当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第一单元 预备知识 > 1.6 可对角化的计算举例 > 1.6 可对角化的计算举例
同学们好
上一讲
我们介绍了矩阵可对角化的条件
同时也得到了求可逆矩阵P
将矩阵A化为对角矩阵λ的方法.
这一讲
给出几个相关的例题
【例1】设三阶矩阵的特征值为
λ1=-1
λ2=1
λ3=2
它们对应的特征向量分别为
p1 p2 p3
令P是这样一个矩阵
则P逆AP等于
有如下四个选项．
求解如下
首先矩阵具有三个相异的特征值
λ1=-1 λ2=1 λ3=2
故可对角化．
由于λ1 λ2 λ3对应的特征向量分别为
p1 p2 p3
故3p1仍为λ1对应的特征向量
-2p3仍为λ3对应的特征向量
以三个线性无关的特征向量
p2 -2p3 3p1为列
组成的可逆矩阵p
对A进行相似对角化时
要注意对角阵中对角元素的次序
要与p矩阵中对应的特征向量
所在的列的次序相一致
故对角矩阵的对角元依次是λ2
λ3
λ1
由此得到本题应选(D)
这个例题再次提醒我们
在由线性无关特征向量构作可逆矩阵p时
各特征向量的排列次序可任意安置
但在写对角阵λ时
需注意将各对角线元素
即特征值
要作保持序号为一致的安排
【例2】设三阶矩阵的特征值为
1 1 -2
对应特征向量依次为p1 p2 p3
（1）求矩阵A
（2）求A的2020次幂
对于（1）求解如下
以P1 P2 P3位列构造矩阵P
经计算可知
p的行列式不等于0
因此p1 p2 p3线性无关
于是矩阵A可对角化
故存在可逆矩阵p使得
P的逆AP等于对角矩阵λ
从而的到A等于PAP逆的乘积
其中对角矩阵λ对角线元素依次是1
1,-2.
又由P求得P的逆为
将其代入PλP逆
计算得到所求的矩阵A.
对于第（2）问
利用A的k次幂
等于P乘以对角矩阵λ的k次幂乘以P的逆
经过计算
可得到A的2020次幂
结果如下
【例3】若矩阵A相似于对角矩阵λ
试确定常数a的值
并求可逆矩阵p
使得p的逆AP等于λ
求解如下
矩阵的特征多项式为
λI-A的行列式
经过计算A的特征值为
λ1=λ2=6
λ3=-2
由于A相似于对角矩阵λ
故对应λ1=λ2=6
应有两个线性无关的特征向量
即
6I-A的秩等于3-2=1
将6I-A这个矩阵
实行初等行变换化为行阶梯型
我们看到
要使6I-A的秩等于1
则必有A等于0
于是对应于λ1=λ2=6的
两个线性无关的特征向量可取为
ξ 1 ξ 2
当 λ3=-2时
由于-2I-A经过初等行变换化为
行简化阶梯型
同解方程组为x1=-1/2乘x2
x2=x2
x3=0
令自由未知量x2=-2得到
x1=-1 x2=-2 x3=0
因此对应于 λ3=-2的特征向量为ξ 3
以ξ1 ξ2 ξ3为列
构建矩阵p
则p可逆
并且p的逆AP等于对角矩阵λ
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
