当前课程知识点：金融工程导论 > 第七章 期权定价的Black-Scholes模型 > Black-Scholes期权定价模型 > Video
根据以上对价格过程的假设
我们推导Black-Scholes期权定价模型
我们对市场交易作进一步假设
首行 市场是无摩擦的
没有税收
也没有交易成本
第二
所有资产都可以无限细分
最后是没有卖空的限制
第二我们还假设
无风险利率是常数
而且是连续付息
我们记为rf
现在我们进一步刻画
标的资产所遵循的过程
由以上讨论
我们知道
首先 第一
标的资产价格变化是连续的
第二
任何不同的时间段内
标的资产收益率是不相关的
第三
任何时间段标的资产
复利收益率服从正态分布
第四
任意时间t1至t2内
标的资产的连续复利
收益率的均值和方差
都与t2减t1成正比
也就是它们满足
如下的概率分布
我们把遵循以上几个条件的
资产价格过程S(t)
称为带漂移的几何布朗运动
我们首先介绍布朗运动
大家熟悉随机游走过程
其实布朗运动是随机游走过程
在连续时间上的对应
我们定义在
任意时间间隔dt内
布朗运动的变化
记为dz
【公式展示】
其中 是正态分布的随机变量
均值是零
方差为1
也就是说
在任意时间间隔dt内
z的变化dz
是正态分布
均值是零
方差是dt
而且在不同时间间隔内
z的变化是互相独立的
如果我们定义x是
【公式展示】
x就是波动率为sigma的布朗运动
还可以定义x
【公式展示】
那么这时
x就是带漂移的布朗运动
更一般地情况下
我们可以让 和
是x和t的变量
也就是
【公式展示】
这个时候我们称x为伊藤过程
现在我们定义资产价格过程
【公式展示】
S实际上是个伊藤过程
mu*和sigma都是常数
S的变化率是布朗运动
S也称几何布朗运动
在这里mu*是资产价格回报率的平均值
mu是前面所述的连续复利收益率
在单位时间的平均值
也就是收益率的几何平均值
sigma是波动率
也就是连续计算收益率
在单位时间内的标准差
现在我们介绍伊藤引理
伊藤引理
假如S遵循以上
定义的伊藤过程
【公式展示】
它对于S二次可微
对于t是一次可微的函数
那么我们就有如下的表达式
同学们请注意
这个公式实际上就是
函数f对其自变量
作泰勒展开
保留第一阶小量
与一般的函数微分
形式不同的是
多了一个二次微分项
也就是等式右边第三项
【公式展示】
这一项的来源是
随机波动导致的
因为随机波动的方差
与dt成正比
所以对随机变量S的
二阶导数也必须保留
这是随机变量与一般变量
之间的最大区别
所以请同学们要特别注意
显然
如果S是标的资产价格
S的衍生品价格
就满足以上函数f的条件
包括认购期权与认沽期权
这个公式在以下
推导BS模型时起关键作用
它决定了衍生品价格风险
与标的资产价格风险之间的关系
这里我们会出一道习题
请大家运用伊藤引理
求log（S）所满足的
随机过程的变化
推导Black-Scholes
期权定价模型的方法
实质上与二叉树模型是一样的
都是基于无套利均衡分析
采用动态复制的方法
只是我们把它放在一个
连续时间模型框架下
用更加严谨的
数学语言来表达出来
在完美市场的假设条件下
我们在期权期初t=0时
购买标的资产
和相应的无风险证券
组成复制期权的组合
然后不断的动态调整
复制组合的头寸
保持这个组合
与复制的期权相一致
一直到期权到期日T
这样
根据无套利均衡原理
t=0时刻期权的价值
就一定等于复制组合
在t=0时刻的价值
我们把复制一份期权
所需要的标的资产的头寸
定义为delta
那么我们如何确定delta呢
我们把标的资产价格过程dS
和衍生品价格过程df相比较
有如下的关系式
大家注意到
df是采用了以上的伊藤引理
那么我们比较两个式子
我们会发现
当取
【公式展示】
标的资产和衍生品的风险项
也就是dz项
正好相等
在上一讲二叉树定价时
我们选择的复制组合中的
股票头寸就是delta
与这里的含义实际上是一样的
Delta不停地发生变化
所以为了复制一份期权
需要随时调整复制组合中的
股票的头寸
但这种调整是没有成本的
是自融资的
这一点我们在
二叉树模型中强调过
现在我们建立无风险套利组合
我们用Delta份的
标的资产和卖空无风险证券
L来复制衍生品f
也就是f可以写成这样的形式
那么无风险证券
可以反过来写成
衍生品和标的资产的组合
那无风险证券
在时间间隔delta t内的价格变化
可以写成衍生品的价格变化
和delta份的标的资产的
价格变化的和
也就是它们的价格变化
由这个公式给出
现在我们反
把df与dS的表达式代入
消去风险项dz
我们得到
无风险证券它的价格变化
那么既然L是无风险证券
它的回报率一定等于
无风险利率rf
也就是
【公式展示】
那么我们把delta L的表达式
和L的表达式代入
我们就可以得到如下的方程
这就是著名的
BS期权定价方程
大家注意到
这个方程只与无风险利率rf
标的资产波动率sigma
和标的资产价格S有关
而与标的资产价格的
回报率mu无关的
这说明什么呢
这说明衍生品定价
与市场的风险偏好无关
这就是我们上一讲
反复强调的
衍生品定价可以放在
风险中性的框架下进行定价
这里我们看到
采用不同的模型
并不影响到
我们对定价本质的把握
以上的推导
同学们可以发现
和二叉树定价是一脉相承的
只是在连续时间下
我们得出了一个统一的方程
对某一标的资产
所有衍生品价格
都满足这一方程
不同的只是边界条件的不同
对于欧式认购和认沽期权
边界条件也就是终值条件
由期权的到期日的收益决定的
【公式展示】
认沽期权
在T时候的价值是等于
【公式展示】
我们解出以上偏微分方程
就得到Black-Scholes的公式
这个方程的解如下
c和p都是由两部分组成
【公式展示】
在以下我们会给出
N（d1）和N（d2）
它们所代表的金融学上的含义
这就是一般我们所指的
BS期权定价公式
但是
金融学中
期权定价是指
无套利均衡的定价方法
和动态复制的过程
而不仅仅是这个
期权定价的结果
对于具备相关
数学准备
并希望进一步了解
这一领域的同学来说
可以阅读John Hull教科书中
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