当前课程知识点:工程力学(面向船舶工程类专业) > 模块9 轴向压缩杆件的稳定性分析 > 9-1 压杆稳定性基本概念 > 教案
【压杆稳定性概念】
在工程上轴向压缩杆件(简称压杆)是非常普遍的,如螺旋式千斤顶的丝杠、曲柄滑块机构中的连杆、桁架结构中的压杆、各种建筑物的支柱等。对于压杆(特别是细长压杆),处应考虑其强度与刚度外,还应考虑其稳定性问题。
例如,一根宽30mm,厚5mm的矩形截面松木杆,对其施加轴向压力,如图3-87所示。设材料的抗压强度极限为σb=40MPa,由实验可知,当杆很短时(设高为30mm),将杆压坏所需的压力为
若杆长为1m,则只需30N的压力,杆就会变弯,压力若再增大,杆将产生显著的弯曲变形而失去工作能力。这说明,细长压杆丧失正常工作能力并不是因为其强度不够,而是由于其轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所致,这种现象称为丧失稳定,简称失稳。这也就是前面所说的稳定性失效问题。
在此之前,我们在计算受压杆件的截面尺寸时,都以强度条件为依据的。这样计算对粗而短的杆件是正确的,但对于细而长的杆件,却不一定能保证其工作安全。因此,对受压的细长杆件,必须从保证杆件不发生稳定性失效的角度出发,建立新的失效判据和设计准则,并据此进行受压细长杆的稳定性设计。
【临界力与临界应力】
取一细长直杆如图3-88(a)所示。将其两端用铰链支坐连接(图中未画出),沿着直杆的轴线施加一个逐渐增大的压力P。当P 力很小时,直杆仍保持着直线的形状,如果说杆有变形的话,也只是其长度略为缩短了一些。这时,如果有很小的横向力Q(水平干扰力)作用于杆的中部,Q力就会使杆发生微小的弯曲变形。但这种弯曲只是暂时的,但Q力去掉后,杆经过若干次摆动(也有可能不经过摆动或有观察不到的微小摆动),仍能恢复其原来的直线形状,如图3-88(b)所示。这表明,受压杆件这时还有保持其原始直线形状的能力。我们把杆件原来的直线形状的平衡状态称为稳定平衡。
当作用在杆上的轴向压力P超过某一限度时,只要受到外界干扰,比如象前面说的那样,以Q力轻轻地推动一下,杆就不能恢复到原来的直线形状,而是在弯曲形状下保持新的平衡,如图3-88(c)所示。我们把能发生这种情况的受压细长杆原来的直线状态的平衡,称为不稳定平衡。压杆的稳定性问题,就是针对受压杆件能否保持它原来的直线形状的平衡状态而言的。
通过上述分析可以看出,压杆能否保持稳定,与压力P的大小有着密切的关系。随着压力P的逐渐增大,压杆就会由稳定平衡状态过度到不稳定平衡状态。也就是说,压杆的稳定性失效,其实质是由于杆件轴向压力的改变,引起的压杆平衡状态的改变。更具体地说,就是使压杆的轴线由原来的直线变成了曲线。我们将压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时的压力称为临界力或临界载荷,以Pcr表示。显然,当杆件所受的外力达到临界值时,压杆即开始丧失稳定。
(1)临界力的欧拉公式
当作用在压杆上的压力P=Pcr时,杆在干扰力作用后将变弯。在杆的变形不大,杆内应力不超过比例极限的情况下,根据弯曲变形的理论可以求出临界力大小为
I ----杆横截面对中性轴的惯性矩;
μ----与支承情况有关的支撑系数,其值见表3-4;
l ----杆的长度,而μl称为相当长度。
由式(3-31)可以看出,临界力与材质的种类、截面的形状和尺寸、杆件的长度和两端的支撑情况等方面的因数有关,而与所所承受载荷无关。也就是说,一个已经加工完成的杆件,其临界力值就已经是确定的了,只要外加荷载不达到这个值,杆件就会处在稳定的平衡状态。
(2)临界应力
压杆在临界力作用下,横截面上的应力称为临界应力。以σcr表示。
根据计算临界力的欧拉公式,可以求得临界应力为
式中:σcr──压杆的临界应力;
A ──压杆的横截面面积。
若以I/A=i2代入上式,则得
公式(3-32)中,i称为截面的惯性半径,而λ=μl/i称为压杆的细长比,它是一个无量纲的量。
不难看出,λ值越大,则杆件越细长;λ值越小,则杆件越短粗。因此,又可把λ称为柔度。显然,λ越大,杆越易丧失稳定,其临界力越小;反之,λ越小,杆件就不易丧失稳定,其临界力就比较大。所以,柔度λ是压杆稳定计算中的一个重要参数。
(3)欧拉公式的适用范围
因为欧拉公式是在材料服从虎克定律的条件下导出的,所以,必须在临界应力小于比例极限的条件下才能应用,即
由此可以求得对应于比例极限的柔度λ为
这样就可以用λp 来表示欧拉公式的适用范围。显然,只有当压杆的实际柔度大于对应于比例极限的柔度时,即λ≥λp时,欧拉公式才能适用。这样的杆件称为大柔度杆或细长杆。分别将A3钢、铸刚、木材的弹性模量及比例极限代入式(3-33)后,即可求得:
A3钢 λ ≥ λp =100
铸铁 λ ≥ λp =80
木材 λ ≥ λp =110
由临界应力公式(3-32)可知,压杆的临界应力是柔度的函数。若以σcr为纵坐标,柔度λ为横坐标,按公式(3-32)可画出如图3-91所示的曲线AB,称为欧拉曲线。欧拉公式的适用范围可在此图上表出。曲线上的实线部分BC是适用部分;虚线AC,由于应力已超过了比例极限,为无效部分。对应于C点的柔度即为λp。
(4)经验公式
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆,即当压杆内的工作应力大于比例极限但小于屈服极限(塑性材料)时,可应用在实验基础上建立的经验公式,经验公式有直线公式和抛物线公式等。其中直线公式比较简单,应用方便,其形式为
式中a和b是与材料性质有关的常数,其单位为Pa或MPa。
各类柔度压杆的临界应力计算公式归纳如下:
① 对于细长杆(λ≥λp),用欧拉公式
② 对于中、长杆(λs<λ≤λp),用经验公式
③ 对于短粗杆(λ≤λs),用压缩强度公式
-1-0 模块概要
--学习目标
-1-2 工程力学的概述
--教案
--教学视频:引论
-2-0 模块概要
--学习目标
-2-1 静力学基础知识
--教案
-2-2 力的投影与分解
--教案
-2-3 力矩
--教案
--教学视频:力矩
-2-4 力偶
--教案
--教学视频:力偶
-2-5 力的滑移与平移分析
--教案
-作业01:静力学基础知识
-2-6 工程常见约束分析
--教案
-2-7 构件受力分析
--教案
-2-8【实例分析】- 柴油机活塞连杆系统的受力分析
-作业02:构件的受力分析
-3-0 模块概要
--学习目标
-3-1 平面汇交力系与平面力偶系
--教案
-3-2 平面任意力系
--教案
-作业03:平面力系知识
-4-0 模块概要
--学习目标
-4-1 空间力系分析
--教案
-4-2 重心与形心分析
--教案
-作业04:空间力系
-5-0 模块概要
--学习目标
-5-1 材料变形与构件基本变形
--教案
-作业05:构件承载能力分析基础
-6-0 模块概要
--学习目标
-6-1 杆件拉伸与压缩变形特点
--教案
-6-2 拉压杆件横截面上内力分析
--教案
-6-3 拉压杆件的强度分析
--教案
-6-4 拉压杆件的刚度分析
--教案
--拉压杆件刚度分析
-作业06:杆件拉伸与压缩变形
-7-0 模块概要
--学习目标
-7-1 轴向载荷作用下材料的力学性能
--教案
-作业07:金属材料的力学性能分析
-8-0 模块概要
--学习目标
-8-1 弯曲变形特点
--教案
-8-2 弯曲变形横截面内力分析
--教案
-8-3 弯曲变形横截面上应力分析
--教案
-8-4 弯曲变形强度准则与应用
--教案
-作业08:弯曲变形分析
-9-0 模块概要
--学习目标
-9-1 压杆稳定性基本概念
--教案
-9-2 压杆稳定性设计
--教案
-作业09:轴向压缩杆件的稳定性
-10-0 模块概要
--学习目标
-10-1 圆轴扭转横截面上内力分析
--教案
-10-2 圆轴扭转强度准则与应用
--教案
-10-3 圆轴扭转刚度准则
--教案
-作业10:圆轴扭转变形
-11-0 模块概要
--学习目标
-11-1 剪切与挤压实用计算
--教案
-作业11:连接件强度
-结业考试