当前课程知识点:Finite Element Method (FEM) Analysis and Applications > 2、Finite element method of bar system based on direct stiffness method > 2.4 An example of a four-bar structure > Video 2.4
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下面基于前面讲的有限元杆单元的基本的原理
来进行一个四杆结构的实例分析
我们分两个方面
一个就是用理论推导
完整地把四杆结构的有限元分析展示一遍
后面呢,我们再基于ANSYS平台
再进行相应的ANSYS平台上的一个实例
软件的实现的一个过程的分析
我们看一下这个四杆结构
现在是一个平面的四杆结构
这是它的长度,这是高度
我们对它进行一个编号
1号节点、2号节点、3号节点、4号节点
那么这个单元呢我们也进行一个编号
这是1号单元、2号单元、3号单元、4号单元
我们也可以看出来
1号节点呢,它有X方向Y方向上的约束
2号节点呢,有一个Y方向的约束
4号节点也一样,有X方向和Y方向上的约束
外力分别作用在2号节点的X方向
还有3号节点的Y方向上
整个结构呢,大家的弹性模量都是一样
同样,这个四杆结构的横截面面积大家都是一样
那首先我们对这个结构进行离散化和编号
那我们把刚才的编号列成一个表
我们就可以分别看出来,对于1号单元
它是1号节点和2号节点组成
2号单元是由3号节点、2号节点组成
同样,3号单元、4号单元也有相应的对应的节点
那我们把每一个节点的坐标分别进行编号
给出相应的坐标
同样呢我们也把每一个单元它的长度给出来
同样也把它的方向余弦给出来
因为要进行坐标变换
然后第二步呢就是对各个单元进行一个矩阵的描述
也就是说对每一个单元
我们都可以给出相应的刚度矩阵
也就是说有个刚度矩阵以后
乘上相应的节点位移
我们就可以得到相应的平衡关系
那么我们对1号单元我们按照前面坐标变换的这种方式
我们可以分别给出
1号单元
2号单元
3号单元
以及4号单元的刚度矩阵
注意一下,看起来每一个都是4乘4
就是差不多
我们看起来K(2)数字和K(4)单元完全一样
但实际上这是两个单元
在不同的位置
我们怎么区别呢,大家一定要注意
我们在每一个刚度阵相应的矩阵的位置上都有个编号
大家一定要注意
你比如K(2)这个地方
它分别对着u3、v3、u2、v2
这什么意思呢
就是它所对应的节点位移的编号位置
你比如K(4)
它分别对应着4号节点的u4、v4
还有3号节点的u3、v3
所以说2号单元和4号单元它的矩阵一样
但是它对应着位置
也就是说对应的节点的编号,它的自由度是不一样的
第三步呢就是基于每个单元的刚度矩阵
也就是说得到它的描述
我们要建立整体的刚度方程
它的基本思想就是组装
也就是说把每一个单元的刚度阵进行一个叠加
注意这个叠加一定要找到对应的节点编号
以及节点编号所对应的节点的位移
来进行相应的叠加
也就像我们前面所讲的那个弹簧单元
两个弹簧单元叠加一样
相当于每个单元要进行扩充
都扩充成所有的节点位移的那么一个矩阵
这样才进行叠加
叠加过后我们的节点位移我们重新排序
就是1号节点的两个分量叫u1、v1
2号节点的两个分量叫u2、v2
3号节点u3、v3
4号节点u4、v4
然后我们还有节点力也要进行一个叠加
那么我们知道1号节点两个方向的节点力
实际上是两个支反力
我们用Rx1、Ry1来代表
那2号节点的X方向的力它实际上就是外力
就是我们的2×10^4N
2号节点的Y方向因为有约束的作用
它是一个支反力,也就是Ry2
那么3号节点,它实际上一个自由节点
它X方向没有受外力,所以说它的外力为0
那Y方向有一个负的2.5×10^4N这么一个外力
4号节点的外力呢就是4号节点的支反力
也是Rx4、Ry4
这样我们就得到了节点位移的描述和节点力的描述
其中,这个是节点1处的支反力
这个呢是节点2处的支反力
这是节点4处的支反力
我们按相应的节点位移
把每一个单元的刚度矩阵进行叠加
叠加以后我们得到了一个整体的刚度方程
是这样的
好,这就是我们所得到的
整体的刚度方程的具体的一些数据
这个就是我们的整体的节点的位移
这就是我们所有的节点外力
基于这个整体刚度方程,我们要进行求解
所谓第四步就是边界条件的处理及刚度方程的求解
我们知道,1号节点和4号节点
X方向和Y方向都是完全固定的
它的位移为0
2号节点Y方向是约束的,它是为0
把这五个边界条件代入刚度方程里面去
实际上相当于划行划列,把相应的去掉
剩下的刚度方程就是这样的
那它就是关于2号节点的X方向的位移
和3号节点的X方向和Y方向的位移的一个方程
那么我们求解这个方程,就得到了相应的节点位移
再把刚才已经处理边界条件的那个位移条件写在一块儿
我们就可以得到所有节点位移的位移值
这是对应到u1、v1、u2、v2、u3、v3、u4、v4
这样所有节点的位置我们都已经得到了
还是基于刚才处理边界条件以前总的刚度方程
那么我们把位移结果代进去
就可以把未知的节点的支反力全部计算出来
这样我们就得到了所有支反力的情况
这样我们就完整的把四杆结构的所有的信息
就是节点位移,包括支反力、节点力
还有就是单元的应力,全部求得
以上是我们做的四杆结构的有限元的完整的过程
实际上大家可以看得出来
这个整个的计算流程非常规范,也非常标准
但是非常繁琐
真正我们在做大规模复杂结构的时候
如果用手工来做,当然是非常不容易的
甚至有时候是做不到的
所以我们一般来说要用计算机软件
来实现这些标准化规范化的流程
下面要基于ANSYS软件来完整地
对这四杆结构进行一个实例分析
-Finite element, infinite capabilities
--Video
-1.1 Classification of mechanics:particle、rigid body、deformed body mechanics
--1.1 Test
-1.2 Main points for deformed body mechanics
--1.2 Test
-1.3 Methods to solve differential equation solving method
--1.3 Test
-1.4 Function approximation
--1.4 Test
-1.5 Function approximation defined on complex domains
--1.5 Test
-1.6 The core of finite element: subdomain function approximation for complex domains
--1.6 Test
-1.7 History and software of FEM development
--1.7 Test
-Discussion
-Homework
-2.1 Principles of mechanic analysis of springs
--2.1 Test
-2.2 Comparison between spring element and bar element
--2.2 Test
-2.3 Coordinate transformation of bar element
--2.3 Test
-2.4 An example of a four-bar structure
--2.4 Test
-2.5 ANSYS case analysis of four-bar structure
--ANSYS
-Discussion
-3.1 Mechanical description and basic assumptions for deformed body
--3.1 Test
-3.2 Index notation
--3.2 Test
-3.3 Thoughts on three major variables and three major equations
--3.3 Test
-3.4 Test
-3.4 Construction of equilibrium Equation of Plane Problem
-3.5 Test
-3.5 Construction of strain-displacement relations for plane problems
-3.6 Test
-3.6 Construction of constitutive relations for plane problems
-3.7 Test
-3.7 Two kinds of boundary conditions
- Discussion
-- Discussion
-4.1 Test
-4.1 Discussion of several special cases
-4.2 Test
-4.2 A complete solution of a simple bar under uniaxial tension based on elastic mechanics
-4.3 Test
-4.3 The description and solution of plane beam under pure bending
-4.4 Test
-4.4 Complete description of 3D elastic problem
-4.5 Test
-4.5 Description and understanding of tensor
-Discussion
-5.1 Test
-5.1Main method classification and trial function method for solving deformed body mechanics equation
-5.2 Test
-5.2 Trial function method for solving pure bending beam: residual value method
-5.3 Test
-5.3How to reduce the order of the derivative of trial function
-5.4 Test
-5.4 The principle of virtual work for solving plane bending beam
-5.5 Test
-5.5 The variational basis of the principle of minimum potential energy for solving the plane bending
-5.6 Test
-5.6 The general energy principle of elastic problem
-Discussion
-6.1Test
-6.1 Classic method and finite element method based on trial function
-6.2 Test
-6.2 Natural discretization and approximated discretization in finite element method
-6.3 Test
-6.3 Basic steps in the finite element method
-6.4 Test
-6.4 Comparison of classic method and finite element method
-Discussion
-7.1 Test
-7.1 Construction and MATLAB programming of bar element in local coordinate system
-7.2 Test
-7.2 Construction and MATLAB programming of plane pure bending beam element in local coordinate syste
-7.3 Construction of three-dimensional beam element in local coordinate system
-7.4 Test
-7.4 Beam element coordinate transformation
-7.5 Test
-7.5 Treatment of distributed force
-7.6 Case Analysis and MATLAB programming of portal frame structure
-7.7 ANSYS case analysis of portal frame structure
-8.1 Test
-8.1 Two-dimensional 3-node triangular element and MATLAB programming
-8.2 Test
-8.2 Two-dimensional 4-node rectangular element and MATLAB programming
-8.3 Test
-8.3 Axisymmetric element
-8.4 Test
-8.4 Treatment of distributed force
-8.5 MATLAB programming of 2D plane rectangular thin plate
-8.6 Finite element GUI operation and command flow of a plane rectangular thin plate on ANSYS softwar
-Discussion
-9.1 Three-dimensional 4-node tetrahedral element and MATLAB programming
-9.2 Three-dimensional 8-node hexahedral element and MATLAB programming
-9.3 Principle of the isoparametric element
-9.4Test
-9.4Numerical integration
-9.5 MATLAB programming for typical 2D problems
-9.6 ANSYS analysis case of typical 3Dl problem
-Discussion
-10.1Test
-10.1Node number and storage bandwidth
-10.2Test
-10.2 Properties of shape function matrix and stiffness matrix
-10.3Test
-10.3 Treatment of boundary conditions and calculation of reaction forces
-10.4Test
-10.4 Requirements for construction and convergence of displacement function
-10.5Test
-10.5C0 element and C1 element
-10.6 Test
-10.6 Patch test of element
-10.7 Test
-10.7 Accuracy and property of numerical solutions of finite element analysis
-10.8Test
-10.8 Error and average processing of element stress calculation result
-10.9 Test
-10.9 Error control and the accuracy improving method of h method and p method
-Discussion
-11.1 Test
-11.1 1D high-order element
-11.2 Test
-11.2 2D high-order element
-11.3 Test
-11.3 3D high-order element
-11.4 Test
-11.4 Bending plate element based on thin plate theory
-11.5 Test
-11.5 Sub-structure and super-element
-12.1Test
-12.1 Finite element analysis for structural vibration: basic principle
-12.2 Test
-12.2 Case of finite element analysis for structural vibration
-12.3 Test
-12.3 Finite element analysis for elastic-plastic problems: basic principle
-12.4 Test
-12.4 Finite element analysis for elastic-plastic problems: solving non-linear equations
-Discussion
-13.1 Test
-13.1 Finite element analysis for heat transfer: basic principle
-13.2 Test
-13.2 Case of finite element analysis for heat transfer
-13.3 Test
-13.3 Finite element analysis for thermal stress problems: basic principle
-13.4 Test
-13.4 Finite element analysis for thermal stress problems: solving non-linear equation
-Discussion
-2D problem: finite element analysis of a 2D perforated plate
-3D problem: meshing control of a flower-shaped chuck
-Modal analysis of vibration: Modal analysis of a cable-stayed bridge
-Elastic-plastic analysis: elastic-plastic analysis of a thick-walled cylinder under internal pressur
-Heat transfer analysis: transient problem of temperature field during steel cylinder cooling process
-Thermal stress analysis: temperature and assembly stress analysis of truss structure
-Probability of structure: Probabilistic design analysis of large hydraulic press frame
-Modeling and application of methods: Modeling and analysis of p-type elements for plane problem