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我们接着讲第10讲
均匀换位平行多导线计算方法
这节课我们要解决一些问题
单导线的方法是否适合于平行多导线
导线均匀换位作为前提会带来一些什么好处
再就是如何进一步理解波在传播过程中的畸变
平行多导线系统由于导线之间具有电磁联系
因此多导线线路上的电磁暂态过程
通常不能孤立的看成是
相互独立的单根导线上的暂态过程
那单根导线的计算方法是否适合于多导线呢
我们来看看平行多导线的波动方程
我们知道这是平行多导线的一阶偏微分方程
因为导线之间存在电磁耦合
所以单位长度的电感矩阵和电容矩阵
都是n阶的满阵
另外每个元素都是实数
我们可以进一步推导
得到它的二阶偏微分方程
对于电压的二阶偏微分方程
右边的系数是LC
等于电流的偏微分方程它的系数是C乘L
一个有意思的问题
我们知道
电阻和电感矩阵它都是一个实对称矩阵
LC是不是等于C乘L呢
之前所述电感和电容它的参数矩阵
LC都是实对称矩阵
如果在线路均匀换位情况下
LC都属于平衡矩阵
因此它的乘积也是平衡矩阵
在这种情况下
LC是等于C乘L的
但是实际线路只能有限换位
均匀换位只是一种近似
因此均匀换位假定为了方便
多导线线路波过程计算
一般情况下LC都是对称矩阵
但它不是平衡矩阵
因此LC是不等于C乘L的
也不是对称矩阵
更不是平衡矩阵
所以对非均匀换位线路来说
它的电压和电流的波动方程是不同的
另外我们在低压及电子系统连接电缆
也可以处理为平行多导线
如果采用扭绞线可视为平衡线路
否则应该视为不平衡的线路
对于平行多导线的电磁暂态的计算
最常用的方法是模变化方法
又叫相模变化方法
什么叫相模变化呢
它的核心是利用矩阵特征值和特征向量的原理
采用矩阵进行相似变换
把波动方程中的LC和CL转化为对角元素
这样的话
波动方程就变成了
n个互相独立的模量上的波动方程
所以相模变换的实质就是说
我们把目前所在的相域通过矩阵变换
变换到模域里面去
在模域的话
它是一个独立的波动方程
然后计算结果再反变换到时域里面去
这就是相模变换的原理
对于模量上的独立的波动方程
我们可以采用求解单导线
波过程的Bergeron特征线法
求解时分别求解每个模量
得到模量上的波动方程
然后再反变换到向量
得到向量上的波过程的解
这样我们要设定一个变换矩阵
U等于S乘以Um
m是表示模量
也就是说相域里面的电压就等于
S乘上模域里面的电压
同样的话
相域的电流I是等于Q乘Im
关系式带到我们前面的波动方程
我们就可以得到模量上的波动方程
所以模变换就是要选取合适的模变换矩阵
S和Q对矩阵乘积LC和CL
分别进行相似变换
使它成为一个对角阵
根据矩阵的特征值和特征向量的原理
电压对角化和电流对角化的矩阵
它的对角元素分别是LC和CL的特征值
变换矩阵S和Q
它的第i个列向量分别对应于电压的对角阵
和电流的对角阵的第i个
对角线元素的特征向量
如果向量之间是线性无关的
这样的话
我们就可以把它从相域转换到模域里面
实现平行多导线的对角化
模变换后它就变成了
n个独立的多导线的波动方程
变换矩阵与线路的参数有关
线路是否均匀换位
对它的影响是非常大的
我们来看看平衡线路的模变换后的一个矩阵
我们假设P是等于LC乘以CL
对于均匀换位线路
它的电压变换矩阵和电流变换矩阵是相同的
是S等于Q
就是说我用一个矩阵就可以使
LC和CL同时实现对角化
就是使电压的波动方程和电流的波动方程
都能够实现对角化
所以我们前面假设平衡线路是非常关键的
这样的话
我们就可以根据特征值跟特征向量的原理来求解
对应的特征值以及特征值对应的特征向量
来构成变换矩阵S
我们来看看它的特征值有什么特点
我们可以得到P矩阵的特征方程
通过求解之后会发现P一共有n个根
它的第一个根是Pd加n-1乘Pod
Pd就是它的对角元素
Pod就是它的非对角元素
其它n-1个根都是相同的
等于Pd-Pod
也就是说它实际上只有两个根
好
我们再进一步来看它的特征向量有什么特点
对于第一个根 我们可以列出这样一个方程
如果要满足这个方程的话
我们发现它的各列元素必须相同
第二个根是它对应的矩阵
方程是这样
我们发现剩余的列向量中的所有元素之和
当它等于0的时候才能满足矩阵的要求
这样可以看出它的变换矩阵就不是唯一的
我们有很多个矩阵都同样满足这两个条件
如我们常用的对称分量法
分零序 正序和负序三个分量
这是这样一个S矩阵
a是等于e的j120度
对称分量变换矩阵
在三相交流稳态计算中经常采用
计算上比较方便
它的正序 负序 和零序就是三个不同的模量
但是它的算子a是复数
它使计算更复杂化
在暂态计算中我们一般不采用
另外一种常用的是α βClarke变换
以及0 γ δ的变换矩阵
还有一种比较通用的Karenbauer变换矩阵
它的一个特点就是
第一行跟第一列它的元素等于1
其它的对角元素等于1-n
剩下的所有的元素都是等于1
它的变换矩阵也很有特点
大家都可以看出它的第一行还是等于1
第一列也都是等于1
它的其余的对角元素等于-1
剩下的元素等于0
所以对于三相线路
我们可以得到Karenbauer的变换矩阵S
这样一个矩阵
可以看出它的结构上更为简单
实际计算中被普遍采用
我们对均匀换位线路的模变换
得出一些有实际意义的结论
均匀换位线路可采用相同的电压变换矩阵
和电流变换矩阵S=Q
对线路参数来说
它的乘积LC=CL进行相似变换
得到对角化
任何平衡矩阵都可以选取固定的变换矩阵S
经过相似变换使之对角线化
变换矩阵与平衡矩阵的具体参数是没有关系的
另外它的变换矩阵不是唯一的
也有很多个矩阵都满足它的这样一个条件
我们来看一看
0 α β变换矩阵
这是它的S的逆的一个表达式
这样的话它模量中的
0模量im₁是等于什么呢
im₁是等于ia加ib加ic除以3
它的α模量和β模量是等于什么呢
一个是等于ia减二倍的ib加ic除以6
另外一个是ia减ic除以2
那我们来看看这些模量会有什么特征
对于它的0模量你可以看出它是
ia加ib加ic除以3
它是以什么为回路
它必须以地构成回路才能够回去
所以说它是一个地中模量
α和β模量的话
它都可以与其它的相构成回路
例如im₂
它可以a相 c相都与b相构成回路
im₃它是a跟c构成回路
这样的话它是空中模量
它的传播参数是与大地无关的
而前面的地中模量
它的参数是与大地有关的
这样的话平衡线路上的波速度也有两个
一个是地中模量的波速度
它相对速度会比较慢
一个是空间模量的波速度
它的波速度会很快
这样的话
我们来看一个500千伏的均匀换位的输电线路
这是它的模量下的波速度
两个模量的波速度以及它的模量上的波阻抗
因为模量上各方面的传播速度是不同的
因此在传播中它不同的分量
到达两公里处的时间有先后
我们可以看出它就会产生一个时延Δt
这个时延Δt有多少呢
经过两公里之后
它们会产生1.85微秒的这样一个时间差
这样的话它不同的模量到达的时间不一样
合成之后它的波形就是一个什么样子
就是我们前面介绍过的
它就相当于波上面打了一个折一样
空间模量跑得快
地中模量跑得慢
所以说它就形成了一个滞后的波形
这样的话 这个波形就是一个畸变
也就是说我们从
地中模量和空间模量的传播速度
也可以理解这个波的畸变现象是怎么产生的
这里有一个思考题
埋在地中的变电站接地系统
可以看作平行多导线系统
简述如何建立其数值分析模型
这节课就到这里
谢谢各位同学
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