当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第二单元 矩阵的Jordan标准形 > 2.1 Jordan标准形的定义及方法1 > 2.1Jordan标准形的定义及方法1
大家好
我是来自北京化工大学的赵中华老师
今天我们来学习
矩阵的Jordan标准型
在这个单元中
我们将围绕什么是Jordan标准型
如何求Jordan标准型
以及如何应用Jordan标准型展开
先看看什么是Jordan标准型
我们称如下的分块对角矩阵
为Jordan矩阵
其中Ji是一个主对角线为λi
次对角线为1的
一个ri阶的Jordan块
这是一个包含4个块的Jordan矩阵
由于每个Jordan块的次对角线
都是1
但是呢
但是块和块对角链接的地方是0
所以提醒大家注意
Jordan矩阵次对角线上的元素
只可能是零和一
在上个单元中我们已经学习了一个矩阵
能对角化是要满足一定条件的
那问题是如果不能对角化
能不能相似到一个相对简单的矩阵呢
回答是肯定的
这就是我们下面的定理
是说任意一个复矩阵A
都会与一个Jordan矩阵相似
也就是存在可逆矩阵P
使得PAP
等于J
如果不考虑Jordan块排列顺序的话
J是唯一确定的
称为A的Jordan标准型
需要说明的是
以后Jordan块的标准型
我们书写的时候只写一种
暂时不考虑块的排列顺序
既然任何矩阵A都有Jordan标准型
那我们关心的是如何寻找标准型J
以及可逆矩阵P
下面我们将介绍三种方法
先来看方法一试探法
试探法主要是考虑特征值的代数重数
和几何重数的关系
结论是这样的
如果λi是矩阵A
ri重特征值
并且λi有si个线性无关的特征向量
那么由第一单元的内容
我们知道si是小于等于ri的
则矩阵A的Jordan标准型中
会有si个以λi为对角元的
Jordan块
并且Jordan块的阶数之和
恰好等于ri
这里有两个数量关系
下面简单分析一下原因
由于A和J是相似的
所以它们有相同的特征值
那么J中带λi的Jordan块的阶数
合起来恰好是等于λi的
就回到了我们第一个数量关系
同时得到 λiI减去A的秩
和λiI-J的秩相等
由于特征值λi
有si个线性无关的特征向量
由齐次线性方程组解的结构
我们知道N减去λiI
减去A的秩恰好等于si
等量替换之后呢
我们就回到得到这样一个关系
这样的话
问题就转化为去计算λiI减去J的秩
由于J分块对角的
所以我们考虑
任意一个Jordan块接替
简单计算就会发现
如果主对角线上的元素λit等于λiI
那么λiI减去Jt的秩
恰好比Jt的阶数小于1
如果λit不等于λi的话
那么λiI减去Jt的秩
恰好等于Jt的阶数
所以综合所有的块的结论我们会得到
整个λiI减去J的秩呢
恰好等于N减去所有以
λiI为对角元的Jordan块的个数
再替换回去了
我们就会得到第二个数量关系
也就是说
以λi为对角元的阶段块的个数了
恰好等于线性无关的特征向量的个数
这就推导完了
下面看看怎么利用上面的结论
来确定基数比较小的
矩阵的Jordan块的标准型
首先单根对应一阶的Jordan块
只有矩阵有重根的时候
才会有二阶以上的Jordan块
当特征值重数小于等于三的时候
用试探法
我们可以确定对应的Jordan块
但是当真正值的重数大于等于四的时候
就会有多种可能
下面我们分析一下假设呢
二是一个四重的特征值
那么特征向量的个数就会小于等于四
就会有下面几种情况
如果有四个线性无关的特征向量
那就可以对角化了
Jordan块就是为对角矩阵
如果有三个线性无关的特征向量
那就会有三个Jordan块
并且这些阶数合起来是等于四的
那么只可能是112阶的
对应的Jordan块应该是这个样子
如果有两个线性无关的特征向量
那么就会有两个Jordan块
而且阶数合起来是等于四的
那可能是一加三阶的
也可能是二加二阶的
所以有两种可能没有办法排除
那如果只有一个线性无关的特征向量
那么就只有一个4阶的块
大家可以想象
当特征值的重数再大时
可能性就会越来越多
这也是试探法的弊端
最后我们来看一个例题
要你去求矩阵A的Jordan标准型
这个矩阵A
是一个三阶的
所以我们的试探法是有效的
现在求矩阵A的特征多项式
λ减2乘以λ减1的平方
我们关心的是带重根的特征值
通过计算会发现特征之一呢
只有一个线性无关的特征向量
所以根据前面试探法的结论
我们会得到A的Jordan标准型
应该是这样的2111
哦
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
