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欢迎各位同学

回到电磁暂态分析课堂

我们接着讲第10讲

均匀换位平行多导线计算方法

这节课我们要解决一些问题

单导线的方法是否适合于平行多导线

导线均匀换位作为前提会带来一些什么好处

再就是如何进一步理解波在传播过程中的畸变

平行多导线系统由于导线之间具有电磁联系

因此多导线线路上的电磁暂态过程

通常不能孤立的看成是

相互独立的单根导线上的暂态过程

那单根导线的计算方法是否适合于多导线呢

我们来看看平行多导线的波动方程

我们知道这是平行多导线的一阶偏微分方程

因为导线之间存在电磁耦合

所以单位长度的电感矩阵和电容矩阵

都是n阶的满阵

另外每个元素都是实数

我们可以进一步推导

得到它的二阶偏微分方程

对于电压的二阶偏微分方程

右边的系数是LC

等于电流的偏微分方程它的系数是C乘L

一个有意思的问题

我们知道

电阻和电感矩阵它都是一个实对称矩阵

LC是不是等于C乘L呢

之前所述电感和电容它的参数矩阵

LC都是实对称矩阵

如果在线路均匀换位情况下

LC都属于平衡矩阵

因此它的乘积也是平衡矩阵

在这种情况下

LC是等于C乘L的

但是实际线路只能有限换位

均匀换位只是一种近似

因此均匀换位假定为了方便

多导线线路波过程计算

一般情况下LC都是对称矩阵

但它不是平衡矩阵

因此LC是不等于C乘L的

也不是对称矩阵

更不是平衡矩阵

所以对非均匀换位线路来说

它的电压和电流的波动方程是不同的

另外我们在低压及电子系统连接电缆

也可以处理为平行多导线

如果采用扭绞线可视为平衡线路

否则应该视为不平衡的线路

对于平行多导线的电磁暂态的计算

最常用的方法是模变化方法

又叫相模变化方法

什么叫相模变化呢

它的核心是利用矩阵特征值和特征向量的原理

采用矩阵进行相似变换

把波动方程中的LC和CL转化为对角元素

这样的话

波动方程就变成了

n个互相独立的模量上的波动方程

所以相模变换的实质就是说

我们把目前所在的相域通过矩阵变换

变换到模域里面去

在模域的话

它是一个独立的波动方程

然后计算结果再反变换到时域里面去

这就是相模变换的原理

对于模量上的独立的波动方程

我们可以采用求解单导线

波过程的Bergeron特征线法

求解时分别求解每个模量

得到模量上的波动方程

然后再反变换到向量

得到向量上的波过程的解

这样我们要设定一个变换矩阵

U等于S乘以Um

m是表示模量

也就是说相域里面的电压就等于

S乘上模域里面的电压

同样的话

相域的电流I是等于Q乘Im

关系式带到我们前面的波动方程

我们就可以得到模量上的波动方程

所以模变换就是要选取合适的模变换矩阵

S和Q对矩阵乘积LC和CL

分别进行相似变换

使它成为一个对角阵

根据矩阵的特征值和特征向量的原理

电压对角化和电流对角化的矩阵

它的对角元素分别是LC和CL的特征值

变换矩阵S和Q

它的第i个列向量分别对应于电压的对角阵

和电流的对角阵的第i个

对角线元素的特征向量

如果向量之间是线性无关的

这样的话

我们就可以把它从相域转换到模域里面

实现平行多导线的对角化

模变换后它就变成了

n个独立的多导线的波动方程

变换矩阵与线路的参数有关

线路是否均匀换位

对它的影响是非常大的

我们来看看平衡线路的模变换后的一个矩阵

我们假设P是等于LC乘以CL

对于均匀换位线路

它的电压变换矩阵和电流变换矩阵是相同的

是S等于Q

就是说我用一个矩阵就可以使

LC和CL同时实现对角化

就是使电压的波动方程和电流的波动方程

都能够实现对角化

所以我们前面假设平衡线路是非常关键的

这样的话

我们就可以根据特征值跟特征向量的原理来求解

对应的特征值以及特征值对应的特征向量

来构成变换矩阵S

我们来看看它的特征值有什么特点

我们可以得到P矩阵的特征方程

通过求解之后会发现P一共有n个根

它的第一个根是Pd加n-1乘Pod

Pd就是它的对角元素

Pod就是它的非对角元素

其它n-1个根都是相同的

等于Pd-Pod

也就是说它实际上只有两个根

我们再进一步来看它的特征向量有什么特点

对于第一个根 我们可以列出这样一个方程

如果要满足这个方程的话

我们发现它的各列元素必须相同

第二个根是它对应的矩阵

方程是这样

我们发现剩余的列向量中的所有元素之和

当它等于0的时候才能满足矩阵的要求

这样可以看出它的变换矩阵就不是唯一的

我们有很多个矩阵都同样满足这两个条件

如我们常用的对称分量法

分零序 正序和负序三个分量

这是这样一个S矩阵

a是等于e的j120度

对称分量变换矩阵

在三相交流稳态计算中经常采用

计算上比较方便

它的正序 负序 和零序就是三个不同的模量

但是它的算子a是复数

它使计算更复杂化

在暂态计算中我们一般不采用

另外一种常用的是α βClarke变换

以及0 γ δ的变换矩阵

还有一种比较通用的Karenbauer变换矩阵

它的一个特点就是

第一行跟第一列它的元素等于1

其它的对角元素等于1-n

剩下的所有的元素都是等于1

它的变换矩阵也很有特点

大家都可以看出它的第一行还是等于1

第一列也都是等于1

它的其余的对角元素等于-1

剩下的元素等于0

所以对于三相线路

我们可以得到Karenbauer的变换矩阵S

这样一个矩阵

可以看出它的结构上更为简单

实际计算中被普遍采用

我们对均匀换位线路的模变换

得出一些有实际意义的结论

均匀换位线路可采用相同的电压变换矩阵

和电流变换矩阵S=Q

对线路参数来说

它的乘积LC=CL进行相似变换

得到对角化

任何平衡矩阵都可以选取固定的变换矩阵S

经过相似变换使之对角线化

变换矩阵与平衡矩阵的具体参数是没有关系的

另外它的变换矩阵不是唯一的

也有很多个矩阵都满足它的这样一个条件

我们来看一看

0 α β变换矩阵

这是它的S的逆的一个表达式

这样的话它模量中的

0模量im₁是等于什么呢

im₁是等于ia加ib加ic除以3

它的α模量和β模量是等于什么呢

一个是等于ia减二倍的ib加ic除以6

另外一个是ia减ic除以2

那我们来看看这些模量会有什么特征

对于它的0模量你可以看出它是

ia加ib加ic除以3

它是以什么为回路

它必须以地构成回路才能够回去

所以说它是一个地中模量

α和β模量的话

它都可以与其它的相构成回路

例如im₂

它可以a相 c相都与b相构成回路

im₃它是a跟c构成回路

这样的话它是空中模量

它的传播参数是与大地无关的

而前面的地中模量

它的参数是与大地有关的

这样的话平衡线路上的波速度也有两个

一个是地中模量的波速度

它相对速度会比较慢

一个是空间模量的波速度

它的波速度会很快

这样的话

我们来看一个500千伏的均匀换位的输电线路

这是它的模量下的波速度

两个模量的波速度以及它的模量上的波阻抗

因为模量上各方面的传播速度是不同的

因此在传播中它不同的分量

到达两公里处的时间有先后

我们可以看出它就会产生一个时延Δt

这个时延Δt有多少呢

经过两公里之后

它们会产生1.85微秒的这样一个时间差

这样的话它不同的模量到达的时间不一样

合成之后它的波形就是一个什么样子

就是我们前面介绍过的

它就相当于波上面打了一个折一样

空间模量跑得快

地中模量跑得慢

所以说它就形成了一个滞后的波形

这样的话 这个波形就是一个畸变

也就是说我们从

地中模量和空间模量的传播速度

也可以理解这个波的畸变现象是怎么产生的

这里有一个思考题

埋在地中的变电站接地系统

可以看作平行多导线系统

简述如何建立其数值分析模型

这节课就到这里

谢谢各位同学

电磁暂态分析课程列表:

01电磁暂态分析简介

-视频

-第一次电磁暂态分析作业

02波过程理论

-视频

-第二次电磁暂态作业

-第一次电磁暂态讨论

03波的衰减与变形

-视频

-第三次电磁暂态分析作业

04平行多导线系统的参数计算

-视频

-第四次电磁暂态分析作业

-第二次讨论

05大地及导体的趋肤效应计算方法

-视频

-第五次电磁暂态分析作业

-第三次讨论

06电磁暂态计算方法

-视频

-第六次电磁暂态分析作业

07计算波过程的网格法

-视频

-第七次电磁暂态分析作业

08计算波过程的特征性法

-视频

-第八次电磁暂态分析作业

-第四次讨论

09有耦合电路的电磁暂态过程计算方法

-视频

-第九次电磁暂态分析作业

-第五次讨论

10均匀换位平行多导线计算方法

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-第十次电磁暂态分析作业

-第六次讨论

11非均匀换位平行多导线计算方法

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-第十一次电磁暂态分析作业

12相模变换等值电路

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-第十二次电磁暂态分析作业

13开关操作电磁暂态计算方法

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-第十三次电磁暂态分析过程

14电弧特性及模型

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-第十四次电磁暂态分析作业

15非线性元件的计算方法

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-第十五次电磁暂态分析作业

16变压器的电磁暂态模型

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-第十六次电磁暂态分析作业

17互感器的电磁暂态模型

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-第十七次电磁暂态分析作业

18发电机的电磁暂态模型

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-第十八次电磁暂态分析作业

19讲电力电子器件的电磁暂态计算模型

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-第十九次电磁暂态分析作业

20讲频变参数线路:频域方程法

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-第二十次电磁暂态分析作业

21讲频变参数线路:Marti模型

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-第二十一次电磁兼容作业

22讲频变参数线路:z变化方法

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-第二十二次电磁暂态分析作业

23讲电缆的电磁暂态计算

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-第二十三次电磁暂态分析作业

24讲时域有限差分法:均匀传输线

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-第二十四次电磁暂态分析作业

25讲时域有限差分法:频变参数

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-第二十五次电磁暂态分析作业

26讲时域有限差分法:非均匀传输线

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-第二十六次电磁暂态分析作业

27Chebyshev多项式方法

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-第二十七次电磁暂态分析作业

28有外界电磁耦合的传输线

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-第二十八次电磁暂态分析作业

29雷电在传输线上的感应电压

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-第二十九次电磁暂态分析作业

30智能算法:基模参数辨识

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31智能算法:时频双内插方法

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32智能算法:矩阵束方法等

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33行波的小波变换

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-第三十三次电磁暂态分析作业

34行波故障测距

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-第三十四次电磁暂态分析作业

结课考试

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