8.4 矩阵函数计算 3（上）在线视频

下面，我们来看一些具体的例子。

对于给定的方阵A，

我们要求，如下带有参数T的矩阵函数，

e的At次方，和sinAt。

我们的第一个方法，就是

利用特征多项式，来做带余除法。

所以我们先求出来，A的特征多项式

是， λ-2的三次方。也就是，

A的特征值，只有一个2，

它是三重的。

接下来，我就要利用这个特征值2，来建立。

所以我们假设，

利用特征多项式所做带余除法，

所得到余式是r，等于b0，

加上b1λ，加上b2λ平方。

其中b0，b1，b2是未知的待定系数。

接下来，我们需要利用特征值，

来得到关于这三个未知系数的，三个方程。

大家看到，第一个方程实际上就是，

直接把λ，用特征值2代入。

实际上，另一种看法就是，

对于指数函数，我们所做的事情是：

第一个事情，

对指数函数，求零次导；

第二个事情，就是乘T的0次方，是1，

也是什么都没有；

第三个事情，对指数函数代入，特征值

λi 乘上参数T。

所以我们代入的是，λi乘上t，是2t。

而右边，对于余式，

我们所做的事情就是，关于λ求0次导，

就是什么也没有。

然后，把特征值2，代入λ。

我们得到了，第一个方程。

而第二个方程式，右边关于指数函数。

我们先对指数函数，求一阶导数，

还是它自己。

然后，乘上T的一次方，

大家可以看到有个T。

然后再代入，λ等于λi乘上t，也就是2t.

所以，我们得到了第二个方程的右边，

也就是函数这一部分。

而对第二个方程左边，这个余式的这个部分。

我们所做的事情就是，对余式求一阶导数，

然后代入特征值，λ等于2。

第三个方程式类似的。关于函数部分，

右边，我们所做的就是，以下的三个事情：

第一个事情，对于函数求二阶导数；

第二个事情就是，乘上T的二次方；

第三个事情就是，代入，λ等于2t.

我们得到了，我们第三个方程的右边。

而第三个方程的左边，对于余式，

我们所做的事情就是，关于λ，求二阶导数。

然后，代入我们的特征值，λ等于λi等于2.

所以大家可以看出来，

我们是这样得到，我们的关于系数的方程。

接下来，我们就是要利用待定系数，

来解我们的矩阵函数。

但是，

有一点值得注意的是

我们并不急于，利用方程，解出系数，

然后来算矩阵函数。

我们要做的事情是，

保持这些系数待定，

先把方阵A代入，求出矩阵函数。

这时候大家可以看到，我们所求出来的矩阵函数，

里面还包含着这些未知待定的系数，

b0，b1，b2。

而我们接下来，就是要用

关于这些系数的方程，

来求出这个方阵里面，所有的未知的数。

所以大家可以看到，

这是我们关于系数的三个方程，

而这个三个方程，就可以提供出，

我们要求的矩阵函数里面，某些元素的值。

而其他元素的值也很好求。

大家可以看到，e的At次方，

其他部分的值，也很容易利用系数方程，

可以得出来。

所以，我们就可以很容易的算出矩阵函数，

而并不需要解出每一个系数。

这是另一个函数，sinAt，

我们所求的矩阵函数。

就是说，我们所得到的，对应的待定系数的方程，

是这样。

第一个方程，

大家注意，实际上就是，对sin函数

求0次导，乘上t的0次方。

然后代入，特征值λi乘上t，也就是2t。

这是我们第一个方程的右边。

而左边的话，

对于余式，我们所要做的事情就是：求0次导，

然后代入的是，特征值λ等于λi，等于2。

我们得到了第一个方程。

而第二个方程，我们对函数部分，右边，

需要做的事情就是，对于sin函数

求一阶导，也就是cos。

然后乘上T的一次方，

最后再代入，λ等于λi乘上t，也就是2t。

我们得到了，第二个方程的右边，函数部分。

对于第二个方程，左边的余式部分，

我们要做的就是，对余式，求一阶导数，

然后带入特征值，λ等于2。

第三个方程，大家注意，我们所要做的事情：

右边对于函数部分，

是对sin函数，求两次导。

这是第一个事情。

第二个事情，就是乘上T的平方；

第三个事情，就是代入

λ，等于λi乘上t。

也就是λ等于2t。

我们得到了，

第三个方程函数部分右边。

对于左边的余式部分，

我们所做的事情就是，对余式求二阶导数，

然后带入，特征值λ，等于λi，等于2。

所以这就是，我们怎样得到关于系数的方程。

通过刚才的指数函数，

e的At次方求法，我们知道，

我们并不急于，解出这些待定的系数，

b0，b1，b2。

而我们要做的事情是，

直接代入方阵A，求出我们的矩阵函数。

虽然里面带有未知的系数b，

我们可以利用，关于这些待定系数的方程，

把这些未知的数求出来。

大家看一下，我们现在对于sin函数，

我们所求出来的方程，

和对于指数函数e的At次方，

所求出来的这个矩阵函数。

所以通过上面的例子，

我们可以看出来，

虽然用待定系数，

来求解这些系数，

但实际上我们并不需要，

真正的把这些系数解出来。

而是，

根据所求的函数，

可以利用关于这些系数的方程，

把所要求的函数求出来。

我们刚才的方法一，

用的是，方阵A的特征多项式，

来作为带余除法的除数。

而我们下面的方法二，

我们想要试着用，方阵A的最小多项式，

来作为带余除法的除数。

很容易看出来，

我们方阵A的最小多项式，是λ-2的平方。

所以，如果用最小多项式，来做除数的话

余式将会是，一个次数小于二的多项式。

所以，我们假设，余式是，r等于b0,

加上b1λ.

这时候，根据我们假设的余式，

待定的系数，只有两个b0和b1。

所以，我们得到的，

关于待定系数的方程，也只有两个。

大家看一下，第一个方程

实际上就是，对于右边的函数

我们所要做的事情就是，

代入λ，等于λi乘上t，也就是，λ等于2t。

而对于左边的余式，

我们所要做的事情，就是直接代入λ等于2。

而第二个方程就是，对于函数部分

我们所要做的事情就是，

对于函数求一阶导数，

然后在乘上T，

然后再代入，λ等于2t。

而对于第二个方程的右边，余式部分

我们所做的事情就是，关于λ求一阶导数，

然后带入，特征值λ等于2。

大家可以看到，关于系数的方程只有两个，

很容易求解。

所以这时候，

我们其实可以，直接求解这些待定的系数,

b0和b1。

然后把它代入到，我们所要求的方程之中。

大家看到，我们在求出b0和b1之后，

代入方程，

所得到的就是，我们所要求的矩阵函数。

所以大家可以体会到，如果方阵A，

它的最小多项式，

是真正的，比特征多项式要小的话，

次数要低的话，

这时候，我们余式的次数，也就会降低。

而待定的系数，也就会减少。

这样的话，

关于这些待定系数的方程，也会减少。

对于我们来求解

这些方程，就变得很容易。

而且余式的次数很低，

我们所要求的矩阵函数，就更容易求。

所以，

如果最小多项式的次数，

比特征多项式次数低的话，

我们用最小多项式，来做待定系数法

就会变得简单很多。

我们来看另一个例子，

对这样的矩阵A

我们要求的是，矩阵函数e的At次方。

首先来求，它的特征多项式。

我们发现，特征多项式是λ-2的平方，

乘上λ-1。

所以我们有两个特征值，

一个是2，

一个是1，

2是二重的，

1是一重的。

很容易发现，我们的方阵A

它的最小多项式，

实际上就是特征多项式自己。

所以我们没有办法，用最小多项式

来简化我们的计算。

所以，我们就利用特征多项式，

来做带余除法的除式。

我们得到的余式

r，应该是一个次数小于等于二的多项式。

我们假设，它的系数为b0，b1，b2。

然后利用我们的特征值，

我们得到如下的，关于系数的方程。

首先是关于特征值2，

因为特征值2，是2重的。

所以我们会得到两个方程。

第一个方程，实际上是，

左右分别关于λ，求零次导数，

不会发生改变。

所以的话，

右边的函数部分，实际上，还要乘T的零次方。

实际上是1，也不会改变。

所以右边的话，只是代入

λ，等于λi乘上T，也就是λ等于2t。

而左边余式部分，

我们所做的事情就是，代入λ等于λi，

也就是，λ等于2，代入特征值，

得到了第一个方程。

利用特征值2，得到的第二个方程，

大家看右边函数部分。

是先关于指数函数，求一次导。没变。

然后，再乘个T的一次方，

然后再代入，λ等于2t。

这是我们得到的，是利用特征值2

得到的，第二个方程的右边。

而左边的余式部分，

我们所做的事情就是，关于λ求一次导，

然后带入特征值2。

第三个方程，

我们用的是，特征值λ等于1。

所以我们左边所要做的事情就是，求0次导，

乘T的零次方，都没变。

然后代入的是，λ等于1乘上T，

也就是，λ等于T。

右边余式部分，

我们所做的事情就是，

直接带入特征值，λ等于1。

我们这样得到的，三个关于未知系数的方程。

接下来，如何来求矩阵函数?

正如上一个例子所说的,

我们并不急于，解出未知的系数bi。

我们先要做的事情是，代入方阵A

来计算矩阵函数，

大家可以看到，我们所得到的矩阵函数

e的At次方，写出来是这样的。

当然这里面，还有很多未知的这个系数。

b0，b1，b2接下来怎么来求？

这些未知的数，

我们所要做的事情就是，利用未知系数，

它的方程来求解。

我们要求，矩阵函数里面这些未知的数。

这就是，如何来利用这些未知系数的方程，

来求我们要求的这些为未知的数。

通过这样的话，

我们根本不需要，解出

这些未知待定的系数bi，

就可以把我们要求的方程

e的At次方求出来。