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大家好

本次课我们学习

分子和分母的区别——直线单波束的指向性

我们将以直线阵为例

来研究单波束直线阵的

自然指向性及其波束形成技术

主要包括

直线阵的自然指向性特性

相移和时延波束形成

两个方面的内容

首先来学习直线阵的自然指向性特性

由前面的学习可以知道

一个N元等间距线阵的

归一化自然指向性函数为R(θ)

指向性图如图所示

注意该图的横坐标为sin(θ)

其相应的极坐标形式

如图

由于直角坐标系分析起来直观一点

所以我们用直角坐标系的指向性图

来分析直线阵的指向性特性

当分母中的πd∕λ倍的sinθ=±mπ

m为正整数时

指向性函数R(θ)的分子分母均为零

利用高数中学习的求极限方法

可以得到R(θ)=1

为极大值

因此可以计算出

其在sinθ轴上的位置为

sinθ=±mλ/d处

如图所示

当m=0时我们称为主极大值

m=±1时

存在左右边的第一副极大值

或称栅瓣

在sinθ=±λ/d处

可以看出两个极大值之间的距离为λ∕d

当分子中的Nπd/λsinθ=±mπ

m为大于0的正整数时

指向性函数R(θ)仅有分子为零

分母不为零

所以R(θ)=0

称为零点

其在sin𝜽轴上的位置为

sinθ=±mλ/Nd

如图所示

注意

这里小m不能取0

如取0

则为主极大值

也不能取N

如取N则为右边的第一副极大值

0到N中间的所有正整数均对应零点

因此在两个极大值之间有N-1个零点

其间隔为λ/Nd

同理可以得到

左右第一个零点分别位于±λ/Nd处

两个零点所包含的部分

我们称为主瓣

其角度的一半称为指向性半开角

用Θ/2表示

即sinθ/2=λ/Nd

可以看出

指向性半开角表征了

系统指向性主瓣的宽度

宽度越小

指向性就越好

也就是说

从提高指向性的角度而言

我们希望基阵长度Nd越大越好

这是一个非常重要的结论

希望大家能够牢记

除主、副极大值之外

还有若干旁瓣或称次极大

其具体位置为sinθ=±(mλ/Nd+λ/2Nd)

m为大于零的正整数

可以看出两个零点之间必然有一个旁瓣

因此两个极大值之间有N-2个旁瓣

我们可以手动画出N元线阵的指向性图

假设N=6

图中蓝色曲线表示指向性函数的分子部分

红色曲线表示分母部分

分子振幅是分母的6倍

分子除以分母

就可以画出其指向性图

在sinθ=0处

分子分母均为0

为主极大值处

然后取值逐渐变小

直到分子再一次为零而分母不为零时

为第一个零点

到第二个零点之间

指向的性图遵从分子的变化规律

先变大后边小

然后取0

第三个零点类似

不过由于此时分母值较大

因此该段区域取值

整体相对于前一段而言偏小一点

后续部分与前面三段对称

最右侧分子分母又为零

出现第一副极大值

因此就粗略画出了该6元阵的指向性图

可以看出两个极大值之间有5个零点

4个旁瓣

接下来

请大家思考一个问题

副极大值是否一定存在呢？

答案是不一定

因为刚才我们强调过

直角坐标系下指向性图的横坐标为sinθ

sinθ取值范围大家知道是±1

如果第一副极大值

λ/d>1

那么就不出现副极大值

大家想一想

这样的一个结论

对于系统的设计有什么意义呢

例如

该图为N=8

λ/d>1时的指向性图

可以看出并没有副极大值

左右各有3个旁瓣

右图为其相应的极坐标图

同样没有副极大值

左右两边对称

左右两侧图形均与直角坐标系相对应

掌握了线阵的指向性特性以后

我们来学习一下插入时延或相移以后

其指向性的变化规律

我们知道

为了使多元阵形成朝向预定方向的指向性

我们需要对各阵元接收信号进行

时延或相移补偿

如图所示

对于等间距的线阵而言

当在相邻阵元之间插入相移β或时延τ时

线阵的求和输出S(θ,t)变为

对Acos[ωt+n(φ−β)]进行求和

其中φ表示两阵元接收信号之间的相位差

β表示插入的相移

插入的时延 τ=β/(2πf)

变量替换

将未经相移的

直线阵指向性函数R(θ)中的φ换成φ−β

得到此时的归一化输出幅度为右式

经过前述分析

我们知道

主极大值（也就是主波束）方向

满足φ−β=0

根据相位差和方位角的关系式

我们可以得到

(2πd)/λsinθ−β=0

进而有sinθ=βλ/(2πd)

我们将此时的θ值记为θ0

则 有sinθ0=βλ/(2πd)

或θ0=arcsinβλ/(2πd)

或写成时延的形式为θ0=arcsincτ/d

该式说明在阵元间

插入不同的相移β或不同的延迟τ

可以控制主波束

或者说主极大值位于不同的方向

插入相移的方式称为相移波束形成技术

插入时延的方式称为时延波束形成技术

此时

左右第一零点位置

满足 N/2(φ−β)=±π

即指向性函数R(θ)分子为零的时候

将此时的θ值记为θ1

则有sinθ1的表达式

其中

λ/Nd是未插入相移前的零点位置

βλ/(2πd) 是零点位置的平移

正好与主极大值

在sinθ轴上位移了同一位置

同理

插入某一时延或相移后

直线阵副极大值、旁瓣以及零点

都整体平移同一数值βλ/(2πd)

平移的大小与插入的时延或相移有关

而且平移后主瓣宽度不变

但是这里要注意一下

我们这里的平移是相对于

以sinθ为横坐标的直角坐标系而言的

还要注意的一点是

相移波束形成常用于窄带系统

而时延波束形成常用于宽带系统

这是因为相移是频率的函数

而时延则可做到与频率无关

小结

本次课我们学习了直线阵的自然指向性特性

利用指向性函数分子和分母的特性

找出了其主极大值、零点、副极大值

以及旁瓣的位置

知道了两主极大值间

以及两零点间的距离分别为λ∕d和λ∕Nd

然后学习了相移和时延波束形成技术的特点

指出在直角坐标系上

波束形成技术相当于在sinθ上的整体平移

主瓣宽度不变

平移大小与插入的时延或相移有关

请大家思考

如果在θ轴上

加入时延或相移后

主瓣宽度是否仍然不变？

本次课就学到这里

再见