3.2.3 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算——基本公式与适用条件在线视频

同学们

学习受弯构件正截面承载力计算

我们要首先弄明白其基本公式

与基本公式的适用条件

今天我们来学习正截面承载力基本公式的建立

1 基本假定

通过受弯构件正截面破坏的三个阶段的学习

我们知道了

受弯构件正截面受弯承载力计算

是以适筋梁 Ⅲa阶段的应力状态为依据

为简化计算

考虑钢筋混凝土材料的性能特点

根据规范引入基本假定

①平截面假定

加载前正截面为平面

加载后截面仍保持为平面

即截面上的应变沿梁高度为线性分布

②不考虑受拉区混凝土的抗拉强度

拉力全部由钢筋承担

③采用理想化的钢筋应力－应变关系

钢筋的应力σs等于钢筋应变εs

与其弹性模量Es的乘积

但不得大于其强度设计值fy

我们可以用公式σs=εsEs≤fy

纵向钢筋的极限拉应变εsu取为0.01

④采用理想化的混凝土应力－应变关系

当混凝土强度等级为C50及以下时

混凝土极限压应变εcu取0.0033

相应的最大压应力σ0

取混凝土轴心抗压强度设计值fc

2 等效矩形应力图形

为简化计算

按照混凝土压应力的合力大小相等

受压区合力作用点不变的原则

将其应力图形简化为

如图所示的等效矩形应力图形

即等效后混凝土受压区合力大小相等

合力作用点位置不变的等效原则

实际应力图中

从混凝土受压区边缘到中和轴间的距离是xn

为混凝土实际受压区高度

等效矩形应力图形中的x

为混凝土计算受压区高度

简称受压区高度

x和xn之间的关系

我们可以这样表达

x=β1xn

fc为混凝土轴心抗压强度设计值

α1为受压区混凝土

等效矩形应力图的应力值

与混凝土轴心抗压强度设计值的比值

受压区应力σ0=α1fc

α1的取值可通过混凝土受压区

等效矩形应力图系数β1

α1查表得出

则我们由应力图可列出

混凝土压应力合力C=α1fcbx

钢筋拉应力合力T=Asfy

3 基本公式

结构计算基本原则中

按承载能力极限状态设计时应满足S≤R

即荷载效应设计值

应该小于等于结构抗力设计值

对受弯构件正截面承载力计算而言

荷载效应设计值S即为设计弯矩M

结构抗力R对应截面所承受的抵抗弯矩Mu

即应满足

M≤Mu

由图所示等效矩形应力图形

根据静力平衡条件

并引入M≤Mu条件

可得出单筋矩形截面梁正截面承载力

计算的基本公式

α1fcbx=Asfy

这个公式所表述的含义是

混凝土受压区压应力的合力等于

混凝土受拉区纵向受拉钢筋拉应力的合力

这个公式是由静力平衡关系得出的

第二个和第三个基本公式

我们可以通过力矩平衡关系得出

它们分别是

M≤Mu=α1fcbx（h0-x/2）

或M≤Mu= Asfy（h0-x/2）

这两个公式所表达的分别是

混凝土受压区压应力的合力

对受拉区拉应力合力点曲距

和我们受拉区钢筋拉应力的合力

对混凝土受压区压应力合力点的曲距

式中M表示的是

荷载在计算截面上产生的弯矩设计值

Mu表示的是正截面受弯承载力设计值

fc表示的是混凝土轴心抗压强度设计值

fy是钢筋抗拉强度设计值

也可以查表求得

b为截面宽度

x为计算受压区高度

As为受拉区纵向受力钢筋的截面面积

h0为截面有效高度

4 基本公式的适用条件

上述基本公式是根据适筋梁的应力图形

建立起来的

只适用于适筋受弯构件

不适用于超筋构件和少筋构件

因此规范规定

任何受弯构件必须同时满足下列两个适用条件

1 不发生超筋破坏的条件

那么我们得知道

适筋梁与超筋梁的界限

这里引出一个概念

相对界限受压区高度ξb

我们比较适筋破坏和超筋破坏

前者始于受拉钢筋屈服

后者始于受压区混凝土被压碎

理论上

二者间存在一种界限状态

即所谓界限破坏

这种状态下

受拉钢筋达到屈服强度

和受压区混凝土边缘达到极限压应变

是同时发生的

我们将受弯构件

等效矩形应力图形的混凝土

受压区高度x与截面有效高度h0之比

称为相对受压区高度

用ξ表示

适筋梁界限破坏时的受压区高度

与截面有效高度之比称为相对界限受压区高度

用ξb表示

那么

ξb就可以用来衡量构件破坏时钢筋强度

能否充分利用的一个特征值

若ξ＞ξb

构件破坏时受拉钢筋不能屈服

表明构件的破坏为超筋破坏

若ξ≤ξb

构件破坏时受拉钢筋已经达到屈服强度

表明发生的破坏为适筋破坏或少筋破坏

因此为防止超筋破坏

应满足 ξ≤ξb 或

x≤ξbh0

2 不发生少筋破坏的条件

适筋梁与少筋梁的界限

是截面最小配筋率ρmin

为防止发生少筋破坏

应满足 ρ≥ρmin

或 As≥As

min＝ρminbh

式中ρmin表示的是

梁的纵向受力钢筋的最小配筋率

As min表示的是

梁的纵向受力钢筋的最小截面面积

少筋破坏的特点是一裂即坏

为了避免少筋情况

必须控制截面配筋率

使之不小于某一界限值

即最小配筋率

混凝土规范规定梁的配筋率不得小于ρmin

实用上的ρmin往往是根据经验得出的

我们可以通过查表根据不同构件类型

确定其最小配筋率的取值

ρmin≤ρ≤ρmax的梁为适筋梁

ρ＞ρmax的梁为超筋梁

ρ＜ρmin的梁为少筋梁

同学们

以上即是单筋矩形截面适筋梁的基本公式

与适用条件

请大家课后理解掌握

这节课我们就讲到这里

下节课再见

谢谢大家