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回到电磁暂态分析的课堂

今天我们讲第9讲

有耦合电路的电磁暂态计算方法

对于实际系统来说

非耦合元件只是普遍存在的

有耦合元件的近似处理

实际上存在着许多

相互之间有电磁耦合的集中参数元件

如变压器的绕组之间的电磁耦合

电路中的电容

还包括对地电容 互电容等

当用集中参数电路模拟多导线分布参数线路时

电路中不仅有电感耦合

而且还有电容耦合

所以我们有这样一个问题

有耦合的电感和电容电路

它的电磁暂态是否还可以采用

无耦合时的方法呢

对于一个电感的耦合电路

左边是一个两个支路的耦合电路

右边是一个三个支路的耦合电路

不管是两个支路还是三个支路还是多个支路

我们很容易都可以写出它的方程

但是这里跟我们前面介绍的不一样

所有的这里的元件电感也好

节点的电压也好

电流也好

它都是一个矩阵

而不是前面的单个的元件了

这就是跟前面的最大的不一样

也就是说我们在前面的方程中

相当于把这些变量都把它涂黑了

当电路无耦合时候

它就变成了n个独立的微分方程

相互之间没有联系了

有耦合时

如果L是平衡矩阵

即具有相同的对角线元素Ld

和相同的非对角线元素Lod

我们对于电感耦合的电路

这个方程可以进一步推导

可以得到从k点到m的电流的表达式

它是等于两端的电压除以Rʟ

Rʟ是等值电阻的矩阵

就是说电感矩阵除以Δt乘2

然后再加上它的一个等值的电流源

这个就是等值电流源的递推公式

也可以说它由历史时刻的等值电流源

以及历史时刻的节点电压来进行求解

好

对于电感耦合的电路

很容易在导纳矩阵中来进行添加

通过计算机辅助分析

可以在导纳矩阵里把元件添加进去

这样的话

我们就把一个电感矩阵

变成了由一个电阻矩阵

与电流源矩阵并联的一个等值电路

如果我们把这个矩阵展开

可以看出两条支路的等值电路是什么样

对于两个支路的电感耦合电路

它可以看成是两个单独的电感

对应的Bergeron特征线法推导的等值电路

然后在它的节点之间添加了一个相联系的电阻

它的k点跟m点之间 k点跟k点之间

都添加了这样一个等值的电阻

在对角线上添加的是正的

在同名端k₁跟k₂之间

m₁跟m₂之间添加的是一个负的

同样的话

对于三个耦合支路电感的话

那它的等值电路就更加复杂一些

基本思路还是三个独立的电感的等值电路

然后在它的节点之间穿插了这种相联系的电阻

电容耦合电路在电力系统也是经常遇到

像绝缘子串

它可以看成是一个具有复杂的电容串并联

另外和地之间有杂散电容

和高压端也有杂散电容电路

还有一个更加复杂的现象就是线路避雷器

线路避雷器内部的氧化氢压敏电阻

它是一个大的电容

所以说它本身内部有一个很复杂的电容的分布

同时在它边上的绝缘子串

它们之间又有一个复杂的耦合的电容

所以它构造了一个非常复杂的耦合电容

这样一个等值电路

同样对于电容耦合电路

我可以得到它的Ik是等于CdUk/dt

这里我们假设是把电容接到地之间

这样的话它每一个节点之间是存在负电容

它的电容C是满阵

我们可以用梯形积分来求解

可以得到一个通过电容的电流

它是等于Uk除以Rc再加上一个等值电流源

电容C的暂态电阻矩阵它是

Δt除以2再乘以一个电容矩阵的逆来构成

另外它的等值电流源

也可以得到它的一个递推公式

跟前面也是一样的

我们可以看看

如果k点在地之间接了一个等值电流源

对于单个的话我们知道

它就是一个电阻和一个等值的电流源

如果对于有三个支路的电容的耦合电路

那就是相当于三个电容

对地之间的一个等值电路

然后在k点之间接了一个联系的电阻

因为它是同名端

它都是负的

负电阻是

负导纳也是

这个矩阵

我们可以对总的大的Y矩阵的形成的话

我们可以用机辅分析来很容易的把它添加进去

如果是一个有耦合的电感和电阻串联的电路

就是一个R串了一个L

就相当于一个R的矩阵串了一个L矩阵

在这种情况下

其实我们也可以推导出一个它的等值电路来

它的等值电路就是一个

电阻矩阵S与一个等值电流源矩阵的并联

这个S等于什么

S等于R加二倍的L除以Δt

看看另外一种情况就是接地网时变模型

如果我们在接地体上面施加一个冲击电流

它就会在接地体周围产生瞬态电场

当电场超过土壤的临界击穿场强时

土壤就会被击穿

产生火花放电

冲击电流的频率越高

接地体本身电感作用就非常明显

就会阻碍导体的运动

你也可以看出当雷电的作用下

靠近注入端的话

土壤的火花放电强

越靠近远端的话

它的火花放电是弱的

呈现这种锥形的形状

好

对于这种形状我们前面也已经介绍过

对于不同的位置

它等值的半径是不一样的

就是火花放电的半径不一样

也就是说它是一个变参数的

损耗传输线的模型

对于一个接地网来说

它的不同的导体段之间

它还会存在负电阻

负电感和负电容

我们有公式可以直接把这些负电感 负电阻

和负电容进行计算可以得到

然后得到它的一个最终的等值电路

这里我们留一个思考题

电导与电容并联时

用非兼容特征线法求出它的

数值计算的等值电路以及数值计算的公式

这一讲就到这里

谢谢各位