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现在我们来介绍
希腊字母Gamma
一个期权组合的Gamma
是指期权组合的Delta的变化
与标的资产变化的比率
它的表达式应该是
【公式展示】
其中派是期权或期权组合
我们注意到
标的资产本身的gamma是零
当Gamma很小时
Delta变化缓慢
这时
动态对冲的调整
并不需要太频繁
但是
当Gamma的绝对值很大的时
delta对标的资产的波动
变得很敏感
这时
动态对冲的调整
需要特别频繁
才能保持组合的Delta中性
这张图说明了这一点
当股票价格由S变为S撇时
在Delta中性的情况下
对冲组合的价格由c变成c撇
同时
期权由c变成c两撇
而这一误差大小
取决于期权价格曲线的曲率
而Gamma就是度量这个
曲线曲率的变量
图中展示了delta中性组合
也就是delta对冲后的期权组合
随标的资产变化的情况
我们把组合记为派
显然它是标的资产S
和时间t的函数
我们对派（s t）作泰勒展开
对于一个delta中性的组合
派对delta s的一阶变化为零
所以得到以下的关系式
【公式展示】
从图中我们可以看到
组合收益随标的资产变化的情况
当Gamma为正时
只有当标的资产价格S
变化幅度较大时
组合才会有正的收益
当标的资产价格S变化幅度较小
或不变的情况下
组合收益为负
当Gamma为负
标的资产价格的一个较大变化
会使组合带来严重的损失
当Gamma的绝对值增加时
期权价值对S的敏感度会增加
现在我们来看
计算Gamma的公式
这就是计算Gamma的公式
对于到期日
标的资产和执行价都相同的
认沽与认购期权来说
Gamma是相同的
这里请同学们采用
认沽-认购评价关系
来证明这一点
我们现在举一个数字例子
对于平价期权
【公式展示】
它们的认沽或者认购期权
Gamma是等于0.066
也就是说
当股票价格变化delta S的时候
期权的delta将变化为
0.066乘以delta S
现在我们讨论Delta
Gamma和Theta之间的关系
在BS的公式中
如果派是某一标的资产的期权组合
那么这个期权组合
一定满足如下的关系式
【公式展示】
对于完全对冲的组合
我们有delta等于0
以上公式也就变成
【公式展示】
一般来说
r很小接近于零
我们看到
当theta为正时
gamma必须为负
当theta为负时
gamma必须为正
对于delta中性的期权组合
可以将theta作为gamma的近似
这在数值计算中是非常有用
因为gamma的计算
涉及到两次微分
对运算精度要求很高
而theta是一阶微分
如果用theta代替
就可以提高精度
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