当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第二单元 矩阵的Jordan标准形 > 2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法 > 2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
下面我们来学习求Jordan标准型的
第三种方法
行列式因子法
先介绍行列式因子
如果多样式hλ整除hλ
hλ整除gλ
那么称hλ是多项式
fλ与gλ的一个公因子
所有Fλ与gλ公因子中
次数最高的首项系数是1的公因子
称为它们的最大公因子记为这样的
例如fλ是λ减1的平方乘以λ加1
记λ是λ减1乘λ加1的平方
它们的公因子有很多
正负1正负λ减1正负λ加1等等
但是它们的最大公因子呢
是λ减1乘以λ加1
再有2λ减1的三次方
与6倍的λ减1的平方
有一个公因子
2λ减1的的平方
次数最高的
但是计算最大公因子的时候
要求最高项系数是1
所以它们的最大公因子是λ减1的平方
和线性代数中类似对λ矩阵来说
考虑所有的k阶子式的最大公因子
记为Dkλ
称为Aλ的k阶行列式因子
注意阶比秩大的行列式因子都是0
下面介绍一个引理是说初等变换不改变
矩阵的行列式因子证明就省略了
用这个引理
我们可以分析出不变因子
和行列式因子之间的关系
假如aλSmith标准型sλ
因为有整除关系
所以sλ的一阶行列式因子
恰好是d1λ
二阶行列式因子是d1d2λ
依此类推
r阶行列式因子呢
d1d2依次乘到dr
也就是说
aλ各界行式因子
总结起来有下面的定理是说
aλ的不变因子
di等于di阶的行列式因子
除以di减1阶的行列因子
而且从这里可以看得出来
行列式因子有整除关系
大di减1整除di
我们给两条注记
用行列式因子法求Smith标准型
可以结合初等变换之后
再去求各阶行列式因子
第二个呢
找到适当的高阶行列式因子可以简化计算
比如你如果发现
dr减1的行列式因子是等于一的
那么有整除关系
我们立刻会得到d1d2
dr减2
都是等于1的
还是以前的例子
显然4个一阶子式最大公因子为1
所以d1呢
是等于一的二阶只有一个
所以d2就是行列式
那就根据前面的定理
我们不变因子有d1小于d1等于1
d2等于λ减1乘以λ减二的平方
那么Smith标准型
和原来计算出来是一样的
下面看一个4阶方阵的例子
求它的求Jordan标准型
注意特征矩阵有两个子式
都是取前3行
然后呢
然后一个取123列
第一个取得是124列
两个三阶行列式计算出来
分别是λ减1的三次方
和负的λ减3乘2倍的λ减5
显然它们的公因子是1
所有的三阶子式的最大公因子也应该是1
也就是说
d3是等于一的
那么同时我们可以得出
d1d2也是等于1的
d4就是他本身的行列式
我们计算出来啦
是λ减1的三次方乘以λ减3
这样的话分别计算出它的不变因子
小d1到d4
那么将d4分解为两个初等因子
λ减一的三次方和λ减3
那么写出它的对应的Smith标准型
是这样的
接下来我们来看一看分块对角矩阵的情况
结论是这样
如果aλ等价于分块对角矩阵
a1λa2λ一直到arλ
那么它们初等因子合起来
就是aλ的初等因子组
这个很容易理解
因为已经分块对角了
所以初等变换时互不影响
当然初等因子也互不影响
我们来看个例子
A1A2都是三阶的
要你去求六阶矩阵
A的Smith标准型
和Jordan标准型
我们先用初等变换分别计算
两个三阶的Smith标准型
或者说Smith标准型
写出A1A2的初等因子
分别是λ减1λ加1的平方
和λ减1λ减1的平方
那么合起来就是a的初等因子
一共是这四个
那么分别对出的因子写出
相应的Jordan块
合起来就是矩阵A的Jordan标准型
其实这个Jordan标准型
就是A1A2Jordan标准型
对角合并起来的
适当的交换行列顺序
将A1A2的不变因子
按照次数从高到低排列
显然这个不是A的Smith标准型
因为不满足整除关系
但是可以用行列式因子法在求不变因子
这个给大家留作习题
这里我们提供另一种求不变因子的方法
将A的相同的特征值的初等因子
按照次数从高到低排列
那么特征是1的有λ减1的平方
λ减1λ减1特征值是负1的
有λ加1的平方
所有最高次的乘积起来就是dn
所有最高次的乘积起来就是dn
次数低一些的乘积起来就是dn减1
依此类推
不够的全都补1
在这个例子中
我们的d6应该是等于λ减1的平方
乘以λ加1的平方
d5和d4都应该等于λ减1
剩下的d1d2d3都是等于1的
那么矩阵A的Smith标准型
应该是这样的
还需要大家思考
为什么这样取是对的
这里提示一下
因为有整除关系
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
