当前课程知识点：金融工程导论 > 第六章 期权定价与无套利均衡分析 > 认沽认购期权平价关系 > Video
下面我们讨论一项
非常重要的期权无套利关系
就是认沽 认购平价关系
我们先假设标的资产不分红
对于有相同标的资产
执行价格和到期日的
欧式认沽和认购期权
我们有以下的关系式
这就是不分红资产的
欧式认沽-认购平价关系
这个平价关系
从直观上可以这样理解
现在t时刻
我们持有一个
认购期权的多头
一个认沽期权的空头
再加上面值等于执行价的
零息债券
这样
在期权到期日时
可以确保得到一份股票
所以这个组合
是一份股票的复制品
所以与现在持有
一份股票的多头价值是相同的
现在我们采用
无套利分析的方法
来证明这一平价关系
我们还是用反正法
假如复制组合
与被复制的股票
有不同的市场价格
比如说
S是小于复制组合的价值的
此时对股票做多头
同时
卖空复制证券
也就是卖出一份认购期权
买入一份认沽期权
然后卖出面值为
执行价的无风险证券
得到现金流如下
我们看到
当期现金流是正的
而到期现金流
无论在标的资产价格
小于执行价还是
大于执行价的情况下
都是零
这就会出现
无风险套利的机会
定价是失衡的
如果价格反过来
我们可以做反向套利
做复制证券的多头
同时
卖空股票
同样会出现无风险套利的机会
所以我们就证明了
欧式认沽和认购期权的平价关系
现在我们来讨论
美式认沽和认购期权平价关系
对不分红的标的资产
美式认沽和认购期权平价关系
不是一个等式
而是以下的不等式
下限就是期权的内涵价值
上限是现货价格减去执行价
用无风险利率折现
首先
我们知道
美式认购期权
和欧式认购期权价格相同
所以我们有这个关系式
大C等于小c
而美式认沽期权价格
不小于欧式认沽期权价格
也就是
大P要大于等于小p
由欧式认沽 认购平价关系
我们可以得到
现货价格的下限
也就是大于等于
美式认沽减去美式认购期权
再加上无风险证券的现值
或者是这样一个公式
这也就是买入美式认购期权
卖出美式认沽期权
所得到的组合价值
是小于具有相同执行价
和到期日的
远期合约长头寸的价值
这就是美式认沽
认购期权平价关系的
右半部分
那么
我们能否证明
平价关系的左半部分呢
也就是
C-P是否会大于S-X呢
我们仍然用反证法：
假如
美式认购期权减去
美式认沽期权
小于现货价格减执行价
那么我们可以作
如下套利策略
卖出一份股票
买入美式认购期权
卖出美式认沽期权
买入价值为执行价的
无风险证券
这样
当期现金流就是
S(t)-C(t)+P(t)-X
如果我们的假设成立
那么当期现金流为正
我们再来看未来现金流
设t_bar是美式认沽期权的行权日
有同学可能会问
是否还应该考虑
美式认购期权的
可能的行权日呢
这个我们不用考虑
因为在标的资产不分红时
美式认购期权
是不会提前行权的。
我们知道
当股价小于行权价时
美式认沽期权才可能行权
当股价大于行权价时
美式认沽期权不可能行权
我们先看
认沽期权行权的情况
此时以市场价买回股票
卖出认购期权
卖出的认沽期权被行权
现金流是
负的X-S在t_bar时候的价格
卖出无风险债券
此时 现金流是
这个式子显然是大于零的
我们再看
认沽期权未行权的情况
此时t_bar就是到期日
所以以市场价买回股票
卖出认购期权
认沽期权没有被行权
价值为零
卖出无风险债券
这个时候现金流就是这个公式
而这个现金流
也是大于零的
因为我们知道
美式认购期权在到期日
一定等于S-X
因此一定有
美式认购期权在t_bar时候
是等于
S-X是大于X-X的折现
至此
我们证明了
美式认购期权
与认沽期权之差
必须大于标的资产价格
和执行价的差
而小于标的资产价格
和以执行价为面值的
零息债券价格
以上我们讨论的
都是标的资产不分红的情况
现在我们讨论标的资产
是分红资产的情况
回顾一下
不分红资产的
期权价格下限分别是
那么当标的资产分红时
期权的价值下限
会有什么变化呢
假设在期权到期日之前
标的资产分红现金流的
净现值是已知的
记为PV（D）
我们就会有这样的关系式
大家仔细看一下这两个公式
我们把不分红标的资产的
期权套利关系公式中的S(t)
用S(t)减去PV(D)来代替了
如何理解呢
上面两个不等式的最右端
实际上是买卖标的资产
远期合约的多头
和空头的净现值
我们知道
认购期权的价格
一定是大于交割价为X
到期日为T的
多头远期合约的价值的
而认沽期权的价格
一定是大于相应的
空头远期合约的价值的
这一点请同学们自己证明
那么对于分红的标的资产
远期合约的价格
如何确定的呢
对于远期合约的多头
到期时的价值是S(T)减去X
期间要发放红利D
因为远期的多头
不拥有标的资产
所以折现时
要把红利的现值扣除
也就是远期合约多头的价值
应该是
S减去PV(D)再减去X用无风险利率折现
对于远期合约的空头
到期时的价值是X减S(T)
因为远期空头拥有标的资产
他们领到红利
所以折现时要把
红利的现值加进去
也就是远期合约空头的价值
应该是
这正好是上面两个式子的右端
最后我们讨论
分红资产的认沽 认购平价关系
对于欧式期权
我们有如下关系式
分红资产的
认沽 认购平价关系
是在右边多加一项分红现值
这是因为
左边的标的资产
是领到红利的
而右边的期权
是没有分红权利的
要使两边相等
需要在右边加上分红现值
对于美式期权的
认沽 认购平价关系
我们有如下的不等式
我们看右边的不等式
代表C减P的上限
与不分红的情形相同
这是因为分红减少了
美式认购期权的价值
而增加了认沽期权的价值
如果右边不等式对
不分红的情况成立
对分红的情况就一定也成立
而左边的不等式
代表C减P的下限
与不分红的情况相比
需要减去分红现值
这个道理
与前面的逻辑是一样的
因为股票持有者领到红利
而期权持有者没有分红权利
具体的证明请
我们看下一张ppt
为了证明买入认购
卖出认沽期权
C减P的下限
也就是这个公式
我们假设
上面式子不成立
我们构筑这样的套利头寸
我们卖空标的资产
并买入与分红现值相等的
无风险证券
用以支付给
股票贷方的股票红利
买入欧式认购期权
卖出美式认沽期权
买入价格为
执行价的无风险证券
我们假定t_bar
是认购期权的行权时间
这有两种可能性
行权的时候股票价格
小于执行价
另一种可能股票价格
大于等于执行价
我们分别讨论这两种情况
当行权价格小于执行价时
这时候我们回购股票
我们用于支付红利
而购买的无风险证券
我们也把它卖出去
价格包含了无风险利息
我们同时卖出
这个欧式认购期权
它的现金流是负的行权价值
最后
我们卖出持有的无风险证券
这个时候
总共的现金流由这个式子表示，
显然这个式子
是大于等于0的
那么第二种情况
是股票价格大于等于执行价
这时同样我们回购股票
现金流是负的S(t_bar)
然后
我们卖出用于支付红利的
无风险证券
卖出欧式买权
这个时候执行认沽期权
是没有现金流的
最后卖出无风险证券
这时我们得到的现金流
就是这个式子
显然这个式子
同样也是大于等于零的
这样
根据假设
我们当其现金流
和未来现金流都为正
这就产生了套利机会
这样我们就证明了
带红利的标的资产的
认沽 认购期权的上下限
这些无套利的期权关系
在交易期权的过程中
判断价格非常有用
同学们可以用数字例子
加以联系
找到价格的感觉
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