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利用风险中性假设的
二叉树定价
现在我们可以利用
风险中性假设的分析方法
来对多期的期权进行定价
我们采用倒推法
前面已经提到
这是资产定价的
最主要的方法
这种方法是在时间上
从后往前推导
我们以两个周期的
二叉树为例
来说明这个方法
我们先从第二期期末
倒推到第一期期末
再从第一期期末倒推到期初
第一个二叉树
是标的资产的价格图
t=0时
标的资产的当期价格是S
t等于1时
可能有两种状态
uS和dS
其中u大于1 d是在0和1之间
t等于2时
标的资产价格有三种状态
分别是u2S
udS和d2S
第二个树
是相应的认购期权的价格图
当t=2时到期
执行价为X
现在我们来看期权的价格图
当t=2时
在Cuu这个节点
它的收益是u2S-X
和0之间最大的值
在Cud这个节点
它的收益是udS-X
与0取最大值
在Cdd这个节点上
收益是d2S减X
与0取最大值
我们要求
期权t=0时的价格
我们用倒推法
倒推出t=1时的
两个状态Cu和Cd
采用风险中性定价
如图所示
这里概率p和1-p
是风险中性概率
我们最后再由
Cu和Cd的值推出
t=0时C的值
也就是这个公式
对于一般的公式
不难推导出n期情况
也就是这个公式
这一结果
应该和采用自融资的
动态无套利均衡分析方法的
定价结果是一样的
但推导要容易得多
下面我们举个数字的例子
假设标的资产是股票
它的价格在t=0时是10
在t=1时有两个状态
分别是12和8
到t=2时有3个状态
分别是14.4
9.6和6.4
在这儿
u和d分别是1.2和0.8
无风险收益率是2%
我们需要对认购期权c定价
认购期权也是两期
它的执行价格是8
也就是在t=2时
分别对应这个期权的价格
是6.4 1.6和0
现在我们计算它的
风险中性的概率
由前面推出的公式
我们知道
代入刚才n=2的公式中
我们可以得到
期权的价格是2.62。
在刚才的例子中
我们如果采用动态复制技术
在t=1时的u节点上
我们可以算出
然后我们算出u节点上
期权价格：
用同样的方法
算出d节点的价格
最后
再算t=0时的复制组合
得到期权的价格
重申一下
我们在本章中介绍的分析方法
有一个要点
就是自融资策略
在上面的数字例子中
复制c的组合
到了第一期期末
如果标的股票价格上涨
在复制组合中
股票的头寸变成了
Δ等于1
原来的股票头寸
Δ只有0.824
这就不够了
这时需要补进0.176份的股票
这个时候
每份股票的市价是12元
需要融资0.176×12
也就是2.112元
所谓自融资
就是再卖空价值为
2.112的无风险证券
这个时候组合中
原有的无风险证券的空头头寸
是5.616×1.02
这是t=0时的空头头寸
再加上利息
再加上这一期需要卖空的
无风险证券头寸2.112
也就是7.84元
这正好就是Lu的数值
这说明在第一期期末
我们只是调整了
组合中的股票头寸
和无风险债券头寸的比重
整个组合的价值没有变化
都是股票价格上升后
和无风险证券
加上一期利息后的组合价值
也就是4.157元
这就是自融资
其他节点的情况也都是一样的
风险中性概率与真实概率的比较
在真实世界里
资产价格是由这个公式决定的
分子中的预期现金流
是相对于真实世界的概率
分母中的折现率
是包含投资人风险溢价的
预期收益率
在风险中性的世界里
资产价格由下面公式决定
这个公式中
分子中的现金流预期
是相对于风险中性概率的
分母中的折现率
是无风险收益率
本讲小结
第一
无套利均衡定价
是金融学中的重要分析方法
它分析的过程和结果
与市场参与者的风险偏好无关
第二
风险中性概率的存在
与无套利均衡的存在等价
只要市场中没有套利机会
风险中性概率就存在
反过来
如果存在风险中性概率
使得市场中
所有衍生品的定价
遵循风险中性定价
那么市场就没有套利机会
第三
风险中性的概率是否唯一
取决于市场是否完备
市场的动态完备性
是指采用动态交易策略
复制需要定价的证券
如果存在动态交易策略
复制组合
则市场是动态完备的
衍生品定价是动态完备的
-金融工程简介
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-无套利均衡分析
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-MM理论（1）
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-考虑税收的MM理论
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-状态价格与完全市场（1）
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-状态价格与完全市场（2）
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