当前课程知识点：金融工程导论 > 第六章 期权定价与无套利均衡分析 > 期权定价的二叉树方法 > Video
用债券A和无风险证券
就可以完全动态的
复制出债券B
如果B和复制的证券组合
在任何一个时点的市场价格
发生了偏离
就会出现无风险套利机会
这样一来
债券B实际上就
变成了债券A的衍生证券
是与债券A不相独立的
一种有价证券
在实际的市场中情况
当然并不都是这样
原因在于
我们假设每过一个时点
未来只出现两种可能的状态
这样无套利均衡分析
就只需要两只互相独立的证券
比如说债券A
和无风险证券
就可以复制出所有其他的证券
但是市场实际不可能
只出现两种可能的状态
而可能出现更多的状态
这就需要有更多
互相独立的证券
才能够动态复制其他的证券
这就是市场的完全性问题
但是对于期权的
定价问题来说
情况有点特殊
期权本身就是衍生品
根据上一节的分析
可知期权的价格
应当可以由
标的资产的价格来决定
所以标的资产
和无风险证券
就应当能够完全复制期权
这样倒过来看
二叉数定价对期权来说
就具有特殊的意义
事实上
以后我们会讲到
我们无限细分
二叉树的时间间隔
可以模拟标的资产
价格变化过程中
可能发生的各种情况
现在我们讨论
期权定价的二叉树方法
首先举个例子
这是个标的资产
为不分红股票的欧式认购期权
先看两周期的情况
股票当期的价格是60元
未来一期
股票可能上升到90
或者跌到30
现在有一个欧式认购期权
记为小c
到期日为一个时间周期
执行价是60
那么到期的价格要么是30
要么是0
假设无风险利率是2%
我们采用组合复制方法
对期权定价
我们用份股票
和市场价值为L的
无风险证券来复制期权
采用以上同样的方法
我们得到
其中Δ衡量期权对
标的资产价格变动的敏感度
我们有以下的关系式
也就是
在以上讨论中
我们注意到一点是
我们并没有用到股票价格上升
和下跌的真实概率
假如股票价格期末
上升到90元的概率是q
则下降到30元的概率是1-q
现在我们提一个
非常重要的问题
期权的定价
与这一概率分布有没有关系呢
从上面所做的
无套利均衡定价过程来看
期权的定价
与这一概率似乎没有关系
因为我们利用
无套利复制的方法
复制了所有状态下的现金流
所以
期权价格与股票的
预期收益率也是无关
但从更深一层看
问题就没有那么简单
在以上分析中
我们是要用到
股票现在的价格的
在上一讲中
我们谈到
在一个有效率的市场中
股票目前的均衡价格
已经反映了未来的收益
所以期权的价格间接地
与股票的未来收益相关
比如
如果现在市场上
出现一个利好的消息
股票价格上升的概率变大了
这会不会影响期权的价值呢
答案是肯定的
概率的变化将引起
目前股票价格的变化
进而影响到期权的价值
所以虽然从
无套利均衡分析的过程来看
期权的定价
并不直接
与股票价格变化的概率相关
但实际上是通过股票
目前市场价格的变化
影响到期权的价格
这涉及到更深一层的问题
虽然金融衍生工具
在市场上的定价
与投资者的风险偏好无关
但这指的是给定
标的资产价格时
衍生品价格
与风险偏好不发生直接的关系
事实上
整个市场的价格变化
实际上是和市场参
与者的风险偏好有关系的
进而也会影响到
金融衍生工具的定价
下面我们导出
二叉数定价的一般模型
我们先引入一些系数
我们设定u=1加上
股票价格上涨状态的收益率
d=1加
股票价格下跌状态的收益率
r_bar等于1+rf
这里我们假定t=1
这样我们就有
Su = uS Sd = dS
为了不发生无风险套利机会
我们必须假定
r_bar是在d和u之间的
这是为什么呢
因为如果我们有
r_bar是大于u而u又大于d
我们可以买入无风险证券
而卖出相同价格的标的资产
今天的投入为零
而未来的现金流
在两个状态下都为正
这就是无风险套利
如果r_bar是小于d 小于u的
我们可以做反向的套利
这一点同学们可以下去推一推
现在我们仍然用Δ份股票
和市场价值为L的
无风险证券来复制期权
在两个不同的状态下
复制组合的价值
都等于期权的价值
也就是有这个关系式：
这里对无风险证券的投资L
我们用负号
意味着卖空无风险证券
或者说是以无风险利率借款
由此可以解出Δ和L
由如下公式给出
请注意
这里我们可以证明
对认购期权
我们有L大于0
复制认购期权的证券组合里
无风险证券一定是卖空的
也就是说
认购期权的头寸
类似于采用杠杆购买标的资产
只是杠杆
随标的资产和时间变化而变化
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