当前课程知识点：数学建模 > 7 回归分析 > 7-5 非线性回归 > 非线性回归
同学们好
这一节我们来介绍非线性回归
通过一个酶促反应的案例
来给大家详细介绍一下
非线性回归建模过程
我们来研究酶促反应
也就是霉催化反应中
嘌呤霉素对反应速度和底物浓度
及反应物浓度之间的关系影响
建立一个模型
来刻画这个酶促反应的速度
与底物浓度以及经过嘌呤霉素
处理与否之间的关系
为此我们设计了两个实验
经过嘌呤霉素处理的
和没有经过嘌呤霉素处理的
两种情况
这个实验数据可以看到
在很多社会自然科学领域中
都有很多经验性的模型
或者前人研究得到的机理模型
在前人研究成果中
对很多事物已经有了客观规律的了解
比如力学相关定律
如牛顿定律
又比如污染源扩散
比如洋流运动
热传导在化学、生物、环境等领域的
普遍规律等等
对很多前人已经研究过的普遍规律
我们不需要从无到有的
再去创造性的建立数学模型
更多的是站在巨人的肩膀上
了解已经研究得到的基本模型
对我们现在遇到的实际问题
对基本模型进行修改
或者做出具体的参数估计
从而得到合适解决实际问题的模型
这是我们数学建模工作中
经常会遇到的一种情况
根据文献资料
我们了解到酶促反应的基本性质
底物浓度较小的时候
反应速度大致与浓度成正比
底物浓度很大
逐渐饱和的时候
反应速度趋于稳定值
通过文献我们找到
酶促反应的基本模型有
它的曲线图有
其中y是酶促反应的速度
x是底物浓度
β1、β2是待定系数
将实验数据代入模型
我们得到
没有经过嘌呤霉素处理的散点图
和经过嘌呤霉素处理的散点图
这个模型是非线性模型
不能直接使用
前面我们学过的函数命令直接求解
除非转化为线性模型
原模型对β1、β2是非线性的
转化为
转化后的模型是对θ1、θ2线性的
这样的转化
在遇到合适的数学模型结构的时候
可以实现
一般情况下
非线性模型不能直接转化为
这样的线性模型
转化后的线性模型
我们将实验数据代入模型中
得到参数结果
得到原模型的参数为
β1等于195.8027
β2等于0.04841
下面我们来看
线性化模型结果的分析
在x分之1比较小的时候
有很好的线性趋势
在x分之1较大的时候
出现了很大的起落
x在较大的时候
y有较大的偏差
在参数估计时
x较小的数据
控制了回归参数的确定
下面我们来看
非线性模型参数的估计
我们可以直接使用
MATLAB软件的这个命令
来进行非线性模型的参数估计
输入项中x是自回归数据矩阵
y是因变量数据向
model是模型的函数M文件
beta0是给定的参数初值
输出项
beta是参数的估计值
R是残差
J是估计预测误差的矩阵
beta的置信区间
我们可以用这个函数获得
beta0我们可以用前面线性化模型
估计得到结果
那么我们在MATLAB中输入程序
最后我们得到非线性模型的结果参数
最终反应速度为β1等于212.6831
半速度点
也就是达到最终速度一半的时候的x值为
β2等于0.0641
通过这个图我们来对比一下
原始数据和拟合结果
我们还可以通过命令
给出交互画面
拖动画面的十字线
得到y的预测值和预测区间
画面左下角
输出其他统计结果
剩余标准差s等于10.9337
下面我们来看混合反应模型
在同一模型中
考虑嘌呤霉素处理的影响
由模型y等于β2加x分之β1x
改进为新的模型
y等于β2加γ2x2加x1分之β1加γ1x2乘x1
x1为底物浓度
x2为指示性变量
当x2等于1表示经过嘌呤霉素处理
当x2等于0
表示未经过嘌呤霉素处理
β1是未经过嘌呤霉素处理的
最终反应速度
γ1是经过处理后
最终反应速度的增长值
β2是未经过嘌呤霉素处理的
半速度点
γ2是经过嘌呤霉素处理后
反应的半速度点的增长值
下面我们来看如何求解混合模型
我们用MATLAB的命令
再给定参数初值
γ1等于60
β1等于170
γ2等于0.01
β2等于0.05
然后代入模型计算
我们得到参数结果
剩余标准差s等于10.4
通过这个图我们来观察一下
经过嘌呤霉素处理
和没有经过嘌呤霉素处理的原始数据
以及拟合结果
我们注意到
γ2置信区间包含零点
表明γ2对因变量y的影响不显著
所以嘌呤霉素处理的结果
不影响半速度点的参数
因此我们可以进一步简化混合模型
由原来的混合模型
简化为新的混合模型
y等于β2加x1分之β1加γ1x2乘以x1
我们将数据代入简化后的模型
得到参数估计值和置信区间
以及原始数据和拟合结果的图形
简化后的混合模型形式简单
参数的置信区间不包含零点
剩余标准差s等于10.5851
比一般混合的模型略大
一般混合模型与简化后的模型
我们来做预测对比
在这个表中我们可以看到
简化混合模型的预测区间较短
更为实用、更为有效
我们来看一下
这个模型的建模过程示意图
首先根据反应速度和底物浓度的关系
根据机理分析
查找相关的资料得到基本模型
转化为求解线性模型
发现问题得到参数初值
然后使用MATLAB软件的函数命令
求解非线性模型
然后讨论嘌呤霉素处理对反应速度
与底物浓度的关系影响
引入01变量得到混合模型
检查参数置信区间
是否包含零点得到简化模型
值得注意的是
非线性模型拟合程度的评价
无法直接利用线性模型的评价方法
但是R平方和s依然是有效的
在这一节我们介绍了非线性模型
通过酶促反应这个案例
详细的给大家讲解了
非线性模型的求解过程
同学们下节见
-1-1 数学建模无处不在
--数学建模无处不在
-1-2 从现实对象到数学模型
-1-3 数学建模的基本方法和步骤
-1-4 如何学习数学建模
--如何学习数学建模
-1 数学建模无处不在--本章测验
-2-1 数学建模思维
--数学建模思维
-2-2 几种创新思维
--几种创新思维
-2-3 问题的提出与分析
--问题的提出与分析
-2-4 建模目标
--建模目标
-2-5 建模计划
--建模计划
-2-6 建立数学模型
--建立数学模型
-2 数学建模思维与过程--本章测验
-3-1 储蓄存单和抵押贷款买房
-3-2 单车租赁调度
--单车租赁调度
-3-3 最佳出售时机
--最佳出售时机
-3-4 名额的公平分配
--名额的公平分配
-3-5 汽车的油耗
--汽车的油耗
-3-6 传染病模型
--传染病模型
-3 数学建模初等方法--本章测验
-4-1 线性规划——生产计划
-4-2 线性规划——运输问题
-4 数学规划I--本章测验
-5-1 整数规划问题
--整数规划问题
-5-2 指派问题
--指派问题
-5-3 非线性规划
--非线性规划
-5-4其他规划模型
--其他规划模型
-5 数学规划II--本章测验
-6-1 层次分析法I
--层次分析法I
-6-2 层次分析法II
--层次分析法II
-6-3 其他评价方法
--其他评价方法
-6 层次分析法--本章测验
-7-1 线性回归I
--线性回归I
-7-2 线性回归II
--线性回归II
--线性回归III
-7-3 数据的自相关I
--数据的自相关I
-7-4 数据的自相关II
--数据的自相关II
-7-5 非线性回归
--非线性回归
-7 回归分析--本章测验
-8-1 数学建模方法综述
--数学建模方法综述
-8-2 数学建模报告
--数学建模报告
-8 数学建模方法与报告--本章测验