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回到电磁暂态分析的课堂

今天我们讲第30讲

智能算法基模参数辨识

这一讲和后面的两讲

构成了一个智能算法的体系

在这一讲我们要解决两个问题

如何实现快速的电磁暂态计算

如何用较少的计算获得全局的计算结果

整个电磁暂态分析向解决大型 复杂系统

宽频带的系统响应的方向发展

逐场点 逐频率的计算模式

计算工作量非常大

已不能满足工程计算需要

现在电磁场的暂态计算要求

高效 智能 精确 实时

通过改进数值计算方法

使用高效的算法

应用人工智能技术

成为了发展的一个重点

它可以大幅度节省存储空间

提高效率

减少人工干预

更大程度地满足实际应用需求

电磁暂态智能算法

就是利用已经算出的一部分的频率响应

和/或时域响应

外推或内插

得到其它频率或其它时间的响应

达到节省计算时间的目的

说得明白一点

就是一个高级的参数拟合

智能暂态算法有两个方面内容

一个是准确的计算模型

将研究系统转化为物理模型和数学模型以后

采用相应的电磁暂态计算方法

来计算系统的部分想要的结果

常用的方法有Bergeron特征线法

时域有限差分

有限元法 矩量法等

第二个方面

是拟合模型

利用第一步计算的结果

合理地内插或者外推

其它未被计算的系统响应

从而实现只利用简单的计算和较少的资源

来完成大规模计算系统响应的目的

所以对于电磁暂态的智能算法

一是准确的计算模型

在消耗计算资源不太大的条件下

我们要强调计算模型的准确

而对于拟合模型

在满足一定精度要求的前提下

强调计算方法的速度

这里我们重点介绍一些

内插外推的一些数字算法

这是整个内插外推的算法的一个图

通过Maxwell方程

我们有差分方程或者积分方法来进行计算

然后有频域法 时域用法 空域法和谱域法

来解决这些问题

然后智能算法

它就包括单变量的系统和多变量的系统

这样通过这种拟合

我们来最终得到一个全局的电磁场的数值计算

第一种方法是基模参数辨识方法

简称为MBPE

它的英文是Model-Based Parameter Estimation

过去的纯数学的数值计算

往往容易脱离系统的响应的本质特征

而基模参数辨识避免了纯数学上数值计算的弊端

它是基于一种所要解决问题的物理概念的

智能曲线的拟合技术

MB基模 它是建立在基于研究问题的

物理概念上的拟合模型

PE辨识是通过建立的模型

和研究数据的抽样值相匹配

而获得的模型的参数

常规的电磁暂态的波形都是这种衰减振荡波

可以由电阻电感电容组成的网络

以及能够转变为电阻网络的复杂导体来表征

它的响应的时间波形

都是这种衰减振荡波的形式

对于这种衰减振荡波

它的波形可以看成

是由n个间隔的时间采样的计算结果

连线而成

这是它的一个在时域的采样的一个结果

这里i就是采样点

我们可以计算出

所要求的Rαi和Sαi

也就是说这个方程里面的系数

你可以得到系统响应的近似解析解

但是我们这里看出未知量Sα存在于指数中

在求解过程中需要通过变量代换来间接求解

基模参数辨识

通过构造多项式的方法

来实现系统参数的求解

我们构建这样一个多项式

这个地方用Xα来代表指数项

如果等式右边的叠加项有P项

则表达式里面共有有2P个未知量

所以我们至少需要列出2P个方程来进行求解

但是方程中有未知量相乘

所以说不利于求解

我们得想办法把它们来分离来简化计算

假设已知通过采样

或者仿真计算得到的D个数据

这样的话

我们就会有f(0)

一直到f(D-1)的这样一个表达式

然后我们可以构造一个多项式

A它的变量是X

这样的话

它可以看作是X-Xα的一个多项式的

相乘的结果

你可以把它展开

就是等于a₀加a₁X一直加到aₚ的Xᴾ

可以看出Xα就是这个方程的解

这样的话

我们可以得到这样一个方程组

通过这个方程组的话

可以看出它的系数f(0)一直到f(D)

都是通过采样得到的

是已知的

但是由于上述方程为齐次方程组

这方程组的解不是唯一的

我们需要定义一个a向量的边界条件

一般来说

我们常用的边界条件

为多项式最高次项系数为1

也是假设AP等于1

这样的话

我们可以重新列出这样一个方程

然后我们可以求解

就可以得到这个 a

a₀一直到aₚ的值

这样的话它就是唯一的

一旦获得a向量以后

通过求解A(X)=0

就可以获得X₁到Xα的值

进而根据X和s的变换关系

我们就可以得到s₁一直到sα

最后将X₁到Xα代入可以求到R₁到Rα

需要注意的是

基模参数辨识

是采样或仿真序列的时间间隔

必须是定值

另外如果我们已知某个时刻的n阶导数

同样可以类似采用基模参数辨识的方法

来进行处理

这里就不再详述

基模参数辨识在频率中的应用更加广泛

我们可以有理逼近在频域上来写出它的表达式

F(s)它可以上面是一个和式

下面是一个和式

我们这里边界条件设定为D₀等于1

所以说D₀项就变成了1

把这个方程进行展开

可以通过已经计算出来的某些频率点的值

或者测量得到的某些频率点的响应

来计算系统中2n+1个参数

把这个方程进行求解

一旦参数求得

我们就可以建立模型可以用来内插和外推

得到其它频率下的系统响应

这是某天线的输入导纳

与频率的关系曲线的拟合效果

x点是采样点

这种虚线是线性拟合

采用线性拟合的话

它只能通过这些采样点

而采用基模参数辨识之后

这种系统中存在的峰都可以拟合出来

而采用线性拟合是没法求得的

下面我们介绍频空两域的基模参数的应用

如果考虑空间位置的时候

在频率中的变量就变成了4个

所以F就是4个变量的函数

多维基模参数的方法

可以在一维基模参数辨识的方法上来进行扩展

首先我们考虑二维的问题

假设这个F是s跟θ它的函数

就增加了一个θ的这样一个量

这样的话

这里面的所有的N跟D的系数

都可以再写成一个θ的函数

这样带到里面的话

二维的问题

就包含了(n+d+1)k个未知量的

一次方程

然后我们进行采样就可以进行求解

再增加两个变量之后

就变成了四维的基模参数辨识问题

同样可以列出它的方程

在这里共有

n加d+1乘上m+1乘上l+1乘上p+1个

位置量

我们得到这么多的采样点

同样很容易的可以把这些系数都能够求出来

经过参数辨识的话会存在一些问题

在频率计算中

通过矩阵求逆获得的系数的模型参数

矩阵中的元素为频率的乘方

如果采样点的频率的数量级相差比较大的话

此系数矩阵极有可能成为病态矩阵

使得系统模型的求解变得不稳定

因此我们可以与Neville算法相结合

来改进基模参数变数

Neville差值算法它采用迭代的方式进行

并且每一次迭代都给出一个误差矫正

使其值更接近于真实值

而且程序实现起来也非常灵活方便

假设P₁是通过点x₁ y₁

在x处的值

所以P₁是等于y₁的

同样我们可以定义P2 P3等

所以说我们从这个图可以看出

由这些不同位置的点

可以得到P₁ P₂一直到Pɴ

由P₁ P₂呢

下面我们可以推到得到P₁₂

由P₂ P₃可以推导得到P₂₃

这样的话我们递推就可以由P₁₂ P₂₃

进一步推导P₁₂₃

这样一步一步推导

可以从左边推到右边

就相当于一个遗传一样

左边是你们的祖先

右边是你

就从这祖先一代一代传输过来

到了你这一个位置

所以Neville算法

就是以子女和它的双亲之间来的关系为基础的

我们可以给出它的这样一个表达式

来描述这样一种关系

同时我们增加了一个改进

来记录下它的双亲与子女之间一个细小的差别

用一个C跟D的这样一个纠正项

这是它的一个表达式

在每次插值多项式升高一阶的时候

采用C和D进行矫正

最终的答案

P₁到ɴ等于

任意yₗ加上一组C或者D的一个和式

并形成了一条家族世系谱的

这样一个最右端的子女的路径

根据Neville算法的思想

Bulirsch和Stoer找到一种

实现有理函数递推的方法

也就是C的表达式和D的表达式

然后我们可以根据已有采样点的计算结果

递推得到带求点x的值

另一种改进方法是矢量拟合

根据系统响应的频率采样点

可以获得系统响应的临界点

如这个公式所示

上面和下面都是一个相乘的格式

但是这里aₘ是在分母的位置

通过点匹配很难求得

这种方法的中心思想便是通过添加变量

将需求点的变量转移到分子

所以说定义了这样一个σ的函数

可以看看

在分子中含有aₘ

第一项是aₘ花号

aₘ花号的话

它是一组初始设定的极点向量是任意设定的

这样的话可以把σ跟F相乘

就可以消除

S-aₘ这一项就变成了这样一个式子

然后可以把它展开

变成这样一个求和式

可以令上一次得到的系统的频率响应的极点

aₘ作为下一次的初始值

极点的aₘ花

这种做法可以使得计算出的极点

不断的逼近真实的极点

另外矢量拟合目前

还不能将频域与空域的差值结合起来

对于基模参数辨识方法

我们可以结合

Neville算法的有理函数递进

矢量拟合在频域中的拟合性能来进行改进

这个图给出了不同方法的比较

可以看出

矢量拟合在稳定性和外推大量采样点来说

都具有较好的性质

但是在频空双内插它是不太行的

好 以上就是这讲内容

谢谢