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欢迎同学们回到电磁暂态在分析的课堂

下面讲第33讲

行波的小波变换

当输电线路上在某一点发生故障的时候

电磁暂态以行波的形式向两边移动

行波的故障特征

可以由行波分量之间的折反射系数来进行决定

行波是一种具有突变性质

非平稳变化的高频暂态信号

随着各种行波陆续到达母线

行波出现“突变”

分别标志着故障发生

行波中故障点到检测母线往返一次的时间

其次突变的幅值取决于故障发生时刻

故障点初始值的大小

以及线路的折反射系数和行波的衰减特性

另外突变的极性

取决于故障发生时故障点初始电压的极性

和波阻抗的间断性质

行波的极限特点有来自故障点的反射电压

电流行波和初始行波同极性

线路两端的初始电压或者电流行波同极性

对应于来自母线方向的正向行波

和来自故障线路方向的反向行波

它们的初始行波和反射行波具有相同的极性

从故障检测的角度看

从实际的故障后数据中

提取出上述特征是非常困难的

因此准确刻画

和正确提取输电线路的行波故障特征

是构成行波测距和行波保护的基础

常规的Fourier变换 求导数法等

传统的数学方法

不能完整地描述既具有频率特征

又有时间特征的暂态行波信号

暂态行波的故障特征

从刻划到提取一直碰到困难

小波变换是一种时域分析方法

适用于暂态行波的分析

也可作为故障行波特征刻划和提取的数学工具

实际信号由多种频率的分量构成

当信号尖锐时

需要有一个短的时间窗口

为其提供更多的频率信息

当信号变化平缓时

需要一个长的时间窗口

来描述其信号的完整性

对信号进行时频分析常用的方法

是窗口Fourier变换

窗口Fourier变换

无法满足这种灵活多变的要求

因为窗口Fourier变换的窗函数的大小

和形状是固定不变

小波变换就能满足这种需求

小波变换方法

是1910年Haar提出的第一个小波规范正交基

从1984年法国人Morlet和Grossman

提出连续小波变换概念

以及1986年Meyer创造性地构造出

具有一定衰减性的光滑函数

以正交小波函数开始

使小波变换得到了快速的发展

1987年Mallat提出了多分辨的分析方法

奠定了统一构造小波函数的基础

同时给出了小波分解和重构的Mallat算法

使小波变换的工程应用更加容易

在1988年

Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基

小波分析的系统理论得到初步建立

小波变换的核心是基小波

基小波是指函数在整个实数域上

既属于可测 平方可积的希尔伯特空间

又满足其傅立叶变换在ω=0处

其值为0

可以由这样一个式子来进行表述

由基小波的伸缩和平移所生成的函数族

被称为连续小波

可以由这样一个公式来表示

在公式里a称为尺度因子

b称为平移因子

对于f(x)可以进行连续小波变换

然后得到它的一个变换的结果

小波变换的卷积积分

可以由这个式子来进行表示

同时也可以对小波进行频率变换

得到它的频率的表达式

如果已知了小波变换的结果

我们可以实现小波重构

来重构它的时域的一个波形

这种信号可以表示为小波分量的叠加形式

这是一些常用的小波

Haar小波是这种矩形的形式

Morlet小波是一种振荡的形式

Mexican Hat小波

它是一个像墨西哥的草帽一样有一个高点

这是Daubechies小波

用一个很复杂的振荡的形式

我们前面所说的小波都是连续小波变换

一维信号作连续小波变换生成二维信号以后

其信息有冗余

并且在实际应用中

要采用计算机进行处理计算

所以必须对小波进行离散化

也就是所谓的离散小波变换

我们可以取a等于a₀ᵐ

b等于nb₀a₀ᵐ

这样的话

前面的小波变换

就可以由这样一个式子来进行变换

在模式识别和信号的奇异性检测中

二进小波变换被广泛的应用

因为其具有平移不变性

所谓的二进小波变换

就是只对尺度参数a进行二进离散

而平移参数b保持连续变换

也就是说取a等于1/2ʲ

这样的话

小波变换可以用这样一个式子来表示

其中小波函数

可以用这样一个公式来进行描述

小波变化的另外一个概念是模极大值

所谓小波变换的模极大值

就是f(x)的小波变换在尺度s下

在x₀的某一领域δ内对于一切x

都满足这样一个式子

都是小于这样一个值

因此称x₀为小波变换的模极大值

Wₛf(x₀)为模极大值

小波变换模极大值的物理意义

它的模极大值点原始信号

与该尺度下的小波最相关

对于电力系统暂态信号

小波变换的模极大值

能直观简单地表示暂态信号的突变点

也就是说能直观地表示出

每一次前行波反行波和到达的时刻

我们已知了这些到达的时刻

就能够很容易地得到故障点到

两端的变电站的距离

所谓行波的小波变换

表示就是使用一个被称为基小波的函数

来表示不规则变化的暂态行波

设行波电压电流为f(t)

基小波为ψ(t)

则行波的小波变换可以写成这样

小波变换模极大值可以完整地表述原始信号

而且可以通过其模极大值重构原始信号

模极大值的变化规律及特点

可以表征行波故障特征

小波变换模极大值

可以清楚地表示出输电线路发生故障后的

各种暂态行波的故障特征

初始行波来自于故障点的反射波

来自于相邻线路末端母线的反射波

来自于故障线路对端母线的反射波

以及噪声分量

在小波变换下都将出现模极大值

另外一个概念是小波的能量

小波基为一组正交基时

信号经小波变换后

得到不同尺度下频率分量的总能量

和等于原信号的能量

因此通过小波多尺度分解后

可以得到不同尺度所占的能量

并通过不同尺度所占能量的比例

来对信号进行处理

j尺度下的能量公式可以用这样一个公式表示

dⱼ(k)为j尺度下高频分量系数

N为j尺度下高频分量系数个数

其与信号长度相关联的

这是一个行波的小波变化的结果

上面是它的原始的波形

下面是它的模极大值

可以清晰地刻画出

多次折反射波出现的时间的位置

另外我们可以用小波变换对故障短路引起的

暂态小波来进行分析

这是短路故障时候的故障的波形

和对应的模极大值

这是雷击引起的暂态小波的特征

假设雷击在1ms时刻发生

经过0.1ms传播到了测点

测点行波在此时刻发生突变

对应于小波变换的一个模极大值

时刻为1.1ms

反射回雷击点的波

再经过0.2ms的延迟

又回到测点

极性与初始波相反

折射向同塔双回线的波

经过0.4ms的延迟后再次到达测点

极性与初始波相反

这是三种状态下

暂态小波的能量谱 包括了B相绕击的故障

A相的反击故障

以及B相短路故障

可以看出在不同的故障类型下

它的小波能量谱是完全不同的

所以说我们也可以

通过能量谱来分析所出现的故障的类型

也就是用能量谱来构建不同故障的指纹特征

这就是这些内容

谢谢大家