视频在线视频

欢迎大家

继续回到电磁暂态分析的课堂

今天我们讲第7讲

计算波过程的网格法

我们先来看一个情况

三段输电线路构成的一条线路

左边是第一段

它的波阻抗是Z₁

中间是Z₀

右边是第二段

它的波阻抗它是Z₂

所以它们有两个交点1和2

当一个电压波u(t)沿着左边的线路

传到1点的话

它会产生折射和反射

它的折射波继续沿着输电线的传播

而到达了第2点

到第2点的时候

它又产生折射和反射

它的对应的折射系数是α₂

反射系数是β₂

在第1点的折射系数是α₁

它的反射系数是β₁

当这一个波从第1点传到第2点的时候

它经过了一个τ的时间

所以说波形它的时间就变成了t-τ

就相当于它有一个时延

对于这一个前行波在这一点它又会产生反射

要乘上β₂这个反射系数

也就是α₁乘以β₂乘上u

它到了这第1点又产生反射

所以当它到达第1点的时候

它的时间经过了2τ

所以在这个时候它就变成了u的(t-2τ)

在这一点它又乘上一个反射系数

一个反射波

又反射回去到第2个节点

当它到了第2个节点的时候

它的经过了3τ

所以说它的时间变成t-3τ

好

我们把这一个第2点的所有的前行波相加

那就得到它的第2点的电压

我们发现当它的时间是趋于无穷的时候

第2点的电压是等于2倍的Z₂除以Z₁加Z₂

乘上我们施加的一个电压E

你可以看出中间Z₀在这地方是没有放映的

就是说在一个无穷长的直角波的作用下

经过多次折返射

最终得到的稳态值

只是由线路1和线路2的波阻抗决定

和中间线段的存在与否是没有关系的

网格法的基本的原理是什么

我们刚才看到网格法是对传输线

按照波的折射和反射来进行分析的

那自然有一个问题

输电线路的里面和一个电网络

它有电感和电容这种集中参数

它不是线段

在这种情况下怎么计算呢

网格法的核心就是将集中参数的电感和电容

用无损等值线段来描述

这样的话

整个网络就变成了由线段构成的网络

可以按照波的折反射来进行分析了

而对于集中参数的电阻

如果串联在两个线段之间

在计算节点折射反射系统的时候

会把电阻考虑进去

如果是结在节点和地之间

可以用波阻抗等于电阻值的无穷长线路来代替

就是说没有从末端返回的反射波

首先我们来看看

怎么把一个电感变成一个线段

根据波阻抗的定义

它是等于根号L除以C的

另外波在导线上的传输的时间是等于根号LC

由这两个式子我们可以得到

等值之后的电感对应的线段的

波阻抗是等于L除以τʟ

τʟ就是波在电感上经过的时间

我们发现由于把它等值成线段之后

必然会产生一个对地的电容

它的总电容是等于多少

等于τʟ除以Zʟ

所以说用线段来近似等效电感的话

会多出一个对地电容

这个电容我们希望它是越小越好

才能使它的计算更加精确

也就是说

我们必须要较小的τʟ或者是较大的Zʟ

看看怎么把电容怎么等效成线段

同样的话

我们可以得到电容对应的波阻抗

Zc是等于τc除以C

τc就是我们假定的波在电容上经过的时间

同时由于等效成线段之后

它也会带来一个附加的电感

等于Zc乘以τc

这个电感它也是需要它越小越好

所以我们综合电感等效成线段

和电容等效成线段的情况来看

要满足它的附加的电容或者附加的电感越小

核心就是要使它波在电感上经过的时间

和波在电容上的时间尽量小

也就是说这个时间最小是多少

就是我们计算时的Δt

也就是Δt越小的时候精准度就越高

在一些电路分析中

我们也可以将一个有限长度的线段

等效为电感或者电容

如果线路的波阻抗小

我们可以用电容来表示

如果波阻抗大

我们可以用电感来表示

我们来看一看网格法的应用

两条无穷长的线段

中间接入一个有限长的线段

就是我们最开始介绍的

其中Z₁ Z₂是等于500欧

Z₀是等于50欧

它的波在中间这个线段经过的时间是一个微秒

侵入波是一个单位的阶跃电压波

我们用网格法把中间线段等值为

集中参数的方法来分别计算节点2的电压

这是用网格法计算的结果

可以通过它的叠加来表示

另外我们也可以用

前面介绍的Bergeron特征线法来进行计算

最终得到结果

用这个图来进行表示

这个光滑的线是用Bergeron特征性法来表示的

而折线是由网格法来计算得到的

有个有意思的问题

哪根线是它真实的波过程呢

实际上真实的波过程是折线

和一个光滑的曲线都是我们理论计算的结果

实际的波过程并不是光滑的线

而是这个折线

是波的一次次叠加产生的

对于中间这个Z₀不同的情况下

Z₀如果是一个电容

或者是一个电感

或者是一个大的波阻抗的线段

或者是一个小的波阻抗的线段

1点和2点的折射系数 反射系数有不同的组合

对上面两种情况

中间串了一个电感和并联一个电容

就会发现它的波头

会慢慢的削弱慢慢的增加

而对于下面两种接了线段的情况下

它产生的是一个沿着轴线震荡的波形

在第一种情况下

它的震荡的幅度是很大的

右边这种情况它震荡的幅度是比较小的

也就是说由于这种参数的大小不同

最终产生的折射波的情况是完全不一样的

对于网格法如何实现数字计算呢

网格法的数字计算它要定义三个矩阵

一个是传播时间常数矩阵

一个是折射系数矩阵A和反射系数矩阵B

对于传播时间常数矩阵来说

它的对角元素自己到自己的时间肯定都是为0的

而对于折射系数

自己跟自己的折射就是1

而反射是没有反射的

所以B的对角元素都是0

如果两个节点之间是没有联系

在这图里面用叉表示

表示它们之间是没有联系的

有了这三个矩阵

我们就可以还原它整个系统的波过程

看看这个图

对于这一个发电厂出来的单根传输线

传到一个变电站2

变电站2跟变电站1

和4相连构成了一个环路

这样一个等值的电路

我们很容易得到它的T A跟B三个矩阵

不过现在的传播时间

我们必须是时间长的整数倍

所以说我们在取Δt的时候尽量小

让它能够被整除

所以时间都是一个整数倍

电源波可以按照时间步长的间隔

划分为直角波

发生在每一个时间间隔上的电压差

以阶跃增量的形式施加在网络上

另外要合理的选取时间步长

时间步长的话应该尽量的小

来确保等值线段代替集中参数

C跟L时有足够的精度

另外进行暂态计算时

为了节省时间

我们也不能选择太小的时间步长

所以说有一个折中的考虑的时间步长

然后我们要计算传播时间

假设τ₃₂是等于4

就表示3点的电压波

到达2点时

它的侵入电压波是

经过了一个4μs的这样一个时差

有4μs的时延

所以就变成e(t-4)

另外我们也可以计算它的折反射波

一个电压波uij从节点i传到

节点j产生的折射波

可由矩阵A的元素αij计算得到

也就是ui是等于αij乘以uij括号t减τ

该电压波向和节点i相连的其它线路传播

由节点j向节点i发出的反射电压波是等于

βij乘以uij(t-τ)

网格法计算的一个重要内容就是分支时间表

它的横坐标是表示时间步长

它的纵坐标表示的是节点

节点的话它有输出

输出就表示这个节点在某一个时刻的对应的电压

以及这个节点跟它相联系的节点

以前面的电路为例

它的节点1是2跟4相连

所以1到2 1到4

我们看看在零时刻

在3节点的话施加了一个电流

这个3节点经过了4个时间步长

到了第2个节点

第2个节点接着

又过了两个时步到了第1节点

这样的话

我们就可以用这样一个分支时间表

可以清晰的描述

波的折反射的一个传播的过程

那么来看看网格法

它会有一些什么特点

网格法它的原理非常简单

但实际上它的求解很繁杂

计算工作量也很大

所以说网格法适宜于

计算上一些简单的网格的波过程

另外它也适于讲解波过程的理论

可以清晰地了解一个波在一个网络中

是如何进行传播的

这一讲就到这里

谢谢各位同学