名额的公平分配在线视频

同学们好

这节我们来看公平的名额分配问题

这问题是这样子的

公司有3个部门

共有100名职员

其中A部门30名

B部门50名

C部门20名

如果公司准备出资

提供10个进修培训名额

分配给各个部门

公平而又简单的名额分配方法是

按各个部门人数的比例进行分配

显然 A、B、C3个部门

分别应该占得3、5、2个名额

现在C部门有6名职员

转入了A部门和C部门

这时候各部门的人数为

依然按比例分配名额就会出现小数点

现在将取得的整数9个名额分配完毕

3个部门都同意按照所谓的惯例

将比例分配中小数点部分最大的C部门

多分配1个名额

于是3个部门依然分别占有

3、5、2个名额

现在公司决定

下半年提供进修培训的名额增加一个

它们按照前面的方法重新来分配名额

计算结果可以看到

显然这个结果对C部门太不公平了

因为总名额增加一个的时候

而C部门却由原来的两个名额

减为一个名额

为了寻找新的公平的名额分配方法

我们现来讨论

衡量公平的数量指标

这种定义一个指标

来衡量研究对象的一种特征的工作

在数学建模中

是很常见的

比如 对公平性的衡量刻画

比如 对幸福感的衡量刻画

比如 对剥夺感的衡量刻画

又比如对安全性的衡量刻画

那么不公平指标怎么来刻画呢

我们先来刻画不公平的程度

我们先来考虑AB两方分配名额的情况

如果两方的人数分别为pA、pB

占有的名额分别为nA、nB

那么比值pA比nA

pB比nB

就是AB两方每个名额所代表的人数

显然 只有在pA比nA等于

pB比nB的时候

分配才是完全公平的

但是因为人数和名额都是整数

那么通常pA比nA不等于pB比nB

因此 分配会出现不公平

而且是对比值较大的一方不公平

我们假设nA分之pA大于nB分之pB

这样的情况显然对A不公平

那么不公平程度可以用数值

nA分之pA减nB分之pB来衡量

现在我们看一个例子

假设pA等于150

pB等于100

nA等于10

nB也等于10

那么代入前面的这个式子

我们就可以得到

它们的差值等于5

它可以用来衡量不公平的绝对程度

但是常常没办法区分不公平程度

明显不同的情况

比如 如果我们把这个例子中的双方人数

增至pA等于1005时

pB等于1000

而nA等于10

nB等于10不变

那么它们的差值可见还是等于5

也就是说不公平的绝对程度一样

但是我们比较这两种情况会发现

后面这种情的不公平程度

比起前面来说

已经大为改善了

为了改善前面所说的这种绝对标准

自然我们就会想到相对标准

我们仍然假设

nA分之pA大于nB分之pB

我们来定义对A的相对不公平程度为

如果nB分之pB大于nA分之pA

那么我们就来定义对B的

相对不公平程度为

建立了衡量分配不公平程度的指标

rA、rB以后

那么我们就可以制定名额分配的原则是

使它们尽可能的小

这样我们就得到了新的分配方法

假设A、B两方分别占名额nA、nB

利用相对不公平程度

rA、rB的讨论

当总名额增加一名的时候

应该分配给A还是分配给B呢

我们来看

假设nA分之pA大于或等于nB分之pB

当大于号成立的时候

对A是不公平的

就要增加一个名额给A

这个时候nA就变为了nA加1

如果把这个名额分配给B

那么nB就变为了nB加1

原来的不等式可能会出现3种情况

第一种情况nA加1分之pA大于nB分之pB

说明即使A增加一个名额

依然对A这不公平

那么这个名额显然就应该给A了

第二种情况

nA加1分之pA小于nB分之pB

说明A增加一个名额将对B不公平

这时候我们要计算

对B的相对不公平程度为

这时我们还看第三种情况

nA分之pA大于nB加1分之pB

说明对B增加一个名额

将对A不公平

这个时候我们计算出

对A的相对不公平程度为

在此相对不公平程度尽量小的原则下

来分配

如果rB小于rA

那么增加的一个名额就应该给A

反之如果rB大于rA

那么这个名额就应该分配给B

根据前面3种情况

等价于nB乘以nB加1分之pB平方

小于nA乘以nA加1分之pA平方

我们可以证明

即使是第一种情况

nA加1分之pA大于nB分之pB

也会得到上面这个式子

所以我们的结论是

当nB乘以nB加1分之pB的平方

小于nA乘以nA加1分之pA的平方

成立的时候

就应该把这个名额分配给A

反之应该分配给B

这种方法可以推广到

N方分配名额的情况

假设第i方人数为pi

已经占有了ni个名额

i等于1、2到m

当总名额增加一个的时候

我们来计算Qi等于

ni乘以ni加1分之pi平方

增加的一个名额应该分配给

Q值最大的一方

我们不妨把这种方法称为Q值法

下面我们就用Q值法重新来讨论

开头我们提出的A、B、C3个部门

分配11个名额的问题

前面的9个名额可以按照

比例取整的方式

分配给A部门3个名额

B部门5个名额

C部门1个名额

当这个结果与用Q值法

从nA等于nB等于nC等于1的情况开始

按总金额每增加一个

进行逐一计算的结果是一致的

那么下面我们来讨论第10个名额的分配

这个时候QA等于90.75

QB等于93.63

QC等于98

显然QC最大

第10个名额应该分配给C部门

下面我们看第11个名额的分配

这个时候QC等于32.67

QA等于90.75

QB等于93.63

显然QB最大

第11个名额应该分配给B部门

最终11个名额的分配结果是

3个部门分别占有3、6、2个名额

这个方法是20世纪20年代

由哈佛大学的数学家

提出和推荐一系列分配方法中的一个

在这一节我们讨论了

名额分配的数学建模过程

这是一个分配问题中常见的问题