当前课程知识点：工程热力学（下） > 第10章 热力学微分关系式及实际气体的性质 > 10-7 克拉贝龙方程和焦汤系数 > Video 10-7_1
由前面推导的热力学微分关系式
我们可以推导出两个非常重要的关系
一个是克拉贝龙方程
还有一个就是焦汤系数
我们在第六章
讲水和水蒸气的性质的时候我们讲过
相变的时候
饱和压力和饱和温度是一一对应的
而且对于水这种物质
它与其它物质不一样
在这p-T相图上
唯有水它的凝固线的斜率是负的
而且我们给出了
斜率是负的原因的解释
就是克拉贝龙方程
那么现在我们就来推导克拉贝龙方程
由麦克斯韦关系式
也就是熵对比容在温度不变下的偏导
等于压力对温度在比容不变下的偏导
这是麦克斯韦关系式
然后我们现在讨论的是相变
在相变的时候我们知道
压力和温度是一一对应的
那么也就是说相变的时候
压力只与温度相关
与其它的因素没有关系
那这样一来压力对温度偏导
你直接就可以写成导数
也就是dp/dT
然后我们对这个表达式
对比容进行积分
积分之后左侧就是熵变
终态的熵减去初态的熵
而右侧是dp比上dT
然后乘以比容的差值
终态的比容减去初态的比容
然后我们来看相变
从饱和液变成饱和气
那么对于这种情况
那么上面那表达式就是什么呢
就是饱和气的熵减去饱和液的熵
然后等于这相变的dp比上dT
然后乘以饱和气的比容
减去饱和液的比容
我们延续前面的写法
那么也就是说饱和气的时候
它那上面参数用两撇来表示
而饱和液它对应的热力学参数
用一撇来表示
那么这个表达式是克拉贝龙方程方程
我们推导过程中的中间的一个表达式
由这个表达式你可以很直观地看出来
那么相变过程中的熵变
你可以通过测量压力 温度 比容
来计算得到
右侧只是压力 温度 比容吗
这些参数你是可以测量的
然后通过测量参数有这样的关系
可以算出来相变的时候
饱和气与饱和液的熵的变化量
这是我们刚才推导的表达式
然后接着我们来看
我们由热力学恒等式
dh=Tds+vdp
还有我们这T-s图我们可以得到什么呢
在相变的过程中也就是压力是不变的
那么可以得到熵的变化量
等于熵的变化量除以温度
因为在这过程中压力是不变
所以dp那一项没有了
所以积分以后
那么就是熵的变化量
等于熵的变化量除以Ts
这个下标s不是熵
指的是饱和的英文的字头s
这个稍微说明一下
这个下标s指是饱和状态
也就是相变过程中的状态
也就是说熵变等于焓的变化量
除以饱和温度
那么我们把这个
代到上面第一个表达式
我们就可以推出来dp/dT
在饱和情况下也就是相变情况下
它等于什么呢
等于熵的变化量除以温度
然后再除以一个 比容的一个差值
这个就是克拉贝龙方程
那么通过这个表达式
你就可以看到什么呢
可以看到我这个实际上焓的变化量
它可以通过测量压力 温度 比容
代到这个表达式中可以计算来得到
这是克拉贝龙方程
然后我们来看一下
广义的克拉贝龙方程
那么对于气液相变
那么上面那个量是汽化潜热
而对于一般相变
那这可以是液变成气
也可以是固变成液
也可以是固变成气
那么这个α表示你的初态
β表示你的终态
那么上面那个潜热对应的
如果是液变成气那是汽化潜热
如果是固变成液那是溶解热
如果固变成气那是升华热
也就是说这克拉贝龙方程
适合各种情况的相变
然后我们再来看一下
克拉贝龙方程的其它应用
实际上就是我们前面讲
水和水蒸汽的时候那p-T相图
我们把这图放在这
我们可以看到只有H2O水的凝固线
或者说溶解线
那么它的斜率是负的
其它的物质这个线的斜率都是正的
那么这原因是什么呢
我们从克拉贝龙方程这表达式
可以看出来对于一般的物质
它液体的比容是大于固体的比容的
所以dp/dT它是大于0的
所以它的凝固线
或者说溶解线的斜率是正的
而对于H2O也就是我们的水
那么它的液相的水的比容是小于固相
也就是冰 小于冰的比容的
那么所以它的dp比上dT
它是小于0的
也就是在p-T相图上水的凝固线
或者是溶解线的斜率是负的
然后我们再来看一下
这克拉贝龙方程在其它方面的应用
首先第一个它可以估算
低压下的相变潜热
那么对于低压压力比较低
在压力比较低的情况下饱和气的比容
是远远大于饱和液的比容的
也就是v′′远远大于v′
而且气相它是接近于理想气体的
在低压的情况下
那接近理想气体也就是说
可以用理想气体状态方程来描述它
也就是说压力乘以比容等于RT
然后我们把这个关系式代到
克拉贝龙方程
在低压的情况下
然后我们进行整理
变成了我们屏幕左下方的表达式
那么这个表达式
从数学上来说稍微整理一下
那么就是你的相变潜热
等于负的dIn(ps)然后除以d(1/Ts)
就是用黄色背景打的这个公式
那么这个公式你看
左侧是你的相变潜热 而右侧是什么呢
是饱和压力 饱和温度 还有气体常数
那么也就是说我通过测量
饱和压力和饱和温度
可以来估算相变潜热 为啥说是估算呢
因为这个公式的推导过程中
你用的这些近似 对吧
低压下我们把液相的比容给忽略了
然后还把它看成是理想气体
做了这样的近似
所以算出来的结果当然是近似的
我们再来看一下
克拉贝龙方程的第二个用法
这个实际上在我们水和水蒸汽那章
我没有用过
也就是说在相变的时候
压力和温度是一一对应的
也就是说它一定有一个函数关系的
那么这个函数关系
我们可以用克拉贝龙方程
对它进行一个预测
刚才我们推了在低压下
相变潜热与饱和压力与饱和温度
有这样一个关系
那么当你饱和温度
变化不是很大的时候
那么这个相变潜热
可以把它看作一个常数
那么如果可以看成一个常数
那么上面那个表达式
就可以对它进行积分了
那么如果积分那就有积分常数了
所有最后整理的形式
就是In(ps)等于
相变潜热除以气体常数
然后再除以一个饱和温度
然后再加上个A 这个A是积分常数
我们再把它稍微变化一下形式
那么就是我们屏幕
右下角的这个表达式
In(ps)=A-B/Ts
这个A和B是两个常数 我们给它放在这
这个表达式是我们利用
克拉贝龙方程做了一些简化
近似推导出来的
刚才也说了做了简化 做了近似
所以它肯定是有误差的
跟实际的参数的关系之间
肯定是尽管有误差
但是它的基本形式是确定的
那么如果说你想让它的精度再高一些
那我可以对她进行修正
比如说把它变成
ln(ps)=A-B/（Ts+C）
就是又引入了一个参数
然后或者是再进一步地修正
那么我们屏幕上面最后一个这表达式
它的关系要更复杂一些
它引入的参数要更多一些 5个参数
那么通过做实验
通过测量压力与温度这两个参数
然后测量一系列数据
然后把这个参数就可以确定
那么实际上在这个过程中你回想一下
这个函数的基本形式
是我们基于克拉贝龙方程来推出来的
也就是说预测它俩大概
它俩是这样一个基本的形式
然后为了这个表达式精度提高
所以我们引入一些修正系数
然后跟实验
然后通过做实验一系列的数据
然后把这些参数给它确定
这是我们第二个用途
-6-0 导引
-6-0 作业
-6-1 纯物质的热力学面及相图
-6-1 作业
-6-2 汽化与饱和
-6-2 作业
-6-3 水蒸气的定压发生过程
-6-3 作业
-6-4 水及水蒸气状态参数的确定及其热力性质图表
-6-4 作业
-6-5 水蒸气的热力过程
-6-5 作业
-第6章 章节小测验
-7-1 概述
-7-2 朗肯循环
-7-2 作业
-7-3 实际蒸汽动力循环分析
-7-3 作业
-7-4 蒸汽再热循环
-7-4 作业
-7-5 蒸汽回热循环
-7-5 作业
-7-6 热电联产循环
-7-6 作业
-7-7 燃气-蒸汽联合循环
-7-7 作业
-7-8* 高效及绿色发电技术
-第7章 章节小测验
-8-0 导引
-8-0 作业
-8-1 空气压缩制冷循环
-8-1 作业
-8-2 蒸气压缩制冷循环
-8-2 作业
-8-3 热泵
-8-3 作业
-8-4* 热泵与节能环保
-8-5 吸收式制冷循环
-8-5 作业
-8-6 其他形式制冷循环
-8-6 作业
-8-7* 制冷剂与环保
-第8章 章节小测验
-9-0 导引
-9-0 作业
-9-1 混合气体的成分
-9-1 作业
-9-2 分压定律与分容积定律
-9-2 作业
-9-3 混合气体参数的计算
-9-3 作业
-9-4 理想气体的混合熵增
-9-4 作业
-9-5 湿空气及其状态参数
-9-5 作业
-9-6 湿空气的焓及熵
-9-6 作业
-9-7 比湿度的确定及湿球温度
-9-7 作业
-9-8 湿空气的焓湿图与热湿比
-9-8 作业
-9-9 湿空气的基本热力过程
-9-9 作业
-9-10* 环保节水型冷却塔简介
-第9章 章节小测验
-10-0 导引
-10-0 作业
-10-1 研究热力学微分关系式的目的
-10-1 作业
-10-2 特征函数
-10-2 作业
-10-3 数学基础
-10-3 作业
-10-4 热系数
-10-4 作业
-10-5 熵、内能和焓的微分关系式
-10-5 作业
-10-6 比热容的微分关系式
-10-6 作业
-10-7 克拉贝龙方程和焦汤系数
-10-7 作业
-10-8 实际气体对理想气体性质的偏离
-10-8 作业
-10-9 维里方程
-10-9 作业
-10-10 经验性状态方程
-10-10 作业
-10-11 普遍化状态方程与对比态原理
-10-11 作业
-第10章 章节小测验
-11-1 概述
-11-1 作业
-11-2 热力学第一定律在反应系统中的应用
-11-2 作业
-11-3 化学反应过程的热力学第一定律分析
-11-3 作业
-11-4 化学反应过程的热力学第二定律分析
-11-4 作业
-11-5 理想气体的化学平衡
-11-5 作业
-11-6 热力学第三定律及绝对熵
-11-6 作业
-第11章 章节小测验
-期末考试
