当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第一单元 预备知识 > 1.3 特征值与特征向量的性质 > 1.3 特征值与特征向量的性质
同学们好
这一讲
我们学习
矩阵的特征值与特征向量的有关性质
先看性质1
设λ是方阵A的特征值
则
（1）A的转置矩阵AT的特征值仍是λ
（2）A的共轭转置矩阵AH的特征值是λ的共轭λ拔
这里只给出（2）的证明
为此我们只需要证明
λ拔是AH的特征方程的根
即λ拔I减AH的行列式等于零
详细的证明如下
首先注意到单位矩阵的共轭转置是其本身
λI的共轭转置就是λ的共轭乘以I
因此得到第一个等式
接着利用两个矩阵先共轭再做差
与先做差再共轭相等
得到两者的行列式相等
又利用一个矩阵的共轭转置矩阵的行列式
与这个矩阵的行列式的共轭相等
得到第3个等号
第4个等号是由于λ是方阵A的特征值
所以λi减A的行列式等于零
而0的共轭还是0
于是得证
性质2. 设λ是A的特征值
p是A的属于特征值λ的特征向量
则
（1）f(λ)是
f(A)的特征值
对应的特征向量不变.
（2）若f(A)=0
则必有f(λ)=0
本性质证明的首要关键点
是从特征值特征向量的定义切入
用Ａ左乘以Ap=λp的两端
从而得到A²p=λ²p
类似地
可以得到A³p=λ³p
依次地
对于
正整数k
正整数k
A^k乘以p等于λ的k次方乘以p
于是
对于（1）
由于f(A)是A的这样一个k次多项式
因此f(A)p
等于这个k次多项式乘以p
进而得到
此式
再利用Ip=p
Ap=λp
…
A的k次方乘以p等于λ的k次方乘以p
得到a0p
加上a1λp
.....
加上ak乘以λ的k次方乘以p
最后再右提出p
从而得到f(a)p
等于f(λ)P
即（1）得证
在（1）成立的前提下
若f(A)等于0
由于p不等于0
因此必有f(λ)等于0
即（2）得证
现在我们看性质3
设A是一个以aij为元素的n阶复矩阵
λ1 λ2 .......λn
是a的n个特征值
则
（1）这n个特征值的和
等于矩阵A的主对角线元素的和
等于矩阵A的主对角线元素的和
（2）这n个特征值的乘积
等于矩阵A的行列式
这个性质的证明
有如下几个关键点
第一个
A的特征多项式
λi-a的行列式可以分解为如下形式
第二个关键点
找到（1）式两端λ的n-1次方系数
由行列式的定义可知
（1）式左边的行列式展开式中
只有主对角线元素的乘积项中
含有λ的n-1次方的项
其系数为a11,a22,…,ann这n个数的和的相反数
而（1）式右边的多项式展开式如下
其中
λ的n-1次方的系数为
n个特征值和的相反数
于是通过比较左右两端λ的n-1次方的系数
可得
λ1+λ2+.......+λn等于
a11+a22+......+ann
第3个关键点
找到（1）式两端的常数项
为此
令λ=0
可得（1）式左端是负A的行列式
右端是负1的n次方与 n个特征值的乘积
由于负A的行列式等于
负1的n次方乘以A的行列式
从而得到λ1乘λ2......乘以λn等于a的行列式
于是性质3得证
由于一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零
结合性质3
容易得到如下推论
n阶方阵 A 可逆的充要条件是
它的任一特征值不为零
设A=(aij)为n 阶方阵
称A的主对角元素之和
为A的迹
记为trA
则
trA等于主对角元素的和
进而等于n个特征值的和
性质4 如果λ1 λ2......λm是方阵的互异特征值
p1 p2....pm是分别属于它们的特征向量
则p1 p2......pm线性无关
证明如下
设有常数c1 c2....cm使得下式成立
为了方便
记为（1）式
则用A左乘以（1）式的两端
得到c1(Ap1)+c2(Ap2)+....+cm(Apm)=0
由于Ap1等于λ1p1 Ap2等于λ2p2
Apm等于λmpm
于是得到（2）式
类推之
可得到如下m个等式.
把这m个等式合写成矩阵形式
得
观察可知
等号左边第二个矩阵的行列式
为范德蒙（Vandermonde）行列式
当特征值λj各不相同时
该行列式的值不等于零
所以存在逆矩阵
等号两边同时右乘它的逆矩阵
于是
得到以c1p1 c2p2 ......cmpm
为列向量的矩阵
等于以m个0向量为列的矩阵
因而得到 cjpj等于0
其中j=1 2 ......m
注意到pj为特征向量 pj不等于0
所以cj对j等于1 2 .....m 全为0
故向量组p1 p2 .....pm线性无关
性质4得证
性质5 设λj是方阵A的nj重特征值
其中nj大于等于1
对应λj有sj个线性无关的特征向量
则sj大于等于1 小于等于nj
由此可知
属于一个特征值的线性无关的
特征向量的个数
不能超过这个特征值的重数
如果我们把nj称为特征值λj的代数重数
sj称为λj的几何重数
则几何重数不超过代数重数
性质6
设λ1 λ2 ......λm是n阶方阵A的m个互异特征值
若pj1 pj2...... pjnj
是A的属于特征值λj的nj个线性无关的特征向量
j=1 2 ..... m
n1+n2+......+nm等于n
则p11 p12...p1n1
p21 p22...p2n2 等等
pm1 pm2.....pmnm
线性无关
性质6告诉我们
把一个矩阵的每个不同特征值
对应的所有线性无关的特征向量
合在一起
得到的向量组仍然是线性无关的
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
