当前课程知识点：工程热力学（下） > 第10章 热力学微分关系式及实际气体的性质 > 10-5 熵、内能和焓的微分关系式 > Video 10-5 熵、内能和焓的微分关系式
下面进入我们这一章前半部分的主要内容部分
也就是说利用我们前面介绍的
麦克斯韦关系式 还有偏导数
还有一些数学的关系
来推导 熵 内能
还有焓的热力学微分关系式
首先我们来看熵的微分关系式
我们首先回顾一下
对于理想气体
第三章我们讲理想气体的时候
我们曾经介绍
ds的三个不同的表达式
也就是说ds可以是
等于cv乘以dT比上T
加上R乘以dv比上v
也就是说这个时候
熵是温度和比容的函数
第二个表达式是什么
第二个表达式 熵是温度和压力的函数
第三个 熵是压力和比容的函数
也就是说对于理想气体
熵可以有这三种不同的表现形式
ds跟pvT以及定压比热容
或者定容比热容的关系
对于实际的工质
应该也有类似的表达式
那我们一起来看一下
首先对于一般的工质 我们来看
当熵是温度和比容的函数的时候
它的全微分可以写出来
也就是说 熵对温度求偏导
在比容不变的条件下 乘以dT
然后熵对比容求偏导
在温度不变的条件下 乘以dv
我只要知道了这两个偏导数
跟pvT还有定压或定容比热容关系的话
那我就可以推出来了
那我们就解决这两个偏导数
它应该等于什么
首先我们来看 由这个链式
这个链式里面
含有ds中的第一个偏导数
我们就把它放在左侧
另外两项拿到右侧
那肯定是在分母了
我们把其中的一项
再给它翻到上面去
那分子分母就要调换一下位子
也就是说这个偏导数最后变成了
两个偏导数的比值
我们仔细来看一下
分子的那个偏导数
内能对温度求偏导
在比容不变的条件下 它是什么
它就是我们前面讲的 定容比热容
然后分母偏导数是什么
这偏导数就是我们前面刚刚讲的
八个偏导数中的一个 它等于温度
也就是说 这个偏导数
最后它是什么
它是定容比热容除以温度
我们把它放在这
用定容比热容比上温度
替换刚才那偏导数
就剩第二个偏导数了
我们再来看这个偏导数又是什么
这个偏导数就是
含在我们的麦克斯韦关系式中
就是这个关系式
也就是说熵对比容求偏导
在温度不变条件下 它等于什么
等于压力对温度求偏导
在比容不变的条件下
我们做一个替换
整理一下就是这个表达式
也就是说 熵是温度和比容的函数
它最后的偏导数 我们来看一下
ds它的右侧 右侧是什么
我们的基本状态参数
压力 温度 比容 然后还有一个什么
还有一个定容比热容
这个表达式
是熵的第一微分关系式
它是普适式
也就是说它适用于所有的工质和过程
因为在推导过程中
你没有使用任何的限定条件
既然是普适式
那对于理想气体也适用
我们就基于这个普适式来推导一下
对于理想气体它的最终表达式是什么
那怎么来推
那就要用到理想气体的状态方程
利用理想气体状态方程
来推导这偏导数的最终表达式
理想气体状态方程pv=RT
那个偏导数我们推下来
它就等于R除以v
然后我们再代到ds的表达式中
最后就是ds等于cv乘以dT除以T
加上R乘以dv除以v
这是我们前面曾经出现过的
理想气体的ds的其中一个表达式
跟这个是完全一样的
当然肯定是一样的
这是熵的第一微分关系式
然后类似的 可以推出来
熵的其它两个微分关系式
熵是温度和压力的函数的时候
经过类似的推导
可以推导出这样一个微分关系式
我们把它叫做熵的第二微分关系式
当熵是压力和比容的函数的时候
经过推导 这个稍微长一点
它是熵的第三微分关系式
关于熵的三个微分关系式
我们推完了
我们现在再来看
内能的微分关系式
这内能的微分关系式怎么推
像刚才推熵的类似
一步步去推 有必要吗
我们知道内能跟熵之间有什么关系
有热力学恒等式
du=Tds-pdv
那我们把刚才前面推导的
熵的三个微分关系式代进去一整理
那不就是内能的三个微分关系式么
我们来看一下
内能是温度和比容的函数的时候
我们对应的 用熵的微分关系式代进去
然后来进行整理
就得到了内能的微分关系式
这个叫做内能的第一微分关系式
然后类似的 可以把内能的
另外两个微分关系式给它推出来
这表达式稍微长一点
根本的方法就是
把ds代到内能的热力学恒等式中
进行一个整理就可以了
对于内能而言
它也是有三个微分关系式
其中 第一微分关系式用的比较多一点
因为这个表达式相对来说要简单一些
这样的计算也就要方便一些
所以用的也就要比较多一些
我们也是来看一下
内能的微分关系式是普适的
所有的工质都适用
对于理想气体当然也适用
我们来看一下
我们基于普适的内能的微分关系式
我们来推理想气体的du的表达式
那怎么推
也是要用理想气体的状态方程
然后推微分关系式中的偏导数
它的最终表现形式 然后代进去
理想气体状态方程pv=RT
然后我们推偏导数
中括号里那一项
把状态方程代进去 进行整理
最后中括号里这一项是等于0
然后最后的结果是什么
对于理想气体du=cvdT
跟我们前面讲的是完全一样
那肯定是一样
而且你来看一下
对于理想气体 相对于普适式
也就是上面那表达式
它缺什么项
缺后面第二项 中括号里的那项
那一项实际上是体现了
分子之间的相互作用
理想气体为什么没有那一项
因为理想气体分子之间没有作用力
所以那一项是没有的 是等于0的
对于焓的微分关系式
它的推导跟内能也就完全类似
也就是说利用关于焓的热力学恒等式
然后把ds的三个微分关系式
代到里面去进行一个整理就可以了
这个是焓的第一微分关系式
比较长一些
当焓是温度和压力的函数的时候
是焓的第二微分关系式
当焓是压力和比容的函数的时候
这是第三微分关系式
对于焓而言
当它是温度和压力的函数的时候
这个微分关系式相对来说要多一些
或者是比较常用
原因就是这个关系式形式相对简单
计算也就方便一些
下面我们把
我们这一小节的主要内容
我们来总结一下
这一小节我们推导了熵 内能 焓
各自的三个微分关系式
这个推导不要求大家去熟练地掌握
甚至各自的三个微分关系式
也不要求大家去记去
但是希望大家非常清晰地
要建立起来这样一个概念
也就是内能 焓 熵
它各自与压力 温度 比容
以及定压比热容或者定容比热容
存在确定的关系式
当然这个关系式是微分关系式
不要求你去记它
但是这个概念你应该知道
但是如果说
某一个工质的状态方程给你了
然后请你来推 对于这个工质
满足这样的一个状态方程
它内能的变化量
或者是焓的变化量 或者熵的变化量的
最终表达式是什么
这个你要会推
当然在这个题目中
我们会把du ds或者dh的
微分关系式会给你的
这个推怎么推
跟我们刚才讲的理想气体是完全一样的
也就是把这微分关系式中
偏导数的具体形式
针对这个工质的状态方程
把具体形式给它推出来
然后化成最简式
这一点大家要记住
-6-0 导引
-6-0 作业
-6-1 纯物质的热力学面及相图
-6-1 作业
-6-2 汽化与饱和
-6-2 作业
-6-3 水蒸气的定压发生过程
-6-3 作业
-6-4 水及水蒸气状态参数的确定及其热力性质图表
-6-4 作业
-6-5 水蒸气的热力过程
-6-5 作业
-第6章 章节小测验
-7-1 概述
-7-2 朗肯循环
-7-2 作业
-7-3 实际蒸汽动力循环分析
-7-3 作业
-7-4 蒸汽再热循环
-7-4 作业
-7-5 蒸汽回热循环
-7-5 作业
-7-6 热电联产循环
-7-6 作业
-7-7 燃气-蒸汽联合循环
-7-7 作业
-7-8* 高效及绿色发电技术
-第7章 章节小测验
-8-0 导引
-8-0 作业
-8-1 空气压缩制冷循环
-8-1 作业
-8-2 蒸气压缩制冷循环
-8-2 作业
-8-3 热泵
-8-3 作业
-8-4* 热泵与节能环保
-8-5 吸收式制冷循环
-8-5 作业
-8-6 其他形式制冷循环
-8-6 作业
-8-7* 制冷剂与环保
-第8章 章节小测验
-9-0 导引
-9-0 作业
-9-1 混合气体的成分
-9-1 作业
-9-2 分压定律与分容积定律
-9-2 作业
-9-3 混合气体参数的计算
-9-3 作业
-9-4 理想气体的混合熵增
-9-4 作业
-9-5 湿空气及其状态参数
-9-5 作业
-9-6 湿空气的焓及熵
-9-6 作业
-9-7 比湿度的确定及湿球温度
-9-7 作业
-9-8 湿空气的焓湿图与热湿比
-9-8 作业
-9-9 湿空气的基本热力过程
-9-9 作业
-9-10* 环保节水型冷却塔简介
-第9章 章节小测验
-10-0 导引
-10-0 作业
-10-1 研究热力学微分关系式的目的
-10-1 作业
-10-2 特征函数
-10-2 作业
-10-3 数学基础
-10-3 作业
-10-4 热系数
-10-4 作业
-10-5 熵、内能和焓的微分关系式
-10-5 作业
-10-6 比热容的微分关系式
-10-6 作业
-10-7 克拉贝龙方程和焦汤系数
-10-7 作业
-10-8 实际气体对理想气体性质的偏离
-10-8 作业
-10-9 维里方程
-10-9 作业
-10-10 经验性状态方程
-10-10 作业
-10-11 普遍化状态方程与对比态原理
-10-11 作业
-第10章 章节小测验
-11-1 概述
-11-1 作业
-11-2 热力学第一定律在反应系统中的应用
-11-2 作业
-11-3 化学反应过程的热力学第一定律分析
-11-3 作业
-11-4 化学反应过程的热力学第二定律分析
-11-4 作业
-11-5 理想气体的化学平衡
-11-5 作业
-11-6 热力学第三定律及绝对熵
-11-6 作业
-第11章 章节小测验
-期末考试
