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动态无套利定价
以上我们根据
静态无套利分析
给出了期权价值
应当遵循的一些关系
大家可能注意到
在整个过程中
我们并没有考虑到
标的资产的价格运动过程
既然期权是一种衍生工具
他们的价值
必定是依附于标的资产的
价格运动规律
所以光凭以上这些
静态无套利关系
还不能给出期权的定价
下面我们将重点讨论
期权定价的基本方法
也就是动态无套利均衡分析
我们采用第一讲中的例子
把它扩展到两期
假定债券A的运动规律
如图
现在时间t=0
债券A的价格是100
t=1时
价格可以上升到107
或下降到98
在t=2期
基于t=1期的价格
又有两种可能
如此不断迭代
就可以扩展到多期的模型
我们把这个模型
叫二叉树模型
请大家注意
债券价格先上升后下降
或者先下降后上升
价格运行到的状态节点
是相同的
也就是每个时间周期的上升
和下降幅度都不变
这样
二叉树的节点
是随时间t呈线性增长的
现在已知债券B在
第二期的3种不同状态的价格
我们需要定出债券B
现在t=0时的价格
我们采用复制技术
来求债券B的价格
先来看右上方的二叉树
当期t=1时
债券A的价格是107
未来可以上升到114.49
或下降到104.86
同样的经济条件下
债券B的价格
在当期t=1时是103
未来可能上升到107.67
或下降到102.97
采用复制技术
用Δu份债券A
和市场价值为Lu的
无风险证券来复制债券B
债券B
和复制组合的现金流
在未来两个状态下相等
组成以下两个联立方程
这两个联立方程
我们可以解出
我们采用同样的方法
求解右下方的二叉树
用Δd份债券A
和市场价值为Ld的无风险债券
来复制债券B
用同样的方法
我们最后解出
最后
我们求解时间t=0时
债券B的价格
用Δ份债券A
和市场价值为L的无风险债券
来复制债券B
同样解出
以上讨论的方法
就是动态无套利均衡方法
那么这里的关键点是什么呢
这就是所谓的自融资策略
仔细分析一下我们可以发现
在第一期期末
我们以上方的状态为例
PBu既等于t=0时
用Δ份债券A
和价值为L的无风险债券
构成的组合的价值
也等于t=1
时调整后的组合价值
也就是用Δ份债券A
和价值为L的
无风险证券组成的组合
这说明
我们虽然调整了债券A
和无风险证券的组合
由 Δ、L组合
变为Δu、Lu组合
但组合的市场价值没变
实际上是卖掉了一部分债券A
将所得资金买入无风险证券
也就是说
尽管调整了组合的头寸
但并不需要增加资金
也没有资金富余出来
这就是自融资策略
在以上对二叉树的定价方法中
请大家注意两点
第一
这种动态无套利均衡分析方法
是从期末到期初的
也就是由未来最终值
倒推出现在的价格
这种倒推法
是在经济学中经常用的方法
第二
我们注意到
以上方法中解出的头寸
可以是负的
负值意味着对证券的卖空
我们假设市场是允许卖空的
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