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下面我们接着讲

电磁暂态分析课程的第11讲

非均匀换位平行多导线的计算方法

对于不换位的多导线线路

它的电感和电容的参数会有什么特点呢

它们都是对称矩阵但不是平衡矩阵

如同我们前面所述

LC又不等于C乘L

这样的话对于它的相模变换

就不能采用固定的模变换矩阵

我们也不能采用相同的电压变换矩阵

和电流变换矩阵来使LC和C乘L对角化

但是我们可以证明

在这种情况下S等于Q的逆的转置

当它满足这个条件的话

它可以同时使LC跟C乘L对角化

对于不换位线路来说

它的模变换矩阵和线路参数有关

而线路参数又随频率变化

所以原则上不换位线路的模变换矩阵

也是和频率有关的

这样的话对应用模变换方法

进行线路暂态计算的话造成了困难

但对于不换位线路

只要它的频率大于50赫兹

就可以发现它的变换矩阵基本上和频率无关

对于无损多导线线路经过模变换后

得到了模量上的波动方程

成为n个互相独立的无损单导线波动方程

对于有损的多导线线路

一定频率下的波动方程

可用复数参数矩阵来表示

求解不变换线路的模变换矩阵的方法有两个

一个是在时域中进行

先假定线线路是无损

时域中得到模变换矩阵以后

在模量上面插入它的电阻参数

其次是在复域中直接进行求解

实域中求解模变换矩阵

可以采用雅可比方法

通过一系列的平面旋转正交变换

把对称矩阵A化为对角阵D

即对角线元素又是对称矩阵的特征值

一系列旋转变换矩阵的乘积

得到的矩阵X就是我们的变换矩阵

X就会使一个对称矩阵A实现对角化

变换矩阵X的列向量Xi为相应的特征向量

不换位线路LC不是对称矩阵

因此我们不能直接运用雅可比方法

我们要通过参数矩阵的分解处理

简化为求对称矩阵特征值和特征向量的问题

也就是说矩阵的广义特征值的问题

我们可以证明

线路参数矩阵L和C都是正定矩阵

对于定实对称矩阵L

可以进行平方根分解

L等于H的转置乘上H

式中H为非奇异的上三角阵

然后我们可以列出它的特征值

跟特征向量之间的关系式

然后进一步化解

在它的左边同时乘上H

我们可以得到这样一个方程

在这种情况下我们可以看出

λi它不仅是C乘L的特征值

同时也是HCH的转置的特征值

HQi是举证HCHT相应的特征向量

如果电容参数C是实对称矩阵

我们可以有HCHT的转置是等于HCHT

也就说它的转制是等于它的本身的

这样就证明了HCHT是一个对称矩阵

也就证明了矩阵C乘L

和对称矩阵HCHT有相同的特征值

我们只要计算得出

对称矩阵HCHT的特征值λi

和相应的特征向量Xi并构成变换矩阵X

则λi也是矩阵C乘L的特征值

而对应的特征向量为Qi等于H的逆乘上X

这样的话

电流的模变换矩阵可以表示为

Q等于H的逆乘以X

所以说用Q对CL

作相似变换可以得到对角化矩阵

其次我们可以在复数上进行求解

写出它的二阶微分方程

对于它的电压和电流的变换矩阵S和Q

带进去之后我们可以得到

模量里的阻抗矩阵是等于S的逆Z乘Q

模量里的导纳矩阵是等于Q的逆乘Y乘S

对于不是一种模量的二阶微分方程

如果我们取S等于Q的逆的转制

经过相似变化后

可以得到同样的对角阵

也就是说

在这种条件下

可以使这两个方程都能够对角化

在模量上就变成了互相独立的方程

复数一种求解的难点是

原则上对角化的元素S Q模量上的阻抗矩阵

模量上的导纳矩阵都是复数矩阵

给模变换方法直接运用到暂态中带来一定困难

我们的解决方法就是对不换位线路

把电流变换矩阵Q定时转化为实对称矩阵

用复数求特征值特征向量的方法

对YZ进行相似变换

得到复数的电流模变换矩阵Q

然后计算得到模量上的导纳参数矩阵Ym

复数对角阵

好

我们来看看

对于模量上的导纳矩阵的第i个元素Ymi

它实际上相当于是一个复数

也就是说它跟G轴有一个夹角θi

然后我们可以做一个旋转

把这个Ymi旋转之后

到纵轴上面去变成一个纯的虚数

它的旋转角是90度

减一个θi就变成了一个纯的虚数

所以在复数域中

求解不换位线路模变换矩阵的步骤是

首先求出

复数变换矩阵YZ的特征值和特征向量

构成它的复数模变换矩阵Q

计算出模量上导纳参数矩阵Ym

Ym一般为复数对角阵

求出各列对角线元素相应的相位角θi

然后计算旋转因子Di形成对角阵D

计算得到旋转以后的模变换矩阵Qʀ

去掉数量级很小的虚数部分

就可以近似得到实数的模变换矩阵

好

我们来再看看在相模变换之后

模域里面的电感矩阵和电容矩阵

实际上模量上的电感参数矩阵和电容参数矩阵

我们可以证明它都是对角阵

也就是说

模量上和线路参数之间是没有电磁联系的

所以模量上的偏微分方程和均匀换位线路一样

经过模变换以后以上偏微分方程

就变成n个互相独立的模量上的线路方程

各个模量分别有自己的线路波速度和波阻抗

如果我们略去导线对地和线间的电导

考虑电阻损耗

多导线线路相量中的偏微分方程

就变成了这样一个方程

R为线路相量中单位长度的电阻参数矩阵

然后模变换之后

我们就发现模量上的电阻矩阵是什么

是S的逆乘R乘Q

我们对于一个实际的线路来进行分析可以发现

如果线路是均匀换位

对于模量上的电阻矩阵

它的非对角元素都是为0

如果是不换位

会发现它的非对称元素不是为0的

但是值相对于对角元素是很小

我们也可以略去

也就是说模变换之后

它的模量它的电阻矩阵

实际上不是一个完全的对角化

它们之间还有很小的电磁耦合

但是我们可以忽略不计

好

这一讲就到这里

谢谢各位同学