当前课程知识点:矩阵论及其应用 > 第一单元 预备知识 > 1.2 特征值与特征向量计算举例 > 1.2 特征值与特征向量计算举例
各位同学大家好
在第1讲我们已经知道
对于已知的矩阵A要计算它的特征值
归结为特征方程的求根问题
计算对应的特征向量
归结为求解1个
齐次线性方程组的非零解问题
在这1讲我们的教学目标
是通过几个例题的讲解
使得大家熟练掌握
特征值和特征向量的计算
请看例1
已知矩阵A求它的特征值与特征向量
为此我们先写出它的特征多项式
显然这是1个上三角行列式
因而其结果等于它的主对角线元素的乘积
于是得到A的3个特征值分别为
λ1等于1
λ2等于2
λ3等于3
对λ1等于1为求解以i减a
为系数矩阵的齐次线性方程组
对i减a实行初等行变换
化为行最简阶梯形由此得到基础解系ξ1
它是属于λ1等1的1个线性无关的特征向量
因而属于λ1等于1的全部特征向量为
k1乘ξ1
其中k1是不等于零的任意常数
当λ2等于2时求解2i减a
为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解
对2i减a实行初等行变换
化为行最简阶梯形
由此得到基础解系ξ2
它是属于λ2等于2的
1个线性无关的特征向量
于是得到属于λ2等于2的
全部特征向量为K2乘ξ2
其中K2是不等于零的任意常数
对λ3等于3
求解以3i减a
为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解
对3i减a实行初等行变换
化为行最简阶梯形
由此得到基础解系ξ3
它是属于λ3等于3的
1个线性无关的特征向量
于是得到属于λ3等于3的
全部特征向量为k3乘ξ3
其中K3是不等于零的任意常数
例2
求矩阵A的特征值和特征向量
为此先写出A的特征多项式
得到这样1个行列式
经过计算这个行列式的结果等于
λ减1小括弧的平方乘以λ减2
由此得到A的3个特征值分别为
λ1等于λ2等于1
λ3等于2
对λ1等于λ2等于1
求解以i减a为系数矩阵的
齐次线性方程组的非零解
对i减a实行初等行变换
化为行最简阶梯形
由此得到基础解系ξ1
它是属于2重特征值
λ1等于λ2等于1的
1个线性无关的特征向量
因此属于这个2重特征值1的
全部特征向量为
k1乘ξ1
其中K1是不等于零的任意常数
对λ3等于2
求解以2i减a为系数矩阵的
齐次线性方程组的非零解
对2i减a施行初等行变换
化为行最简阶梯形
得到基础解系ξ3
它是属于λ3等于2的
1个线性无关的特征向量
于是得到属于λ3等于2的
全部特征向量为k3乘ξ3
其中k3是不等于零的任意常数
例3
求矩阵A的特征值和特征向量
为此先写出A的特征多项式
得到这样1个行列式
经过计算这个行列式的结果等于
λ减2小括弧的平方乘以λ加7
于是得到A的3个特征值分别为
λ1等于λ2等于2
λ3等于负7
对λ1等于λ2等于2
求解以2i减a
为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解
对2i减a实行初等行变换
化为行最简阶梯形
由此得到基础解系ξ1ξ2
他们为属于这个2重特征值
λ1等于λ2等于2的
两个线性无关的特征向量
因此属于这个2重特征值2的
全部特征向量为
k1ξ1加k2ξ2
其中K1K2为不同时为零的任意常数
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业(共15个单选题)
--第1单元作业(共15个单选题)
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业(共15个单选题)
--第2单元作业(共15个单选题)
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业(共10个单选题)
--第3单元作业(共10个单选题)
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业(共10个单选题)
--第4单元作业(共10个单选题)
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业(共15个单选题)
--第5单元作业(共15个单选题)
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业(共10个单选题)
--第6单元作业(共10个单选题)
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)