当前课程知识点：工程热力学（下） > 第10章 热力学微分关系式及实际气体的性质 > 10-6 比热容的微分关系式 > Video 10-6 比热容的微分关系式
我们上一小节 du dh ds
各自与基本状态参数
然后还有什么 还有cv cp
也就是说在这些微分关系式中
它都含有定压比热容或者定容比热容
这两个比热容与p v T
又各自是怎样的一个关系
它俩之间又是怎样一个关系
还有一个 我们前面讲
气体有定压比热容 有定容比热容
而对于固体和液体
你从来没有说
它是定压比热容还是定容比热容
你只听说一个比热容 为什么
在这一小节你会找到答案
我们来看定容比热容的微分关系式
它是怎么推的
它是由熵的第一微分关系式推出来的
对于熵的第一微分关系式
我们写在屏幕的上方 写在这
对于这个微分关系式
我们把它用全微分的条件
也就是说再次求偏导
这两个偏导应该是相等的
对它再进一步的整理
最终就是定容比热容
与p v T之间的关系
当然这是一个偏导数的关系
那你看它最终的这表达式
除了cv以外
其它的参数都是基本状态参数
也就是压力 温度 比容
这就是定容比热容的微分关系式
类似的
可以推出来定压比热容的微分关系式
它是由熵的第二微分关系式而来的
也是对这个微分关系式
利用全微分的条件
也就是再次求偏导 应该是彼此相等的
然后对它进一步的整理
最后我们看出来
定压比热容 对压力求偏导
在温度不变的条件下
右侧所含的量也都是基本状态参数
这就是定压比热容的微分关系式
当然它也是一个偏导数的一个关系
左右两侧都是含偏导数
比热容的微分关系式有什么用
我们简单来看一个
比如说已知状态方程
也就是压力 比容 温度
它有一定的函数关系
具体的函数形式我们不去展开
反正它是有确定的函数关系的
我们对状态方程
对它进行偏微分两次的话
我们就可以得到二次偏导
然后把偏导数代到
定压比热容的微分关系式里面
然后再对偏导数对压力进行积分
就得到这样一个关系
也就是工质的定压比热容
然后减去另一个比热容带星号的
这个比热容是什么
我们刚才说对压力积分
积分肯定有一个起点和终点
对压力趋近于0
到任意一个压力点进行积分
既然压力趋近于0
定压比热容就接近于理想气体
也就是说对于已知的状态方程
然后利用定压比热容的微分关系式
最后可以导出来
工质的定压比热容的表现形式
当然这表达式的右侧
有偏导数 然后有积分
但是这个偏导数怎么样
我们可以利用前面的状态方程
给它推出来
只不过我们这没有具体展开而已
你只要知道了你的状态方程
那偏导数是可以求出来的
然后对于理想气体的
定压比热容怎么样 你是会算的
所以这最终的结果是什么
你看见什么
也就是说只要知道已知状态方程
我们利用定压比热容的微分关系式
我们最后就可以确定
实际气体的定压比热容
这是它的一个用途
当然我也可以检验状态方程
实际上定压比热容与p v T的关系
那p v T实际就是状态方程
所以它的第二个用途就是来检验
状态方程的准确性
比如说这个状态方程
pvT之间的函数关系
对这状态方程
对它偏微分两次的话
就可以得到这二阶偏导
然后把这偏导代到刚才推的
定压比热容的表达式里面去
然后再借助于理想气体的定压比热容
我就可以算工质的定压比热容cp
这是由状态方程得出来的
工质的定压比热容
工质定压比热容我可以测量
也就是说实际的精确测量的
一个定压比热容
然后 这两个比热容进行一个对比
实际精确测量的定压比热容
肯定就是准确的
精确测量的 它肯定准确的
而你前面由状态方程
然后借助于定压比热容的微分关系式
得出来的计算的定压比热容
它未必是准确的
它如果说跟实际精确测量的
偏差不是很大的话 说明什么
说明你这状态方程是准确的
如果偏差很大的话 那说明什么
说明你这状态方程是不准确的
所以说我们可以利用它
来检验你的状态方程的准确性
就是在这
当然了也可以建立状态方程
也就是说
利用定压比热容的微分关系式
然后还要知道定压比热容
它与压力及温度的关系
就可以最终就得到
比容与压力还有温度的函数关系
这个不就是状态方程
具体我们不去展开
感兴趣的同学可以自己去看一下
下面我们再来看一下
定压比热容与定容比热容
它俩之间的关系
因为我们前面讲过
定压比热容容易测量
而这定容比热容它不容易测量
如果说我们知道了它俩之间的关系
那我测这定压比热容
我利用它俩之间的关系
把这定压比热容不就可以算出来吗
我们来看一下它俩之间的关系
由熵的第一和第二微分关系式
我们可以推出来
cp-cv等于这样一个量
这个量是三个量的乘积
一个是负的 一个是温度
然后中间是什么 是比容与温度的
偏导的压力不变条件下的一个平方
然后接着是什么
压力对比容求偏导
在温度不变的条件下
然后你看右侧这些量是什么
都是基本状态参数 p v T是吧
也就是说
我如果知道了状态方程的话
这两个偏导数就可以求出来
也就是说 如果知道状态方程
cp-cv的量我就可以确定
那既然是这样的话
那我测量定压比热容cp
然后我利用这关系式
那cv不就算出来了 这是一点
我们接着再往下看
我们来看温度
它永远是大于等于0的这T
中间的比容对温度的偏导的平方
这个量永远是大于等于0的 平方
然后再看后面那个量
压力对比容的偏导
在温度不变的条件下
这个量怎么样 它是小于0的
压力增加 比容一定是减小的
所以这个项是小于0的
既然是这样的话
等号的右侧怎么样
那就是大于等于0的
也就是cp-cv≥0
也就是说cp≥cv
大家是否还记得 对于理想气体
cp-cv等于什么 等于R
实际上你把这理想气体状态方程
代进去就是等于R
我们不去代进去了 这是第二点
我们由定压比热容与定容比热容
之间的关系我们可以确定
定压比热容永远大于等于定容比热容
然后还有一点 对于固体和液体
我们从来没有听说过
它的定压比热容是多少
定容比热容是多少
我们只听说 固体的比热容
液体的比热容是多少 为什么
因为对于固体和液体
比容对温度的偏导 在压力不变条件下
这是趋近于0的
固体和液体具有这样的一个性质
它的比容随温度的变化是非常之小的
所以说对于固体和液体
定压比热容几乎就等于定容比热容
所以我们只说它的比热容是多少
对于这一小节 比热容的微分关系式
它的主要内容 要求大家掌握的
一个是大家一定要清晰建立这样一个概念
这两个比热容各自与基本状态参数
有确切的微分关系式
当然这是一个偏导数的关系
然后cp-cv
右侧也是基本状态参数之间的
偏导数的关系
最后一点 cp永远大于等于cv
对于固体和液体是取等号的
这是我们这一小节的主要内容
-6-0 导引
-6-0 作业
-6-1 纯物质的热力学面及相图
-6-1 作业
-6-2 汽化与饱和
-6-2 作业
-6-3 水蒸气的定压发生过程
-6-3 作业
-6-4 水及水蒸气状态参数的确定及其热力性质图表
-6-4 作业
-6-5 水蒸气的热力过程
-6-5 作业
-第6章 章节小测验
-7-1 概述
-7-2 朗肯循环
-7-2 作业
-7-3 实际蒸汽动力循环分析
-7-3 作业
-7-4 蒸汽再热循环
-7-4 作业
-7-5 蒸汽回热循环
-7-5 作业
-7-6 热电联产循环
-7-6 作业
-7-7 燃气-蒸汽联合循环
-7-7 作业
-7-8* 高效及绿色发电技术
-第7章 章节小测验
-8-0 导引
-8-0 作业
-8-1 空气压缩制冷循环
-8-1 作业
-8-2 蒸气压缩制冷循环
-8-2 作业
-8-3 热泵
-8-3 作业
-8-4* 热泵与节能环保
-8-5 吸收式制冷循环
-8-5 作业
-8-6 其他形式制冷循环
-8-6 作业
-8-7* 制冷剂与环保
-第8章 章节小测验
-9-0 导引
-9-0 作业
-9-1 混合气体的成分
-9-1 作业
-9-2 分压定律与分容积定律
-9-2 作业
-9-3 混合气体参数的计算
-9-3 作业
-9-4 理想气体的混合熵增
-9-4 作业
-9-5 湿空气及其状态参数
-9-5 作业
-9-6 湿空气的焓及熵
-9-6 作业
-9-7 比湿度的确定及湿球温度
-9-7 作业
-9-8 湿空气的焓湿图与热湿比
-9-8 作业
-9-9 湿空气的基本热力过程
-9-9 作业
-9-10* 环保节水型冷却塔简介
-第9章 章节小测验
-10-0 导引
-10-0 作业
-10-1 研究热力学微分关系式的目的
-10-1 作业
-10-2 特征函数
-10-2 作业
-10-3 数学基础
-10-3 作业
-10-4 热系数
-10-4 作业
-10-5 熵、内能和焓的微分关系式
-10-5 作业
-10-6 比热容的微分关系式
-10-6 作业
-10-7 克拉贝龙方程和焦汤系数
-10-7 作业
-10-8 实际气体对理想气体性质的偏离
-10-8 作业
-10-9 维里方程
-10-9 作业
-10-10 经验性状态方程
-10-10 作业
-10-11 普遍化状态方程与对比态原理
-10-11 作业
-第10章 章节小测验
-11-1 概述
-11-1 作业
-11-2 热力学第一定律在反应系统中的应用
-11-2 作业
-11-3 化学反应过程的热力学第一定律分析
-11-3 作业
-11-4 化学反应过程的热力学第二定律分析
-11-4 作业
-11-5 理想气体的化学平衡
-11-5 作业
-11-6 热力学第三定律及绝对熵
-11-6 作业
-第11章 章节小测验
-期末考试
