5.5 矩阵的满秩分解在线视频

这一讲我们介绍矩阵的满秩分解

如果秩为r的矩阵A能写成

列满秩矩阵F

和行满秩矩阵G的乘积

那么称此分解为A的满秩分解

通过初等变换我们会发现

任意矩阵都能做满秩分解

这就是下面的定理

证明也不难

用初等行变换将A化为阶梯型矩阵

（G,0),也就是存在可逆S

使得SA=G 0

两边左乘S^{-1}

将S^{-1}按列分块

前r列记为F

用矩阵分块相乘

知道A=FG

这就是A的一个满秩分解

看个具体的例子

求4阶矩阵A的满秩分解

用初等行变换的方式

将A化为阶梯型矩阵

先将第1行 第3行交换

取初等矩阵E1

然后分别将第一列的元素消为0

取初等矩阵E2,E3如下

继续对第二列做初等行变换

先交换第2行 第3行

取初等矩阵E4

再分别取如下E5,E6

将（23）位置和（24）位置消为0

此时A已经化为阶梯型矩阵了

前2行为G

那么可逆矩阵S为E6乘以E5

一直到E1

相应求出逆矩阵

取S^{-1}的前2列为F

那么A有如下的一个满秩分解

给个注记

第一个

由于初等变换不唯一

所以满秩分解不是唯一的

第二个

用初等变换的方式

求满秩分解时需要计算矩阵的逆

下面介绍另一种相对简单的方法

秩r矩阵A经过初等变换

变为如下形式的矩阵H

满足第1条

H的前r行是非零的

且每行第一个非零元素是1

后面m-r行都是0

第2条

前r行中的每一个1

所在的列数分别为j1,j2,\cdots,jr是呈递增趋势

也就是说j1小于j2

一直小于到jr

第3条

H的第j1,j2,\cdots,jr列

构成m阶单位矩阵I的前r列

也就是每一行1所在列的上方都是0

称这样形式的H为A的Hermite标准型

易知每个矩阵都有唯一的Hermite标准型

比如这就是一个秩r的Hermite标准型的样子

我们记单位矩阵I的列向量

依次为e1,e2,…,en

矩阵P为e_{i1},e_{i_2},...,e_{i_n}

这里角标i1,i2,…,in是

1,2,…,n的任意一个排列

称P为置换矩阵

根据右乘矩初等阵相当于做列变换

那么置换的意思也体现在下面的定理中

是说假设P是置换矩阵

将A右乘P后相当于把A的列

按i1,i2,…,in重新排列了

如果取P1只是取P的第j1,j2,…,jr列

那么将A右乘P1

相当于取了A的第j1,j2,…,jr列

证明可以看成一个很好的练习题

另外有兴趣的同学可以想想左乘P的情况

最后给出一个相对简单的满秩分解的结论

是说

秩r矩阵A的Hermite标准型中H

那么A的满秩分解中可以取F为A的

第j1,j2,\cdots,jr列

这里j1,j2,\cdots,jr是H中

每一行第一个1所在的列

取G为H的前r行

证明思路是这样的

由初等变换知

存在可逆矩阵S

使得SA=H是Hermite标准型

那么A=S^{-1}H

我们将S^{-1}按列分块

前r列为F

由分块矩阵的乘法知道A=FG

F是S^{-1}的前r列

G为H的前r行

假设j1,j2,…,jr是H中

每一行第一个1所在列

取置换矩阵的部分P1=(e_j1,e_j2,…,e_jr)

在SA=H两边同时右乘P1

可以推出AP1恰好为F

这个方法不用求逆矩阵

我们推荐使用

还是前面的例子

将A做初等行变换化为Hermite标准型H

由于前2行的第一个元素1

分别在第1列和第2列

所以取F为A的前2列

G为H的前2行

和前面的结果算出来是一致的