复化求积公式在线视频

大家好

今天我们来学习

数值积分公式的复化

我们在做数值积分的时候

由于高阶的Newton-Cotes公式

是不稳定的

因此 不可能通过提高阶的方法来提高精度

这样的话 为了提高精度

我们通常把积分区间

分成若干个子区间

在子区间上用低阶的求积公式

这种方法称为复化求积公式

复化求积公式 它的基本的思想

实际上就是把被积函数

用分段低次多项式来做近似

我们首先来看复化梯形公式

复化梯形公式

就是把被积函数f(x)

用它的分段线性插值函数来近似

这个复化求值公式的导出是什么样子的

我们来看一下

首先

我们将积分区间ab做等分

n等分

每个小区间的长度

我们记为h等于n分之b-a

每个节点

我们就可以表示成xk=a+kh

k从0一直到n

这样的话 f在ab上的定积分

就等于f在每个小区间

xk到xk+1上的定积分

来进行求和

k从0到n-1

在每个小区间上

我们用梯形公式来做数值积分

所以f在ab上定积分

近似的就等于二分之h

f(xk)+f(xk+1)

k乘0到n-1求和

因此我们在计算的时候

就需要对每个小区间上的

区间端点的函数值来做求和

我们求和的结果是什么样的

我们来看一下这个求和的过程

首先 在第一个小区间上

我们对f(x0)和f(x1)的函数值求和

然后是f(x1) f(x2)

f(x2) f(x3)

f(x3) f(x4)

一直到最后一个小区间的端点

f(xn-1)和f(xn)

那这样的话 我们会发现

求和最终的结果

它实际上是对所有的求积节点的函数值

这样来求和

等于两个端点的函数值

f(a)+f(b)

再加上内部节点函数值的两倍

那这样的话 我们就得到

这个复化的梯形公式

即f在ab上的定积分

近似的等于二分之小区间的长度

乘上f(a)+f(b)

再加上内部节点函数值的两倍

那这个公式 我们记为

Tn(f)即复化梯形公式

我们来看一下复化梯形公式

它的截断误差

我们知道

在每个小区间上

这个时候的截断误差

实际上就是我们梯形公式的截断误差

那所以

f在xk到k+1上的定积分

减掉它的数值积分

就等于负的十二分之h的三次方

f的二阶导数

在ξk点的值

ξk 是在这个小区间xk到xk+1上的

那因此

复化梯形公式 它的截断误差

就等于每个小区间上的截断误差求和

等于负的十二分之h的三次方

f''(ξk)

k从0到n-1

现在 我们把其中的一个h拿出来

写成n分之b-a

那我们在这个

截断误差的表达式里面

就会出现这一项

就是n分之一

f二阶导数

在ξk点的值k从0到n-1

那实际上这个 就是

二阶导数

在n个节点的函数值的一个算数平均

现在 如果我们假设

被积函数f 它的二阶导数是连续的

我们根据连续函数的介值定理

即可以找到某个点ξ

属于闭区间a b

使得f在ξ点的二阶导数值

就等于n分之f二阶导数ξk

k从0到n-1的求和

那所以这样的话

我们就可以得到复化梯形公式

它的截断误差

是负十二分之b减a乘上h的平方

再乘以f的二阶导数在某一点ξ的值

那因此

我们就得到了这样的一个

截断误差的结果

就说被积函数f 如果二阶导数连续

它的

复化梯形公式的截断误差

就是负的十二分之h平方乘以b-a

f的二阶导数在某一点ξ的值

这个ξ 是属于闭区间a b的

由这个误差估计 我们可以看出来

当被积函数是二阶

导数连续的话

我们的复化梯形公式

它的极限 当n趋近于无穷大的时候的极限

就是我们的定积分

而且

数值积分收敛于定积分的阶

是h平方阶的

接下来 我们来看一下

Simpson求积公式

它的复化

所谓复化Simpson求积公式

我们就是把被积函数

用它的分段二次插值函数来代替

那实际上 我们是对这个定积分

分段使用Simpson公式

然后再来求和

即可以得到复化Simpson求积公式

现在

由于我们是在每个小区间上

使用的是Simpson求积公式

那所以我们在将区间剖分的时候

我们要把它分成偶数个小区间

那所以这里我们将

积分区间a b

等分成n=2m个小区间

步长h等于2m分之b-a

那这样的话

f在a b上的定积分

就等于它在每两个小区间上的

定积分的求和

那其中 我们对f在x2k-2

到x2k上的定积分

使用Simpson数值积分公式

那所以f在ab上的定积分

就近似的等于

六分之2h

乘上f(x2k-2)+4f(x2k-1)+f(x2k)

然后关于k从1到m来进行求和

我们来看一下

这个求和的结果是什么样子的

在对这些函数

节点的函数值求和的时候

我们是

第一个小区间是左端点加上右端点的函数值

加上中点的四倍

再加上第二个区间

求积区间

即f(x2)+f(x4)+4f(x3)

那接下来的小区间

也是左端点值加上左端点值加上中点的四倍

左端点值加上右端点值再加上中点的四倍

最后一个小区间也是

左端点值加右端点值加中点值的四倍

这样整体的求和的结果

就是对所有节点的函数值

它的求和是这样来做的

左端点的函数值f(a)

加右端点的函数值f(b)

再加上内部的所有的偶数节点 我们是

函数值的两倍求和

而对所有的奇数节点

我们是函数值的四倍求和

那所以我们即可以得到

这个复化Simpson公式

就是f在ab上的定积分近似的等于

三分之h乘上f(a)+f(b)

加上偶数节点函数值的两倍

加奇数节点函数值的四倍

那这个公式 我们就记为

复化Simpson 即Sn(f)

我们来看一下

复化Simpson求积公式

它的截断误差是什么样子的

那跟复化梯形是一样的

我们整个的复化求积公式的截断误差

就等于在每两个小区间上

Simpson求积公式的截断误差再来求和

所以它等于负的九十分之h的五次方

然后f的四阶导数在ξk点的值

k从1到m求和

同样的我们把

其中的一个步长h

把它改写成2m分之b-a

我们用这个m分之一与后面的

这m个四阶导数的求和

放在一起

那它实际上是这m个四阶导数和的

一个算术平均值

那如果我假设f是四阶导数连续的话

同样 利用连续函数的介值定理

我们可以找到某一个点ξ属于闭区间a b

使得ξ点的四阶导数

就等于

m个点四阶导数的一个算数平均

那所以我们这样的话

就可以得到

复化Simpson公式

它的截断误差 就是

负的一百八十分之b-a乘以h的四次方

f的四阶导数在某一点ξ的值

那由此

我们就可以得到这样的一个理论的结果

如果f的四阶导数连续

复化Simpson求积公式

它的截断误差

应该是负的一百八十分之b-a乘上

h的四次方

f的四阶导数

在某一点ξ的值

那由此我们可以看出来

它的误差阶 是O(h)的四次方的

根据这个定理 我们可以得到如下结论

当f的四阶导数在ab上连续的时候

我们的复化Simpson求积公式

当n趋向于无穷大的时候

就是我们的f在ab上的定积分

而且

数值积分收敛于定积分的收敛阶

是四阶收敛的

我们来看一个例子

现在我们用复化Simpson求积公式

来计算

0到1下

e的-x 的平方它的定积分

问积分区间要多少等分才能保证计算结果

有4位有效数字

首先

我们需要对这个定积分做一个积分的估值

我们可以证明

e的负x平方在0到1上的定积分

它是大于等于0.3 小于1的

也就是说 它的第一个非零数字

是在小数点后第一位

那因此为了保证它有四位有效数字

我们要求计算的时候的绝对误差

要小于二分之一乘以十的负四次方

根据复化Simpson求积公式的截断误差

我们要估计绝对误差

我实际上要

估计被积函数f

它的四阶导数在整个区间上的最大值

所以我们对f

来求它的一阶二阶三阶四阶导

然后

整个的这个求积公式的截断误差

就等于一百八十分之h的四次方

f的四阶导数在某一点ξ的值

它小于等于

一百八十分之h的四次方

它的四阶导数在整个

积分区间上的最大值

那这个最大值

我们可以求出来是20

所以这个截断误差是小于等于

一百八十分之20h的四次方

我们要让误差

小于二分之一乘以十的负四次方

由这个不等式 我们可以求出来

等分数n应该是大于等于6.87

也就是说

当我的剖分的份数

大于等于6.87的时候

就可以保证计算结果有四位有效数字

那注意到我们这里用的是

复化Simpson求积公式

我们在做等分的时候

应该做偶数等分

那因此 这里我们取n=8就可以了

那现在 我们对这个定积分

采用八等分的时候的

复化Simpson求积公式

代入进行计算

算下来的结果

是0.7468

那也是说 我们做八等分

就可以保证我的计算结果有四位有效数值

那现在我们来看一下

如果我不用复化Simpson

用复化梯形公式计算

我需要做多少等分

根据复化梯形公式的截断误差估计

我们知道截断误差是十二分之h平方

它的二阶导在某一点ξ的值

那这个值 我们估计

二阶导在区间上的最大值

它是小于等于十二分之h的平方乘以二

那我们要让它小于等于

二分之一乘以十的负四次方

由此可以解出

我们的等分数n应该大于等于57.75

也就说我们这里的等分数n 应该取58等分

才能保证有四位有效数值

那么通过这个计算结果表明啊

我们要达到相同的精度

复化Simpson

只需要做八等分就可以了

而复化梯形 需要做58等分

那因此达到相同的精度啊

用复化Simpson公式所需要的计算量

比复化梯形要少得多

这就说明了复化Simpson公式

它的精度

相对于复化梯形公式是更高的

接下来

我们讨论的是逐次分半算法

我们首先来看一下

我们为什么要讨论逐次分半算法

我们在前面给出了复化梯形公式

它的误差估计

是负的十二分之h的三次方

然后f在n个点的

二阶导数值的和

我们把其中的一个h

放到求和号里边

那就是负的十二分之h平方

Σf''(ξk) 乘上h

然后

让这个k从1到n

如果我的f的二阶导数是连续的话

我们这个求和号呀

它实际上就是近似的等于

f的二阶导数在a b区间上的定积分

因此我们可以看出来

我们复化梯形公式的截断误差

实际上近似的就等于负的十二分之h的平方

f的二阶导数

在a b上的定积分

那当然 这个时候要求n要比较大

那现在

我们把这个区间

每个小区间再给它做二等分

就是再次对分

那这时候 我们就可以得出来

当我做2n等分的时候

它对应的截断误差

这时候只需要把

n等分的时候的步长h变成二分之h就可以了

那我们得出来截断误差是负的十二分之一

二分之h的平方

f二阶导在ab上的定积分

我们可以看出来

这个时候的截断误差

它实际上是n等分的时候的截断误差的

四分之一

那由此 我们就可以得出来

定积分减掉2n等分的时候的复化梯形

除以I减掉Tn

它近似的 等于四分之一

那现在我们立刻又可以导出来

用定积分减掉T2n

就等于定积分I-Tn 再加上Tn-T2n

而I-Tn

我们知道它是近似的等于4倍的I-T2n

然后我们把它代进去

即可以得出来

I-T2n

近似的等于

三分之一T2n-Tn

我们会发现二n等分的时候的

它的截断误差实际上近似的就等于

2n等分的时候的梯形值

减掉n等分的时候的梯形值

这两个算出来的梯形值差的三分之一

那这就告诉我们

在计算的时候

实际上这个截断误差 我们可以用

前后两次计算的这个梯形值

T2n Tn的差 来估计这个截断误差

所以我们在实际计算当中

通常采取将区间不断对分的方法

即我们的等分n取2的m次方

现在我们来看一下

梯形公式的逐次分半算法

首先将区间ab做成2的m次方等分

那所以步长

我们可以记为2的m次方分之b-a

我们可以给出

2的m次方等分时候的复化梯形公式

就是

二分之hm f(a)加上f(b)

加上内部节点函数值的两倍

那这样的话

我们对于不同的m值

就可以得出来不同的一个复化梯形

数值计算的结果

那所有的这些数值结果 我们称为

梯形值序列

那在这个逐次分半的这个剖分过程当中

我们会发现

上一次剖分的节点

它实际上也是下一次剖分的节点

而且是下一次剖分的偶数节点

由这样的一个现象

我们可以给出这个

梯形公式逐次分半算法的一个递推公式

即2的m次方等分的时候的

复化梯形值就等于二分之一T的2m-1

加上新的步长hm

乘上

所有新增的节点的函数值的和

所以我们

即可以得到这样的一个递推关系

就是T2的m次方等于二分之T的2的m-1方加上hm

乘以所有新增加节点函数值的和

利用这个递推公式

我们就可以大大的减少我们的计算量

对于这种逐次分半的算法

我们给出复化梯形公式

它的余项的后验误差估计

如果被积函数f二阶导数连续的话

我们在前面给出来了

2n等分的时候的

复化梯形值的截断误差

它实际上近似等于T2n-Tn

然后再除以三

因此这时候就说明

我们可以用T2n-Tn除以3这个值

来作为我的后验误差估计

那因此

我们如果事先给定了误差限ε

那这时候

只要T2n-Tn的绝对值小于三倍的ε

我们就可以停止计算

并且我们就可以认为

T2n是满足精度要求的近似值

在实际计算当中

我们可以把这个 要求的稍微严格一点

即我们用T2n-Tn小于ε

作为我们停止的一个标准

我们再来看一下Simpson公式

它的逐次分半算法

我们现在还是将区间做2的m次等分

然后步长hm就等于b-a除以2的m次方

那这个时候的

复化Simpson的求积公式

就是三分之hm

乘上f(a)+f(b)

加上所有的

这个奇数节点的函数值

是四倍求和

加上所有偶数节点的函数值的两倍

对于不同的m 就可以得到一个

不同的复化Simpson的求积的结果

我们称S2m

为Simpson序列

对于这个复化Simpson求积公式

我们也可以得到它的后验误差估计

我们来看一下

复化Simpson求积公式

它的截断误差 是

负的九十分之h的五次方

f的四阶导数在ξk点的值

k从1到m求和

同样的

我们拿出来一个2h放到求和号里边

那这个时候

2h乘上f的四阶导数在ξ点的值

k从1到m这个求和号

它就近似的等于f的四阶导数

在ab上的定积分

那因此啊

这个复化Simpson求积公式

它的截断误差

近似的就等于负的一百八十分之h的四次方

f的四阶导在ab上的定积分

那当我的区间再次对分的时候

就是我的步长h变成了二分之h

这时候的截断误差

应该是负的一百八十分之

二分之h的四次方

然后f的四阶导在ab上的定积分

由此我们就可以得出来

这个时候的截断误差

实际上是n等分的时候的

截断误差的

十六分之一

所以我们就可以得出来

I-S2n

除以I-Sn

近似的等于十六分之一

我们由此也可以推出

定积分减掉S2n

近似的就等于

十五分之一乘上S2n-Sn

也就是说

我们可以把前后两次计算的这个

复化Simpson值S2n-Sn

给它做差 除以15

就可以作为S2n截断误差的一个估计

这种通过计算的结果

来估计误差的方法

就叫做后验误差估计

对于复化Simpson求积公式

它的后验误差估计

就应该是I-S2n

近视的等于十五分之一S2n-Sn

那因此

我们如果事先给定误差是小于ε

那这时候 只需要当

S2n-Sn的绝对值小于15倍的ε的时候

我们就可以停止计算

并且认为S2n就满足我们精度的要求

当然 实际当中

还可以

以S2n-Sn小于ε作为我们停止的标准

最后我们来看一个例子

我们来计算一个椭圆的周长

希望它的结果 具有五位有效数字

那对于这个椭圆

我们可以借用它的参数方程来进行计算

我们令x=2cosθ y=sinθ

这个椭圆的周长

利用对称性

它就等于四倍的

从0到2分之∏上面

x关于θ的导数的平方

加上y关于θ导数的平方开根号

然后关于θ做定积分

因此我们要求周长

实际上我们要求这个定积分

0到2分之∏上根号下3sinθ平方

加1

关于θ的定积分

现在令这个定积分

等于I

我们可以

通过积分估值得到I的取值范围

它是大于二分之∏ 小于∏的

那因此 我的这个

L实际上就应该是大于2∏

然后小于4∏

我们要让结果有五位有效数字

实际上只需要它的绝对误差小于二分之一

乘以十的负四次方

因为这个椭圆的周长

它的第一个非零数字是在个位数

那因此 这时候

我们只需要让我的这个I

它的绝对误差

小于八分之一乘以十的负四次方就可以了

那现在 我们利用逐次分半的梯形公式

来计算这个定积分I的值

那我们的被积函数

实际上是根号下1+3sinθ平方

我们首先是做一等分T

T1等于2分之∏乘上

两个端点的函数值

就是1+2

我们算出来是2.3561945

然后我们算T2的时候

就可以借用T1的值 利用递推公式来算

T2等于二分之一T1

加上这个步长

四分之∏

再乘以新增节点的函数值

算出来是2.4192078

这时候 我们有了T2和T1之后

我们就可以用T2和T1的

它们值的差 来做后验误差估计

那所以三分之一

我们用T2-T1的绝对值

即0.0212421

这个值

我们就可以作为

我T2计算的截断误差的一个近似

我们发现这时候的精度没有达到要求

接下来我们再对区间做对分

做四等分

即T4等于二分之一T2

加上步长八分之∏

乘上新增节点函数值的和

f八分之∏加f八分之三∏

算出来2.42210310

那这时候继续做后验误差估计

那三分之一T4

这个T2算出来是0.00072744

这时候还没有达到要求

我们就来接着计算

T8等于二分之T4加上

十六分之∏乘以新增节点函数值的和

算出来是2.42211206

用T8和T4做后验误差估计

三分之一T8-T4的绝对值

它就小于八分之一乘以十的负四次方了

比如说满足我们这个误差精度的要求

那所以这时候

我们就可以用T8的值

来作为我这个定积分的近似

因此整个椭圆的周长

近似的等于4T8

然后等于4乘以2.42211

那所以这个周长 就是9.68844

好的 今天我们的课到此结束

谢谢大家