9.2 特征值的包含区域在线视频

下面我们要看的，是特征值得包含区域。

矩阵，我们可以定义

如下，复平面上的圆的区域。

它是由，矩阵A的第k行元素定义的。

大家可以看到，我们要定义的

这个圆，它的圆心是

方阵A，第k行元素中

在对角线上的元素a kk。

而它的半径，

是第k行，其他元素绝对值的和。

这样，我们用第k行的元素，定义了一个

复平面上的圆，我们把它叫做

方阵A的第k个盖尔圆。

所以给定了方阵A之后，我们可以定义

n 个盖尔圆。

盖尔圆满足下面的一些性质：

第一个定理

就是，盖尔定理一

任给矩阵A，

它全部特征值，被所定义的 n 个盖尔圆覆盖。

我们来看一个具体的例子，

对于这个给定的方阵A，我们想要估计

它特征值在复平面上的范围。

我们所做的事情就是，

对A，把它所定义的四个盖尔圆，求出来。

大家可以看到，

图中橙色的圆，就是A，它的行所定义的，

四个盖尔圆。

我们也可以，对A的转置，求出它的盖尔圆。

下面的四个圆，就是利用A的转置

的盖尔圆，所得到的。

大家可以看到

图中粉色的圆，就是A转置的盖尔圆。

根据盖尔定理，我们知道

A的特征值

是，落在这些圆所覆盖的公共区域里面。

接下来，我们来看第二个定理，

就是盖尔定理二。

如果在盖尔园的并集中，

有K个盖尔圆，

它们构成一个连通的区域，

而且它们，与其它的圆盘是相互孤立的。

那么，在这个由k个盖尔圆连通区域中，

会有A的，K个特征值。

大家注意，如果特征值有相同的，

或者是盖尔圆有相同的情况下，

我们需要计算重数的。

例如，前面我们看到的例子。

我们知道，方阵A有4个特征值，

通过看它的四个盖尔圆，

就是我们图中四个橙色的圆。

发现有两个圆是孤立的，

所以它们当中，

各有一个特征值。

而另外两个圆是相交的，

所以它们并集，所构成的连通区域中

包含了A的另外两个特征值。

虽然根据我们的第二，

盖尔定理知道，如果有K个圆

它能构成一个连通区域，

在这个连通区域中，会包含A的k个特征值。

但是，这些特征值的具体分布情况

是没有办法确定的。

我们可以看一些具体的例子。

比如，下面这个例子

对于矩阵A，我们发现

它的两个盖尔圆，绿色的圆和橙色的圆中，

各有一个特征值。

而对于这个矩阵B，

它的两个特征值实际上只出现在

它的一个盖尔圆中，

而不出现在另一个中。

实际上，我们矩阵B的特征值，

只出现在图中粉色的圆中，而不在绿色圆中。

第三个矩阵C，

我们发现，它的特征值

实际上是，这两个盖尔圆公共的切点。

我们的两个特征值，

就是都落在这个公共点上。

所以大家通过这些例子，可以看到

虽然盖尔圆，覆盖A的所有特征值。

但际上，具体它的特征值

是，落在哪些圆的内部？

情况是不好确定的。

接下来，我们来看一些盖尔定理的简单推论。

第一，

如果矩阵，它的n个盖尔圆，互不相交

则这个矩阵是可以对角化的。

这个证明非常简单。是因为，如果

n 个盖尔圆互不相交，

我们知道，每个盖尔圆里，会包含一个特征值。

而这些特征值互不相同，

所以，互不相同的特征是，它是可以对角化。

推论二：

对于实矩阵A，

它的 n 个盖尔圆互不相交，

则它的特征值，均为实数。

主要的原因是，

实矩阵A，它盖尔圆的圆心都是实数，

都位于实轴上。

所以，每个盖尔圆都是关于实轴对称的。

如果盖尔圆中，包含复的特征值，

那它必定包含，与它共轭的特征值。

但是我们推论中，

盖尔圆互不相交，

每个盖尔圆中只能有一个特征值。

所以我们知道，矩阵只会有实的特征值。

推论三：

如果矩阵，按照行或列，严格的对角占优。

那矩阵行列式不等于零。

证明是这样的，

严格的，对角占优的矩阵，

实际上可以知道，零这一点

不包含在任何的盖尔圆中。

也就是，零不会是矩阵a的特征值。

所以A，就不会有特征值零。

它的行列式也就不是零。