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Black-Scholes 模型的推广
第一
标的资产支付已知红利的情况
我们首先考虑标的资产支付
已知红利的欧式期权
假如现在时间是t
欧式认购期权的到期日是T
标的资产在时间t1
支付已知数额的红利D
在这种情况下
BS模型将发生什么改变呢
因为标的资产
在认购期权到期日之前
支付红利
所以标的资产现在的价值
应该由两部分现金流组成
第一
是发生在t1时刻的无风险红利
我们记为D
第二
是支付红利后到时刻T
股票的价值的现值
这一部分价值是有风险的
我们把它记为
【公式展示】
请注意以上分析
对于在到期日之前
多次发生已知红利的情况
也是可以适用的
更一般的情况
我们假设D*是时间t
到到期日之间所有红利
在时间t的现值
那么除去红利后资产价格是
【公式展示】
所以
对于期权投资人来说
标的资产价格不是股票本身
而应该是股票减去红利的现值
这是因为对于期权投资人来说
他们并没有分红的权利
现在
我们可以直接利用不分红
标的资产的Black-Scholes模型
来定价
我们只要用
来代替 就可以了
带入后得到如下公式
【公式展示】
当然其中的变量d1和d2
【公式展示】
这就是标的资产支付
已知红利的情况下
BS的定价公式
当然我们也可以
利用风险中性定价
来推导已知红利的BS的公式
我们从以下
风险中性定价的原理出发
我们知道认购期权的价格
应该等于未来现金流的预期
这里的预期是指相对于
风险中性概率的预期
我们记为
【公式展示】
其中我们知道S（t）
是一个随机变量
它应该满足对数正态分布
也就是均值为
【公式展示】
请大家注意
在Black-Scholes定价公式中
S（t）只通过上面描述
对数正态分布的关系起作用
因为标的资产是要分红
所以我们把S(t)替换成S_risky
也就是有以下的关系式
实际上我们是把分红的影响去掉
这是蕴含的关系也就是
【公式展示】
这种方法算出的结果
与以上得出的公式一致
请同学们课后自行推导
现在我们讨论
Black-Scholes 模型的第二个推广
在标的资产具有
已知红利率的情况
同样的分析方法
可用于标的资产在单位时间
连续按比例发放红利的情况
对这种情况的分析
非常重要
因为许多重要的标的资产
比如股票指数 外汇等
期权定价都可以转化为
这种形式来讨论
我们假定在任何时间段dt
标的资产都发放红利
红利利率由
这等价于在每一个时刻
我们都将剩余股票价值的一部分按比例
Eta Sdt取走
我们按连续复利计算
这意味着到期时
还剩下原来股票价值的一部分
【公式展示】
所以在现在时刻
标的资产的价值由两部分组成
第一个是比例为
【公式展示】
这部分是作为红利在
到期日之前发放的
另外剩下的那一部分
【公式展示】
这一部分是一份
标的资产去除红利后的现值
采用和以上相同的做法
我们可以用
【公式展示】
来代替S（t）
得到Black-Scholes的解如下
现在我们讨论
Black-Scholes 模型的第三个推广
外汇期权的定价
外汇期权的定价
类似于支付已知红利率的
标的资产的期权定价
我们来看一个例子
假如欧元兑美元
在时刻t的汇率是
一欧元兑1.12美元
那么在BS公式中
我们可以取S(t)=1.12美元
另外
我们记欧元无风险利率是
美元的无风险利率是
我们可以把欧元看成是一个
支付已知红利率的标的资产
在任何时间段dt内
1欧元需要支付的红利率
就是
【公式展示】
所以我们采用标的资产
支付已知红利率的
Black-Scholes模型
就可以得到外汇期权的
定价公式
在这里
我们用欧元的利息
替代标的资产红利率
最后
我们来看一看
Black-Scholes 模型的
第四个推广
也就是分红标的资产
即美式认购期权近似解
我们知道
不分红标的资产的
美式认购期权是等价于
欧式认购期权的
对于分红标的资产的
美式认购期权
因为有提前行权的可能
其价格是大于相应的
欧式认购期权的
在Black-Scholes模型下
除不分红标的资产的
美式认购期权外
美式期权一般没有解析解存在的
假如标的资产在时刻t1分红
这里t1在t和T之间
根据我们第六讲中
对美式认购期权的定性分析
我们知道
认购期权的持有者
要么在临近分红前执行期权
要么等到到期日执行期权
所以我们可以把
这个美式认购期权
近似看作两个欧式认购期权中
取比较大的那个期权值
这两个欧式认购期权分别是
第一个是
到期日是分红日t1的
欧式认购期权
标的资产不分红
第二个是
到期日是T的欧式认购期权
标的资产在时刻t1分派红利
分红股票的
美式认购期权的近似解
可以写成这两个欧式期权的较大值
而这两个欧式期权的价格
我们在前面已经讨论过
可以写成这样的公式
这个近似解可以推广到
多次分红的情况
另外同学们应该注意的是
这个近似解比理论值
稍微偏小一点
我们将留一个习题给大家
采用定价软件来比较
这两种方式求出的期权价格
Black-Scholes 模型的第五个推广
我们考虑波动率的情况
在期权定价公式中
波动率是作为常数处理的
在实际运用当中
波动率是可能随时间随机变化的
假设波动率在未来3个月中
随时间变化
每个月分别是年化36%
42%和28%
那么期权定价公式
在运用波动率时
就应该这样计算
【公式展示】
我们得出0.179
因此在用BS定价时
我们需要用以上
算出来的Sigma代入来计算
一般来说
如果波动率是时间的函数
那么我们可以用以下积分公式
来替代期权在生命期时间间隔内
它的方差
【公式展示】
也就是我们可以用
【公式展示】
如果波动率是个随机变量
我们想想
是否可以用方差的预期
也就是这个关系式
来代替
【公式展示】
我们答案是这样的
只有当波动率的随机变化
与标的资产的变化无关时
我们可以用以上的预期
来代入BS定价模型
求出期权的价格
当波动率与标的资产价格
负相关时
认沽期权价格变高
当波动率与资产价格正相关时
认购期权价格会变高
这里面的原因
我们留给同学们做为习题
-金融工程简介
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-无套利均衡分析
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-MM理论（1）
--Video
-MM理论（2）
--Video
-MM理论（3）
--Video
-考虑税收的MM理论
--Video
-状态价格与完全市场（1）
--Video
-状态价格与完全市场（2）
--Video
-本章习题--作业
-资金的时间价值与基准利率
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-名义利率与真实利率
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-金融风险与无风险证券
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-复利与零息债券利率
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-利率期限结构
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-远期价格与远期利率
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-远期利率与互换
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-第二章 利率期限结构--本章习题
-投资组合理论（一）：收益与风险的权衡
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-投资组合理论（二）：风险的分散化
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-两基金分离
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-市场投资组合
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-资本资产定价模型CAPM
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-第三章 投资组合理论和资本资产定价模型CAPM--习题
-马克维茨投资组合理论的问题
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-单指数模型
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-市场模型
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-多指数模型
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-套利概念的深化
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-单因素套利定价理论
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-多因素套利定价理论
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-CAPM、APT对比及本章总结
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-本章习题--作业
-市场有效性（一）：引言
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-市场有效性（二）：随机漫步与有效市场假说
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-市场有效性（三）：市场有效性与投资策略
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-市场有效性（四）：市场有效性的检验
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-远期与期货定价
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-互换
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-本章总结
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-第五章 市场环境、交易方式与资产定价--本章习题
-期权简介
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-期权定价的基本无套利关系
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-认沽认购期权平价关系
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-动态无套利均衡分析
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-期权定价的二叉树方法
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-风险中性假设
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-利用风险中性假设的二叉树定价
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-本章习题--作业
-股票价格运动规律
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-Black-Scholes期权定价模型
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-风险中性定价
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-Black-Scholes期权定价模型应用
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-隐含波动率
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-第七章习题--作业
-Delta对冲
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-Theta对冲
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-Gamma对冲
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-Vega对冲
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-对冲应用
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-组合保险
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-第八章 期权交易风险管理--第八章习题
