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下面我们接着讲电磁暂态分析的第21讲

频变参数线路

Marti模型

线路的特性阻抗Zc等于根号

Z除Y的

在这里

电阻和电感都是频变参数

而线路条件已知后

RL可精确计算

因此针对具体的线路

特性阻抗Zc也是事先知道的

这是它电阻和电感的频率变化曲线

这是特性阻抗的零序模量的幅值

和相角频率变换的特性

这是它的正序模量的幅值

和相角频率变换的特性

特性阻抗Zc是如何进行等值的呢

我们可以采用网络综合的技术

采用R、L、C元件搭建一个网络

使它的阻抗频率特性

与Zc（ω）是完全相同的

实际计算时

我们只能知道Zc在各个频率点的离散值

因此首先需要找出一个有理函数

来模拟Zc（ω）

我们可以在复频域选择一个函数

Zeq(s)与这个公式所表达

可以令这样一个函数

具有如下的性质

H是一个正实数

该式零点和极点个数相同

该式的零点和极点都是负实数

并且是一阶的

这样定义的Zeq(s)能够满足

能够满足Zc（ω）的边界条件

当ω趋近于0的时候

Zeq是等于

这样一个表达式

它是一个正实数

当ω趋近于无穷

它的Zeq是趋近于H的

它也是一个正实数

因此H的物理意义就是

当频率趋近于无穷时的一个值

也就是等于

根号L除以C

我们可以对Zeq的幅值

取dB作单位的对数

为了研究频率特性

令s=jω

上式右端第一项是常数

与频率无关

现在以第二项来讨论

其余各项性质均相同

右端第二项表达式

20log|jω+z1|

当ω远远大于z1时

它的极值时20logω

如果将logω看作变量

20logω就代表一条直线

假定角频率ω2比ω1增大了10倍

这条直线的增量是多少呢

就是20dB

也就是该直线具有20dB

每10倍频的斜率

在这频率的每一项

都是已知斜率的直线

每增加一个零点

该直线斜率增加20dB每10倍频

并转入下一段直线

每增加一个极点

该直线斜率减小20dB/10倍频

并转入下段直线

所以每一个转折点

正是所需要寻找的零点或极点的位置

也就是zi和pi的值

我们可以把z1表达式展开

写成这样一个式子

第一项是电阻

其余后面所有项都是一个阻容的并联回路

阻容回路我们可以推导

得到R0的值是等于

ω趋近于无穷的值

也就是说k0

另外它的Ri是等于ki除以pi的

Ci等于ki分之一

这样的话

我们就可以把这样一个特性阻抗

等效为一个阻容的一个链

根据前面前反行波权函数得到的等值电路

如果能找一滤波网络Zeq

与线路特性阻抗具有相同频率特性

然后我们再对e的-γl反变换

以便在时域进行卷积得到等值电流源

就可以把频域等值电路变换到时域

对前、反行波权函数做一个简化

将R1换成Zeq=Zc

则A2=0

A1=e的-γl

Bk=Fme的-γl

Bm=Fke的-γl

A1的物理意义是什么呢

假设我们令Fm=1

则Bk=e的-γl=A1

A1又是m点

相对于k点或k点

相对于m点的权函数

则a1(t)就是前行波的单位冲激响应

如果是理想线路

a1(t)只是一个延时函数

如果是一个真实线路

线路参数又是频率的函数

a1(t)就展开成一个尖峰形状

这是因为冲激函数包含全部频率分量

每一分量的波速和衰减

又各不相同的缘故

因此我们只使用a1(t)来进行卷积

要比前面所述两种权函数方法

更为简便而准确

得出Zc(ω)等效网络后

下一步就需要计算等值电流源Ikh

Imh或是等值电压源

也就是需要计算Bk或者是Bm

对于k点

已知Bk=Fme的-γl

通过卷积变换到时域

当t小于τ时

m点的前行波还不会到达k点

因此t<τ时a1(t)=0

为了求解这个卷积积分

我们来介绍一下递归卷积积分

假设有以下形式的函数进行卷积

如果已知f(t)在T和T+△t时刻的数值

则s(t)可以根据前一时步的值

按照以下公式来进行递推

也就是说

我们可以不进行复杂的积分

而用递推的方法来求解s(t)

式中m、p、q都是常数

由已知卷积函数中的k、a值来确定

△t是计算步长

如果能将函数A1（ω）表示为有理函数

展开为部分分式

并变换到时域以后

权函数a1(t)必然成为许多指数项之和

对a1(t)进行卷积

就化为对每一指数项进行卷积

然后求和

而这就恰好

适合使用递归卷积积分

因此问题又集中到

对A1（ω）的拟合上

我们将已知a1(t)在t<τ时等于零

我假设一个函数p

使p(t-τ)=a1(t)

也就是说p(t)与a1(t)形状相同

只是有了一个时间τ的位移

根据傅里叶变换的时移性质

在频域中有这样一个表达式

因此拟合A1（ω）变为

对p(ω)进行拟合

将拟合函数反变换到时域

再根据p（t-τ）=a1（t）

就可以确定函数a1（t）

为什么要采用这一步呢

采用这一步主要是为了改善计算精度

令Pa（s）

与p(ω)的复频域有理函数近似

有这样一个公式

我们把它展开

它的相应的时域方程就变成这样的表达式

这里u(t)是单元阶跃函数

在求得pa(t)后

由p(t-τ)=a1(t)就可得到

a1(t)的近似表达式

正是递归卷积所要求的形式

下面介绍特征阻抗的计算

输电线路特征阻抗Zc(ω)

已经由R-C并联网络来近似等效

R-C并联电路

又可以应用Bergeron法处理为

只有电阻的网络

然后我们可以得到这样等值电阻源表达式

最后我们可以把前面的合并起来

可以得到一个

传输性考虑它的频率特性之后的一个表达式

左边是一个等值电压源表达式

右边是一个等值电流源表达式

它在形式上与理想线路的模型完全相同

可以直接应用Bergeron法的

电磁暂态通用程序来进行计算

这一讲就到这

谢谢各位