Newton 插值多项式（1）差商型在线视频

同学们好

我是北京理工大学的朱国庆老师

今天接着给大家来讲

插值多项式当中的第二种插值理论

牛顿插值

首先前面拉格朗日插值多项式 l1(x)

一般来说我们可以看作

直线两点式的推广

但是

直线还有另外一种写法

叫做点斜式的写法

我们把这个直线p1(x)写成f0

加上f1减掉f0 除上x1-x0

这是斜率

然后乘上x-x0的形式

那么这个里面呢

我们这个直线

把(x0，f0) (x1，f1)这两个点的形式

按照点斜式的这种写法

我们总结一下规律就是

前面f0刻画的是x的0阶项

也就是常数项的部分

后面呢

我们把x1-x0这一部分

叫做一次项部分

如果我们把两个节点

推广了三个节点

乃至n+1节点的时候

我们其实可以把这个插值多项式

改写成这样的一个形式

pn(x)等于a0加上a1(x-x0)

a2(x-x0)(x-x1)

也就是前面a0代表的是x的0次幂

a1这一部分实际上是指含有x的一次幂

当然了也有一个a1x0的 常数部分

后面a2是二次幂部分

an是x-x0

x-xn-1

其实这里面

an代表的是x的n次幂

是最高次的那个幂次

然后后面的式子

前面的那个a1一次的那个部分

在a2那个地方其实含的也有

这个里面的a j

我们都叫做待定的系数

这个a j

这里面一共是j从0一直到n

一共是n+1个

所以我们需要n+1个条件来把它确定下来

这里面条件就是xj之上

函数值是等于fj的

我们来看一下

如果我们把pn(x)这个表达式当中的x0

代入到这个表达式当中

左边是pn

x0就等于a0

等于f0了

然后我们把x1代入到第二行当中

这是一个a0

加上a1(x1-x0)等于f1

第三行是把x2代入到这个pn(x)的表达式当中

首先 我们来看

通过第一个表达式f0等于a0

我们可以把a0算出来

在a0知道的情况之下

在第二个表达式当中

a0知道 右端f1知道

左端x1-x0都知道

所以我们可以把a1算出来

完全类似的

我们知道了a0 a1和f2

那么我们还可以把a2算出来

这种计算的话

我们通过这个公式的形式写下来

大家看起来可能有一点点的啰嗦

但是有一个规律

首先第一行a0等于f0

这个是一个等式

第二行

a1等于f1-f0 除上x1-x0

这个形式其实在大家学微积分的时候

这个形式有一个说法

如果我们把(x0,f0)当作一个点

(x1,f1)当做一个点

那么f1减掉f0

我们一般来说叫做函数的改变量

也叫做函数的增量

x1-x0

我们叫做自变量的增量

也叫做自变量的改变量

那么这个a1

它等于f1-f0

除上x1-x0

其实在这个微积分当中

它叫做函数的改变量除上自变量的改变量

按照前面这个微积分当中的定义

如果x1趋近x0的话

这个其实刻画的是x0点的导数

当然了

x1不趋近x0的时候

还有一个拉格朗日中值定理的形式

那么这个其实是等于

函数f在(x0,x1)区间内的

某一个点之上的导数值

我们一般来说

这个地方我们称之为

x0在x1这个区间上的

某个点的导数的形式

点不知道的话

我们叫做平均的变化率

根据这种形式的写法

a2也可以视为

这个(x0,x2)的平均变化率

减掉(x0,x1)的平均变化率

在除上x2-x1

我们按照这种形式的写法

一般来说

我们引入一个差商的概念

其实就是平均变化率的意思

我们来看一下差商的定义

数学上说

假设函数f(x) 有一组互异的节点x0 x1 xn

我们称f(xi)-f(xj) 除上xi-xj

分子分母分别对应的位置当中

分母上是xi的话

分子是f(xi)

这种形式

我们称之为函数f(x)关于xi xj的一阶差商

其实就是xi xj

在这两个节点是互异的

我们在这两个节点区间之上的平均变化率

同样的

如果我们知道了f在xi xj的一阶差商

也知道了xj xk上的一阶差商

那么这两个一阶差商再做个减法

再除上xi-xk

我们可以定义一个xi xj xk的二阶差商

完全类似的

我们知道了x0 x1 xk-1

还有x1 x2 xk的

分别都是k-1阶差商的话

那么k-1阶差商在做减法

除上x0-xk

我们可以定义x0 x1 xk的k阶差商

我们看一下

差商

首先它具备一个叫做线性的性质

fx等于aΦ(x)+bψ(x)的话

那么f[x0,x1,...xk]就具备了

a加上Φ那个Φx做k阶差商

然后那个ψ也做k阶差商就可以了

同样的差商

是由这个函数值计算出来的

所以我们可以把差商

写成函数值的线性组合的形式

第三个

我们知道函数x 分子跟分母当中

分母当中的x i

分别对应的分子当中f(x) f(i)

那么它们交换次序

这个除法其实是不改变符号的

所以这个差商还具备一定的对称性

这里面最后一个性质

n次多项式函数

关于xi xj的一阶差商是一个n-1次的多项式

我们是这么来考虑的

假设pn(x)是n次多项式

p(x)写成pn(x)-pn(xi)的形式

仍然是一个n次多项式

当x取成xi的时候

这个p(xi)

它是等于0的

所以p(x)可以写成(x-xi)

乘上pn-1(x)的这种形式

pn[x,xi]的一阶差商就等于

pn(x)-pn(xi)除以x-xi

当然就等于n-1次的多项式了

那么关于差商

我们计算的时候

一般是采用差商表格的形式

xi 最左侧这一列

xi取x0 x1 x2 x3

那么第二列我们写成f(xi) f(x0)

f(x1) f(x2) f(x3)

那么第三列 我们可以写它的一阶差商

一阶差商呢

比如说这个f[x0,x1]的一阶差商

就是拿f(x1)-f(x0)

除上x1-x0的形式

那么f[x1,x2]的一阶差商

它是拿f(x2)-f(x1)

除上x2-x1

这是得到了它的一阶差商

然后f(x3)-f(x2)

除上x3-x2

我们定义了一个f[x2,x3]的一阶差商

完全类似的

根据一阶差商

我们还可以再来计算二阶差商

根据二阶差商

我们还可以用来计算三阶差商

牛顿插值的理论

我们可以通过差商的定义

给一个新的写法

首先

我们把f(x)写成f(x0)+(x-x0)

乘上f[x,x0]的一阶差商

这个其实是一阶差商的定义

同样一阶差商

也可以写成一阶差商 二阶差商组合的形式

其实就是把一阶差商当中的那个

f[x0,x1]用后面的二阶差商代替了

完全类似的

x x0 x1的二阶差商写成

f[x0,x1,x2]的二阶差商

后面是(x-x2)

乘上x x0 x1 x2的三阶差商

这样的话 依次代入

我们可以把f(x)写成f(x0)

加上(x-x0)

这是f(x0)和x1的一阶差商

后面是x-x0 x-x1

乘上[x,x0,x1,x2]的二阶差商

我们把前面的含有这个已知的

[x0 ,x1] [x0,x1,x2] [x0, x1,xn]的

已知节点之上的差商

这一部分单独写下来

写成N N(x)

后面有一个f(x)的差商那部分

写成Rn(x)

我们知道前面的f(x0)是知道的

然后那个一阶差商 二阶差商

一直到x0 xn的N阶差商

全都是知道的

前面这部分

我们一般来说

都叫做牛顿插值多项式

余项部分Rn(x)

就是f(xi)减掉

Nn(x)的话

那么就是它的余项的部分了

这个Nn(x)单独写出了

这个称为f(x)的n次

牛顿插值多项式

这个就是我们给大家介绍的第二种

构造插值多项式的方法

我们来看一下

第二种牛顿插值多项式的方法构造出来了之后

它的插值余项就是拿f(x)减掉Nn(x)

这就是刚才写到的那个(x-x0)(x-x1)...(x-xn)

后面一项f[x,x0, x1, xn]

这个是n+1阶的差商

这里面那个x我们是不知道的

前面那个拉格朗日多项式构造了之后

有一个叫做拉格朗日插值余项的问题

拉格朗日插值余项

前面写的是(x-x0)(x-1)

后面是(x-xn)

但是它乘的那一部分

是f函数在ξ点的n+1阶导数

然后再除上n+1的阶乘

这两个余项是不一样的

然后我们前面专门讲过

这个插值多项式

不管是拉格朗日插值多项式也好

牛顿插值多项式也好

都是给定的函数f(x)的

n+1个节点上的插值多项式

它们存在唯一性

这个Ln(x)跟N(x)是一样的

然后我们的插值余项

牛顿型的插值余项

差商的这个余项是ωn+1(x)

还有那个f在[x,x0, x1...xn]的差商

它和右边的ωn+1(x)

和这个f在ξ点的n+1阶导数

除上n+1的阶乘

这都是相等的

这样的话

我们就可以得到了差商跟导数之间的关系

x0 x1 xn

这是一个节点

它的n阶差商

它实际上就等于函数f在某个区间

[x0,xn]最大区间之内

某个点上的n阶导数值

除上这个n+1的阶乘

这里面

我们讨论这个节点的时候

这个ξ是不知道的

那么我们就没办法来进行计算了

差商表格的计算

我们一般来说是这么来写的

第一列写成xi还是x0 x1 x2 x3

然后第二列f(xi)写成f(x0) f(x1) f(x2) f(x3)

那么第三列

我们计算一阶差商

第四列我们计算二阶差商

第五列计算三阶差商

都是依次进行计算的

我们在这个差商表格的右侧再加一列

第一行写成1

第二行写成x-x0

第三行写成x-x0乘上x-x1

写成连乘积的形式了

第四行 我们写x-x0

乘上x-x1

乘上x-x2

也写成连乘积的形式

那么我们来看

牛顿插值多项式当中

那个Nnx其实就是拿f(x0)乘上1

再加上x-x0

乘上f[x0,x1]的一阶差商

然后是f[x0,x1,x2]的二阶差商

乘上(x-x0) (x-x1)

然后再加上f[x0,x1,x2,x3]

乘上x-x0 x-x1 x-x2

也就是说牛顿插值多项式

本质上而言

就是拿对角线的这个差商

也就是f(x0)是函数值

f[x0,x1]是一阶差商

f[x0,x1,x2]是二阶差商

f[x0,x1,x2,x3]三阶差商

分别乘上右端项

然后我们就可以直接构造出来

牛顿的差插值多项式了

这个是计算牛顿插值多项式最简单的方法

下面我们看看这个具体的实例

我们如果已经知道了函数的函数表格如下

我们想用牛顿方法来求ln11.5的近似值

首先构造差商表

然后第一列写xi

因为我们讨论的是11.5附近的近似值

我们取11 12 13

函数yi

我们取得是11 12 13

分别对应的这个函数值

一阶差商 二阶差商 右端项

依次进行

然后我们如果是想采用

线性的牛顿插值多项式的话

那么我们只需取前两行就行了

如果是二次牛顿插值多项式的话

我们可以取三行

线性插值的时候

拿这个2.3979记成是x11的时候

它的函数值再加上对角线部分乘上x-11

然后把x取成11.5

就是它的近似值了

同样的

二次插值的时候

我们把那个N2(x)写成a0

加上a1

乘上x-11

其实前面这个二次插值的线性部分

和上面的线性插值是一样的

然后是增加了一个-0.0035

乘上x-11 乘上x-12

那么我们把N2(x)当中的x取成11.5

就得到了这个11.5

它的二次插值的一个近似值

我们再来看一个例子

已知函数f(x)的函数表

让求四次牛顿插值的多项式

并且计算0.596的近似值

并估计误差

这里面提醒大家注意的就是

如果是用牛顿的差商型的这种写法的话

这个误差估计是有一点小问题的

同样我们做一个差商表

第一列xi 第二列yi

第三列一阶差商

第四列二阶差商

第五列三阶差商

这里面是四次多项式

所以我们还需要算到四阶差商

N4(x)具体的形式

a0加上a1(x-0.4)

然后0.28乘上(x-0.4) (x-0.55)的连乘积

然后再加上0.19733

然后(x-0.4) (x-0.55) (x-0.65)的连乘

后面是0.03134

(x-0.4) (x-0.55) (x-0.65) (x-0.8)

它的连乘积的形式

首先我们说

当N4(x)中 x取成0.596的时候

我们把它当作函数f在0.596的一个近似值

下面问题就是说计算误差的时候

我们要算的是函数f在0.596的差商型的误差

我们要把那个xi

x取成0.596

这里面实际上是制作了一个近似

这个误差

实际上就相当于在差商表格当中

再加上最后的一行0.596放到0.9下面

做它的函数值

这个函数值取得是近似值

不再是函数0.596的列值

然后算它的一阶差商

二阶差商 三阶差商 四阶差商

当然最后还有一个五阶差商

就是我们这个误差估计当中

需要的这个结果

代进去算一下

大概是0.33

乘上10的-4次方

好 这道题我们就讲到这里

这节的内容分享到此结束