

会相对惯性空间变化

如（2）式所示

下标i

表示惯性坐标系

根据欧拉动力学方程

可将（2）式转化为（3）式

r表示动系

为陀螺坐标系

ω是动系相对惯性坐标系的

转动角速度

（3）式中

第一项表示H绝对变化率

第二项表示H相对变化率

表征H大小变化

第三项表示H牵连变化率

表征H方向变化

由于转子自转轴

与陀螺坐标系固连

故角动量H

相对陀螺坐标系变化率为0

意味着

角动量H大小没有改变

由此

可以获得

以矢量形式表示的陀螺仪进动方程

如（4）式所示

其中ω为进动角速度

以上分析表明

进动的实质

就是在外力矩作用下

陀螺仪角动量H

相对惯性空间方向的改变

如果ω和H正交

则可获得进动角速度计算公式

如（5）式所示

这三者关系

符合右手定则

从角动量H

沿最短路径

握向外力矩M的

右手旋进方向

就是进动角速度的方向

为进一步理解陀螺仪进动性

将其与普通刚体转动

进行对比分析

动力学方程

分别如（6）式（7）式所示

分两种情况进行讨论

当外力矩为非零常值力矩时

陀螺仪产生进动

是绕与外力矩

垂直方向的匀速转动

而普通刚体

则是沿外力矩方向

做匀加速转动

二

当外力矩为0时

陀螺仪进动角速度为0

停止转动

而普通刚体

转动角加速度为0

继续做匀速转动

分析表明

陀螺仪进动是无惯性的

通过实验验证可以看出

当外力矩消失瞬间

立刻停止进动

根据进动原理就可解释

车轮陀螺仪运动现象

建立车轮坐标系

Y轴表示车轮自转方向

其角动量用H表示

mg表示作用在车轮上的重力

M表示重力所形成力矩

沿Z轴正向作用

按进动性理论

车轮将产生

沿X轴方向的进动角速度ω

这就解释了第一个问题

车轮为什么会绕绳子转动

这是车轮陀螺仪进动表现

第二个问题

可以从牛顿第三定律中

找到答案

根据牛顿第三定律

当陀螺仪

在外力矩作用下

产生进动同时

必然产生反作用力矩

其大小与外力矩相等

方向相反

称为陀螺力矩

按照定义

陀螺力矩Mg

可以表示为（8）式

陀螺力矩方向

同样可根据右手定则确定

由于陀螺力矩

与外力矩大小相等

方向相反

起到平衡作用

因此

轮子是掉不下来的

利用陀螺仪进动性

也可解释

摩托车手在高速转弯时

为什么要将身体倒向一侧

日常骑自行车高速转弯时

也面临着同样问题

在实际应用中

陀螺仪会受到干扰力矩作用

把陀螺仪具有抵抗干扰力矩作用

力图保持其自转轴

在惯性空间中

方向稳定的能力

称为稳定性

主要有三种表现形式

定轴性 漂移 章动

定轴性

是指理想二自由度陀螺仪

在无外力矩作用下

其自转轴不因基座转动

而改变相对惯性空间方位

在工程应用中

由于结构和工艺的

不尽完善

总是不可避免

存在干扰力矩

如摩擦力矩质量不平衡力矩

在干扰力矩作用下

陀螺仪将产生进动

使自转轴

相对惯性空间

偏离原来给定方位

称为陀螺漂移

一般通过改变支持方式

或建立误差模型

来减小漂移影响

如果

作用陀螺仪上的干扰力矩

是冲击力矩

自转轴将在原来空间方位附近

做高频微幅振荡运动

称为章动

由于摩擦和阻尼作用

章动一般会迅速衰减

二自由度陀螺仪

作为现代陀螺仪鼻祖

诞生于1852年

1942年首次用于V-2导弹

经过近170年发展

因其良好性能

依然活跃在现代战场上

飞机上的航空地平仪

运载火箭上的陀螺积分加速度计

都是二自由度陀螺仪

不要以为它离我们生活很远

如果有机会

请你重拾儿时打陀螺游戏

用今天所学陀螺仪基本特性

重新体会打陀螺的乐趣

祝你玩的开心

本节课就到这里