2.3.2 二自由度陀螺仪运动方程在线视频

前面学习了

二自由度陀螺仪

在外力矩作用下

运动表现

可以归纳为

三个基本特性

进动性

陀螺力矩效应

稳定性

这些特性

形成了

对二自由度陀螺仪的

感性认识

按照认识论一般规律

感性认识下一阶段

是理性认识

需要进一步研究

二自由度陀螺仪运动

与外力矩之间

定量关系

即

建立二自由度陀螺仪

运动方程

本节课学习

二自由度陀螺仪运动方程建立方法

内容包括

一

惯性力矩确定

二

二自由度陀螺仪运动描述

三

用动静法

建立二自由度陀螺仪

运动方程的步骤

在动静法应用中

惯性力矩的确定

是关键

根据理论力学知识可知

惯性力矩

可以表示为（1）式：

（1）式中

Mr为相对惯性力矩

Me为牵连惯性力矩

Mc为哥氏惯性力矩

以二自由度陀螺仪为例

按照刚体定点转动理论

假设

陀螺仪系统

各个部件

都是刚体

则以上惯性力矩

可分别表示为

（2）式

（3）式

（4）式

其中

J为转动惯量

θr两点为

相对加速度

θe两点为

牵连加速度

H为陀螺仪角动量

ω为牵连角速度

这些力矩的确定

都和刚体运动有关

因此

要用动静法

建立二自由度陀螺仪

运动方程

首先要进行

二自由度陀螺仪

运动分析

二自由度陀螺仪

是一个刚体系

由转子 内环 外环 基座四部分构成

要描述

二自由度陀螺仪运动

需要建立不同坐标系

对于

二自由度陀螺仪

动力学问题

研究的是

自转轴

相对惯性空间的运动

由于自转轴

与内环固连

所以

首先建立一个

内环坐标系

描述内环与自转轴角运动

称为陀螺坐标系

用下标g表示

X轴

沿内环轴方向

Z轴

沿自转轴方向

Y轴

按右手定则确定

是一个非惯性坐标系

内环轴

固连于外环

还需要建立一个

外环坐标系

用下标1表示

X轴

沿内环轴方向

Y轴

沿外环轴方向

Z轴

按右手定则确定

是一个非惯性坐标系

外环轴

固连于基座

还需要建立一个

基座坐标系

用下标c表示

描述基座

相对惯性空间的

角运动

Y轴

沿框架轴方向

X Z轴在初始时刻

与陀螺坐标系

外环坐标系重合

也是一个非惯性坐标系

基座

又相对惯性空间运动

所以

还需要建立一个

惯性坐标系

用下标i表示

其三个轴

在初始时刻

与陀螺坐标系

外环坐标系

基座坐标系重合

一般不需要画出

根据坐标系

就可以方便描述

二自由度陀螺仪角运动

二自由度陀螺仪

由于结构复杂

其运动关系也很复杂

在工程应用中

面对复杂问题

一般解决思路是

简化

例如在这里

可以先假设

基座相对惯性空间

是静止的

这样

只需要先研究

框架相对基座的运动

简化了运动分析条件

便于问题求解

在分析完

框架相对基座运动之后

再考虑基座

相对惯性空间运动

所以

有假设2

基座相对惯性空间静止

初始时刻

认为g系 1系 c系重合

绕内环轴 外环轴

作用在陀螺仪上的外力矩

分别为Mx和My

并且

它们沿各自轴正向

定义为正

在外力矩作用下

陀螺仪将产生绕内环轴 外环轴转动

假设陀螺仪

绕内环 外环轴

相对惯性空间

转动角加速度 角速度

分别为θx两点

θx点

θy两点

θy点

并且

它们沿各自轴的正向

定义为正

当陀螺仪

绕外环轴转动θy角

并且绕

内环轴转动θx角时

各坐标系之间的关系

如图所示

另外

还有一个转动

转子相对自转轴转动

不考虑基座运动

二自由度陀螺仪运动

可以归结为三部分

一是转子自转

为相对运动

用Ω表示

其对应角动量

用H表示

H=JΩ

二是内环相对外环转动

三是外环相对基座运动

这两种运动

既是相对运动

又是牵连运动

那么

需要建立几个方程呢

如果

不考虑基座运动

研究对象就包括三部分

转子 内环 外环

转子绕自转轴

相对内环运动

内环相对外环运动

外环相对基座运动

需要建立9个方程

转子除自转之外

还会随同内环

绕内环轴转动

随同外环

绕外环轴转动

内环除了相对外环转动

还会随同外环

相对基座转动

外环

只相对基座转动

所以给这些运动归类

由于

自转轴固连于内环

转子绕内环轴转动

和内环绕内环轴转动

是同一个运动

所以

绕内环轴方向

只需要列写

一个方程就可以了

同理

绕外环轴方向

也只需要列写一个方程

绕自转轴的运动

只有转子参与

需要单独列写

综合以上分析

只需要列写

3个运动方程

分别是

转子绕自转轴

相对陀螺坐标系运动方程

内环组件包括转子和内环

相对内环轴运动方程

外环组件包括转子 内环 外环

相对外环轴运动方程

按照动静法要求

需要把陀螺仪

相对惯性坐标系运动

转化为

相对非惯性坐标系运动

如何选取非惯性坐标系呢

在这里

非惯性坐标系有两个

一个是陀螺坐标系

另外一个是外环坐标系

为分析方便

当考虑外环运动时

选择外环坐标系

作为非惯性参考系

分析内环运动时

选择内环坐标系

作为非惯性坐标系

首先考虑自转轴方向

从设计上

要求转子绕自转轴

以角速度Ω匀速转动

在工程实现上

是可以

以一定精度要求

满足的

为了问题分析方便

不妨假设

转子绕自转轴匀速转动

实际上

只需要列写两个方程

按照动静法原理

列写运动方程

只需要

把相应运动找出来

按照

刚体转动理论

列写对应惯性力矩

就可以了

以内环轴为例进行分析

第一步

列写相对惯性力矩

绕xg轴相对运动加速度

为θx两点

根据相对惯性力矩要求

假设陀螺仪

相对框架轴转动惯量为Jx

则相对惯性力矩

如（5）式所示

第二步

列写牵连惯性力矩

绕框架轴

牵连加速度为0

则牵连惯性力矩为0

这两种力矩

统称为转动惯性力矩

第三步

列写哥氏惯性力矩

哥氏惯性力矩

由两部分构成

一部分是转子自转

这是一个相对运动

用角动量H表示

另外一部分是牵连运动

主要是确定牵连角速度ω

对转子而言

牵连运动有两部分

一部分是

内环相对外环的运动

其牵连运动角速度

为θx点

根据H和θx点的

叉乘关系

按右手定则

这两者不会形成

绕内环轴哥氏惯性力矩

对转子而言

另外一部分牵连运动

是外环相对基座运动θy点

将其投影到yg轴上

可表示为θy点cosθx

根据H和θy点cosθx的

叉乘关系

可产生绕xg轴

负向的哥氏惯性力矩

Hθy点cosθx

θy点

在zg轴上的分量

为－θy sinθx

这个分量

可以形成一个角动量

它和H

具有相同性质

它和其他牵连运动

会不会形成哥氏惯性力矩

理论上讲会

但是把－θy点sinθx

和Ω做一个比较

在工程上

前者远远小于后者

所以

假设转子自转角动量

远远大于

非自转角速度

造成的角动量

这部分角动量影响

在工程实现上

就可以忽略

按照动静法原理

就可以列写出

绕内环轴运动方程

同理

可列写出绕外环轴运动方程

如（6）式所示

这是一组

非惯性坐标系下的

运动方程

为二阶微分非线性方程

还需要做两件事

一是

将其还原到惯性坐标系

将惯性力矩

从方程左侧移到右侧

二是线性化

上述微分方程

包含三角函数

一般很难得到解析解

为了适应工程实际需要

通常根据

工程实际情况

对上述微分方程

进行线性化处理

假设θx是小量

则上式可以简化为（7）式

这就是

二自由度陀螺仪运动方程

相对惯性坐标系成立

下面对动静法

建立运动方程的步骤

进行小结

（1）确定研究对象

（2）建立坐标系

（3）运动描述

（4）列写惯性力矩

（5）列写外力矩

（6）列写平衡方程

（7）化简

通过建立

二自由度陀螺仪运动方程

可以看出

动静法

是求解非自由质点系动力学问题的

一个普遍方法

在整个分析过程中

基于工程应用

做了四个假设

这些假设也构成了

解决工程问题的基本原则

针对假设1假设3

采取的方法是近似

假设4

采取的方法是忽略

运动方程简化

采取的方法是线性化

依据矛盾论

在解决工程问题时

一般抓主要矛盾

忽略次要矛盾

可以归纳为简化二字

简化架起理论与工程应用的桥梁

最后通过四句话作为本次课的结束语

动不如静 以静制动

找准参考 双惯齐下

内外结合 化繁为简

复杂运动 尽在掌握

还有一个假设

假设2

基座相对惯性空间静止

请大家根据今天讲解原理

列写基座相对惯性空间

以角速度ω

转动情况下

二自由度陀螺仪运动方程

这节课就到这里