5.2.1 离散系统的指令响应在线视频

下面我们来看一下离散系统的性能分析

和连续系统一样

离散系统的性能也可以通过解析或者是图示的方法来进行分析

从时域或者是频域都可以进行分析

其中最基本的是从时域进行分析

我们可以考虑系统输出在任何一个时间点随输入的变化情况

这种变化可以通过差分方程直接求解获得

也可以通过脉冲传递函数求解

然后经过z逆变换得到

时域响应能够描述系统在任何一个时间的输出

可以描述系统所有分量的综合作用

是预测系统行为的基础

如果我们主要考虑某一个特殊的分量

这个时候可以考虑频率响应

它可以通过脉冲传递函数直接求解

只要把相应的频率分量代进去

无论是时域分析还是频域分析

求解方法和解释方法和连续域的分析都是一样的

关键是把s域里面的方法通过一个变量代换转换到z域

我们在前面讲过

要把变量z定义成e的sT次幂

就可以把一个连续域的传递函数采样之后转换成一个离散域的脉冲传递函数

在这里

s和z平面做了一个变换

变换的时候

它们的位置有了变化

s平面里的原点经过变量代换映射到z平面的（1,j0）点

在s平面里

当点从原点沿着虚轴的正半轴运动的时候

在z平面里

同样的点会从(1,j0)点沿着单位圆向实轴的负半轴运动

同样

如果在s平面里

我们考虑一个点沿着平行于实轴的方向向实轴负半轴运动

那么对应的点就会从(-1,j0)这个位置向原点的方向移动

离散域的分析和连续域的分析本质上是一样的

关键是要通过一个变量代换把s平面里的点映射到z平面上

我们前面讲过

通过变量z等于e的sT次幂

我们可以把一个连续的传递函数转换成一个离散的脉冲传递函数

在这种变量代换关系下

s平面里面的原点就映射到z平面的(1,j0) 这个点的位置上

在s平面里

当某一个点从原点位置沿着虚轴的正方向向上运动的时候

那么对应的点会从(1,j0)这个点沿单位圆向实轴的负方向运动

在s平面里

如果点平行于实轴向负方向运动

那么，z平面里面

就会沿着红色点的运动轨迹

从(-1,j0)点向原点的方向运动

在s平面

当点穿越实轴的时候

那么同样

z平面里的点会绕过原点回到实轴的下方

然后

我们可以看到

当蓝点沿着特定的轨迹回到原点的时候

z平面里面

红色的点也是从原点沿着单位圆再返回到(1,j0)点的位置上

利用这种映射关系

我们可以把s平面里面传递函数的一些结论推广到z平面的脉冲传递函数上

在这种映射关系当中

图上阴影部分就有了一一对应的关系

需要注意的是

在s域里面的阴影映射到z平面上

就变成了单位圆内侧的部分

而s平面上阴影沿着虚轴对称的那一部分

就映射成了z平面单位圆外的部分

在主频带里面，这种映射关系是一一对应的

但是不同的频带会映射到z平面相同的位置

所以从s平面到z平面整个的映射关系来看

这个映射不是一一对应的映射关系

为了把s平面里的矩形区域映射到某一个平面上

变成一个完整的矩形

我们也可以做另外的一种变换

就是所谓的双线性变换

考虑z和s之间的关系

把它改写一下

写成两个指数函数的除法

然后把分子和分母用泰勒展开

取低阶项

这样就可以得到s和z之间的一种近似关系

定义变量(2/T)(z-1)/(z+1)是变量w

这样我们就可以得到一个线性的映射

w会把z平面的单位圆映射成w平面里面的一个矩形区域

考虑到z平面里面的单位圆是s平面的一个矩形映射出来的

这样s和w之间就有了一个一一对应的映射关系

当然，这种映射关系只是在一定的频带范围里存在

通过不同的映射

我们可以把连续域里面图形的表示方法推广到离散域里

在w域或者是z域里面

画出脉冲传递函数的根轨迹图、伯德图、奈奎斯特图或者是尼科尔斯图

绘制方法和连续系统的绘制方法是一样的

只不过需要做相应的变量代换