7.3 范数的应用 1-数值分析在线视频

大家好。这一节我们来介绍

范数的第一个应用，

在数值分析中的应用

我们要说以下四个方面：

第一就是，病态与良态；

第二就是

近似逆矩阵的误差；

第三就是，条件数；

第四就是；线性方程组解的误差。

下面我们来说

第一个问题，就是病态与良态。

在工程的各种实际问题中

我们需要做大量的数值计算

对于各种数据和参数微小的变动或扰动

会对问题的解产生什么样的影响？

这是我们所关心的问题

例如，有一个n阶方阵A

它是可逆的，它的行列式不等于零。

我们对这个方阵

做了一个微小的扰动 δA

这时候，我们的方阵变成了，A加上 δA

我们下面关心的是两个方面的性质：

第一，方阵是否可逆；

第二，它的逆与原来相差多少？

下面是一个著名的例子：给定的方阵A

它的行列式是1。它的逆如下。

我们下面对这个方阵做一个微小的扰动，

实际上我们只对方阵左上角的元素，

做了一个很小的变动，

其中 ε 是一个很小的数。

这时候我们的方阵

现在变成了，A加上 δA

当 ε 选成，负的68分之一的时候

大家注意这个 ε

相对于原来方阵中的元素

是一个非常小的数

但是这时候我们得到了

扰动后的新的矩阵不在可逆，

它的行列式是零。

这说明，做了一个微小的扰动之后

我们方阵的可逆性质彻底改变了

当我们取 ε等于另一个很小的数

负的零点零一的时候

这时候我们的方阵变成了这样，

这个新的方阵是可逆的

但是它的逆，比较原来矩阵的逆

发生了很大的变化。

我们的结论是

例子中的矩阵，对于微矩阵小变动

它的性质发生了根本性的变化。

第一，由原来的可逆矩阵变成了不可逆；

第二，虽然经过变动后的矩阵仍然可逆，

但是逆发生了很大的变化。

这说明我们的这个矩阵

它的可逆性质和逆矩阵

对于微小的变动是十分敏感的

微小的变动，会使它的性质发生重大的变化

所以，我们称这个矩阵对于可逆性

和逆矩阵来说是病态。

我们的第二个例子，是线性方程组求解

给定一个线性方程组

Ax等于b

我们对线性方程组做一个微小的改动

我们想看一下，它的解发生什么样的变化？

对方程组的变动有以下三种情况：

第一，变动它的系数矩阵；

第二，是对它的常向量b

做一个小小的变动δb;

第三，对系数矩阵和常数向量都做变动。

这时候，线性方程组的解也会随之发生改变

我们得到了摄动以后的线性方程组

有下面三种对应的情况：

下面我们来看一个具体的著名的例子

如下的一个线性方程组

我们知道，它有唯一确定的解

就是x1到x4，全都等于1。

下面我们只对这个线性方程组常数向量b

做一个很小的变动δb

我们变动后的方程组是这样的

大家可以看到它的解，相对原来的解

发生了很大的变化。

如果我们只对方程组的系数矩阵

做一个很小的变动，

这时候，我们得到了一个新的线性方程组

求解之后

发现它的解发生了更大的变化

所以我们的结论是

这个线性方程组，对于系数矩阵的微小变动

或者是向常量的微小变动，

都会对解产生一个很大的变化

所以这个线性方程组是病态的。

接下来我们利用矩阵范数

来看一下逆矩阵的误差。

我们有如下的定理

给定一个可逆矩阵A

对它做一个很小的变动δA。

对某个矩阵范数，

如果满足A的逆，

乘上δA的范数小于1，

这时候我们知道变动后的矩阵A

加上δA是可逆的；

如果进一步，A的逆的范数

乘上δA的范数小于1，

这时候我们可以得到，原来方阵

变动后的逆矩阵的误差

估计如下：

我们简单说明一下

矩阵的绝对变动是δA的方阵范数，

而矩阵A的相对变动，是δA的范数

比上A矩阵的范数。

逆矩阵的绝对变动是， 变动后

矩阵逆的减掉

变动前矩阵逆差的范数。

而逆矩阵的相对变动是， 上面的绝对变动

除以矩阵A的范数。

所以我们看到

在矩阵求逆的相对误差估计中

有一个数，A的逆矩阵的范数

乘上A的范数，十分重要。

它越大，相对的误差就会越大，

所以，这个数可以用来衡量矩阵的病态程度，

这个数就是我们接下来要说的条件数。

我们先给出条件数的定义

给出一个可逆矩阵A

对于某一个矩阵范数

我们定义这个矩阵A的条件数

就等于，这个矩阵的范数，乘上它的逆的范数。

条件数有以下的具体例子：

谱条件数，就是我们用的矩阵范数

是方阵的2范数；

F条件数，我们所用的方阵范数是F范数；

而最大条件数

我们用的方阵范数是无穷范数。

在我们刚才看到的第一个例子中

我们所做的，方阵的相对变动非常的小

但是这个方阵的条件数却很大，

所以微小的变动被放大

然后产生了很大的误差，

所以我们例子中的矩阵是病态。

下面我们看一些具体的病态矩阵例子

我们给出的是Hilbert 矩阵

它的定义是，矩阵的第 i 行

第 j 列的元素是，它所在的行数 i

加上列数 j 减1分之一

通过下面的表， 大家可以看到

随着矩阵阶数的增大

Hilbert矩阵的条件数

增大的非常迅速

所以Hilbert矩阵，

随着阶数增大，是十分病态。

接下来我们来看第四个方面

线性方程组解的误差

我们有下面的定理

给定可逆矩阵A

我们考虑下面的线性方程组，Ax等于b

我们对系数矩阵做了一个微小的变动

叫δA

常数向量做了一个微小的变动，δb

这时候我们线性方程组的解也发生了改变

它的改变叫δx

这时候我们所得到的，摄动以后的

线性方程组为

A加上δa，乘上x加上δx，等于b

加上δb。

对于某一个矩阵范数

如果，A的逆的范数乘上δA的范数小于1

我们有以下的关于矩阵方程解的误差估计

其中，δa的范数比上A的范数

是系数矩阵改变的相对改变；

δb范数比上b的范数，

这是常数向量改变的相对改变；

δx的范数比上x的范数,

是解改变的相对误差.

我们可以看到条件范数

在这个误差估计中

也可以用来衡量线性方程组的病态程度

如果条件范数越大

那么我们方程组的一个微小的变化

就会被条件数放大

这时候我们的解就会产生很大的误差

所以线性方程组也就会变得病态

而我们例子中的线性方程组

它的条件数很大

所以我们知道

这个线性方程组的求解问题来说是病态